Класична електронна теорія електропровідності металів
8.1. Основи класичної теорії та її дослідне підтвердження
Для виявлення природи струму в металах було поставлено декілька дослідів. В 1901 році Ріке взяв два мідних і один алюмінієвий циліндр, відшліфував торці, зважив їх і склав у наступній послідовності: мідь – алюміній – мідь. Таким чином утворився провідник. Через нього неперервно пропускали електричний струм одного напрямку протягом року. За весь час через провідник пройшов електричний заряд 3,5∙106 Кл.
Після цього циліндри зважили знову, і виявилось, що їх маси не змінились. Під мікроскопом вивчали місця з’єднання металів. Проникнення одного металу в інший не відбулося.
Таким чином було встановлено, що перенесення заряду відбувалось не атомами самого циліндру, а іншими частинками (електронами). Потрібно було визначити знак і числове значення питомого заряду носіїв струму, щоб переконатися, що це саме електрони.
Досліди, які були поставлені пізніше, базувались на міркуваннях: якщо в металах є заряджені частинки, які можуть переміщуватись, то при гальмування металічного провідника ці частинки повинні деякий час продовжувати свій рух по інерції. Тоді в провіднику виникне імпульс струму і буде перенесений якийсь заряд.
Нехай провідник рухався зі швидкістю V0. Почнемо гальмувати його з прискоренням ω. Продовжуючи рух по інерції носії будуть мати відносно провідника прискорення ω протилежного напрямку (-ω). Таке ж прискорення можна надати носіям в нерухомому провіднику, якщо створити в ньому електричне поле напруженістю Е.
|
|
|
.
Тобто прикласти до кінців провідника різницю потенціалів 
.
Рис.8.1
,
,
де m – маса носія заряду, l – довжина провідника, е – заряд носія.
В даному випадку по провіднику протече струм 
, де R – опір провідника. За час dt через провідник пройде заряд
.
Добуток прискорення ω на час dt дасть швидкість: 
.
.
Заряд, що пройшов через провідник за весь час гальмування можна визначити:
. (8.1)
Заряд буде позитивним, коли він буде переноситись в напрямку руху провідника.
Таким чином, якщо виміряти довжину провідника l, швидкість Vі опір R провідника і знати заряд, що пройшов по колу за час гальмування, можна знайти питомий заряд носія. Напрям імпульсу струму покаже знак зарядженого носія.
Перший такий дослід у 1913 році поставили німецький фізик Мандельштамп і російський фізик Топалевський. Кількісний результат у 1916 році отримали Толман і Стюарт. Вони взяли котушку довжиною 500 м і приводили її в рух, при якому лінійна швидкість витків була 300 м/с. Котушку різко гальмували і за допомогою балістичного гальванометра вимірювали величину заряду, що протікав в колі за весь час гальмування. Знайдене за допомогою формули (8.1) значення було близьке до значення відношення заряду до маси для електрона. Таким чином було встановлено, що носіями струму в металах є електрони.
|
|
|
Струм в металах можна викликати за допомогою малої різниці потенціалів. Це дає змогу вважати, що носії струму переміщуються по металу практично вільно.
Існування електронів в металах можна пояснити також наступними міркуваннями: при утворенні кристалічної гратки відщеплюються найменш зв’язані електрони (валентні), які стають „колективною власністю” всього шматка металу. Якщо від кожного атому відщепити ще по електрону, то концентрація вільних електронів матиме значення
, (8.2)
де ρ – густина металу. Отримаємо n=1028…1029 м-3.
Розглянемо елементарну класичну теорію металів (теорія Друде-Лоренца).
Друде вважав, що електрони провідності металів ведуть себе подібно до молекул ідеальних газів. Тобто в проміжках між ударами електрони вільно рухаються і проходять в середньому відстань λ. Електрони стикаються визначно не між собою, а з іонами, які утворюють кристалічну гратку металу. Ці зіткнення призводять до встановлення теплової рівноваги між електронним газом і кристалічною решіткою.
|
|
|
Враховуючи, що на електронний газ можуть бути поширені результати молекулярно кінетичної теорії газів, оцінку теплової швидкості руху електронів можна проводити за формулою:
м/с. (8.3)
На цей тепловий рух електронів в металах накладається впорядкований рух електронів з швидкістю 
. Величина цієї швидкості може бути знайдена з формули
, (8.4)
.
Таким чином, навіть при дуже великих значеннях густини струму середня швидкість впорядкованого руху електронів в 108 разів менша швидкості теплового руху:
.
Тому при розрахунках результуючу швидкість 
можна замінювати модулем швидкості теплового руху 
.
Знайдемо зміну середнього значення кінетичної енергії Ек. За теорією вірогідності, дві події, які заключаються в тому, що швидкість теплового руху електронів прийме значення 
, а швидкість впорядкованого руху – значення , є статично незалежними. Тому за теоремою про добуток вірогідностей,
.
Але =0, тому 
. Звідси, впорядкований рух збільшує кінетичну енергію електронів в середньому на
|
|
|
. (8.5)
8.2. Закон Ома з погляду класичної теорії електропровідності
Друде вважав, що при співударі електрона з іонами кристалічної решітки, набута електронами додаткова енергія (рівняння (8.5)) передається іону і відповідно швидкість в результаті співудару стає рівною нулю.
Представимо, що поле, яке прискорює електрон, є однорідним. Тоді під дією даного поля електрон отримує постійне прискорення, яке чисельно дорівнює 
і до кінця пробігу швидкість впорядкованого руху досягне максимального значення.
, (8.6)
де τ – середній час між двома послідовними співударами електрона з іонами кристалічної гратки.
Друде не враховував розподіл електронів по швидкостям і приписував всім електронам однакові значення швидкості і в цьому наближенні 
. Але як було показано, швидкість теплового і впорядкованого руху приблизно дорівнює швидкості теплового руху. Тоді підставимо значення τ в рівняння (8.6):
. (8.7)
Швидкість за час пробігу змінюється лінійно, тому її середнє значення за кожен пробіг наближається до половини максимального:
.
Якщо підставимо останній вираз у рівняння (8.4), то отримаємо:
.
За законом Ома (в диференціальній формі) густина струму пропорційна напруженості поля з коефіцієнтом пропорційності
, (8.8)
де 
– провідність.
Якщо б електрони не стикалися з іонами решітки, то величини λ і σ були б нескінченно великими. Таким чином, згідно з класичними уявленнями опір металів обумовлений співударами вільних електронів з іонами кристалічної решітки металів.
8.3. Закони Ома, Джоуля-Ленца, Відемана-Франца, їх розгляд на підставі теорії Друде-Лоренца
До кінця вільного пробігу електрон набуває додаткової кінетичної енергії, середнє значення якої
. (8.9)
Зіткнувшись з іоном, електрон, за припущенням, повністю передає набуту додаткову енергію кристалічній гратці. Ця енергія йде на збільшення внутрішньої енергії металу, що проявляється в його нагріванні. Кожен електрон має за 1 с в середньому 
співударів, кожен раз передаючи гратці енергію (8.9). Відповідно, в одиниці об’єму за одиницю часу повинно виділятися тепло Qпит
,
де n – число електронів провідності в одиниці об’єму, Qпит – питома теплова потужність струму.
За рівнянням (8.8) , тоді
.
Або через густину струму: 
. Маємо закон Джоуля-Ленца.
Розглянемо закон Відемана-Франца: усі метали мають високу теплопровідність. Відношення коефіцієнта теплопровідності æ, до коефіцієнта електропровідності приблизно однакове для всіх металів і змінюється пропорційно абсолютній температурі. Так, при кімнатній температурі для алюмінію воно становить 5,8∙10-6Дж∙Ом/(С∙К), для міді – 6,4∙10-6 Дж∙Ом/(С∙К), для свинцю – 7,0∙10-6Дж∙Ом/(С∙К).
Здатністю проводити тепло володіють і некристалічні метали, але теплопровідність металів значно більша теплопровідності діелектриків. Тоді можемо зробити висновок, що теплопередача відбувається переважно не кристалічною граткою, а вільними електронами. Розглядаючи ці електрони як одноатомний газ, можна для теплопровідності використати вираз з кінетичної теорії газів:
æ= 
.
Питома теплоємність одноатомного газу: 
,
æ= 
.
Розділимо це значення æ на рівняння (8.8) для і зробивши заміну 
, отримаємо:
æ/ = 
. (8.10)
Цей вираз і є математичним записом закону Відемана-Франца.
Якщо підставимо у рівняння (10) значення сталих k і e, отримаємо:
æ/ =2,23 ∙10-8Т.
При температурі 3000К æ/ =6,7 ∙106 Дж ∙Ом/(с ∙К).
8.5 Недоліки класичної теорії електропровідності
Виявилось, що спів падіння значень було випадкове. Коли Лоренц уточнив розрахунки, врахувавши розподіл електронів по швидкостям, то отримав
æ/ = 
.
Отже, класична теорія змогла пояснити закони Ома і Джоуля-Ленца і дала якісне підтвердження закону Відемана-Франца, але зіткнулася з труднощами:
1. З рівняння (8.8) опір металів повинен збільшуватися як корінь квадратний з температури. В дійсності для запропонованих залежностей величин концентрації n і λ від температури немає. Швидкість теплового руху пропорційна кореню квадратному з температури, але висновок теорії протирічить дослідним даним, згідно яких опір пропорційний температурі, тобто зростає швидше, ніж 
.
2. Електронний газ повинен володіти молекулярною теплоємністю 3/2R. Якщо додати до молярної теплоємності 3R, то отримаємо для молярної теплоємності металу значення 9/2R. Таким чином, молярна теплоємність металів в 1,5 рази більша, ніж у діелектриків. В дійсності ж молярні теплоємності металів суттєво не відрізняються від теплоємності неметалічних речовин.
Лекція 9
Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 299; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!