Вращение тела вокруг неподвижной оси

Министерство образования Российской Федерации

Омский государственный технический университет

КИНЕМАТИКА

Методические указания и задания

Омск 2004

Составитель Силков Михаил Владимирович, канд. техн. наук, доц.

Методические указания и задания по дисциплине «Теоретическая механика» для студентов очной и заочной формы обучения всех специальностей

В данной работе рассмотрены основные правила и приёмы, а также приведены формулы, необходимые для решения наиболее распространенных типов задач кинематики. При этом не рассматривается подробно вывод формул или доказательство применяемых правил, т.к. это подробно освещено в учебной литературе по теоретической механике.

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Наиболее распространены два способа задания движения точки, причем под точкой часто понимают так называемую материальную точку, т.е. тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Последнее справедливо при поступательном (параллельно самому себе) движении тела по прямой и при движении по кривой, когда радиус кривизны траектории много больше размеров тела.

Итак координатный способ предполагает задание координат точки, например точки А, как функций времени.

(1)

Уравнения движения (1) позволяют, как построить траекторию, например, по точкам изменяя время с заданным шагом, так и определить скорость и ускорение точки в любой момент времени, как по величине, так и по направлению.

Проекции данных векторов на оси определяются дифференцированием (1) и последующей подстановкой времени, а модули их как корень квадратный из суммы квадратов проекций. При этом, если проекция получается отрицательной, это означает, что соответствующая составляющая вектора направлена против оси (направление осей должно быть задано предварительно, вместе с уравнениями (1)). Рассмотрим пример определения , при t=1 c, когда (1) имеет вид

где при t=1 c, X_A=9 м, Y_A=1 м.

Тогда из уравнений движения следует

(2)

(3)

Рис. 1

При втором способе задания движения точки, называемом естественным, задают траекторию и начало отсчета пути точки по ней, а так же путь по траектории S- как функцию времени. В этом случае скорость и касательное ускорение, всегда касательные к траектории в рассматриваемой точке, а по величине определяются дифференцированием S=f(t). Т.е. . Как и ранее отрицательное значение означает, что данный вектор или направлены в сторону убывания пути или криволинейной координаты S. Полное ускорение точки складывается из касательного и нормального ускорения , которое направлено по нормам (перпендикулярно касательной) в сторону центра кривизны траектории. По величине последнее ускорение зависит от радиуса кривизны траектории в данной точке r, т.е.

(4)

Физический смысл этих двух составляющих полного ускорения в том, что - характеризует интенсивность изменения вектора по величине, а ускорение - по направлению. Рассмотрим пример, когда S=-5t²+14t (м) и необходимо определить и при t=1 c, когда траектория дуга окружности радиусом R=18 м.

S=-5∙1²+14∙1 = 9 м, рад » 30°

Рис. 2

Если при координатном способе задания движения точки необходимо найти , то используется следующие формулы

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Если материальная точка участвует сразу в двух движениях, то такое движение называется сложным. Движение точки относительно подвижной системы отсчета называется относительным, и его кинематические характеристики имеют верхний индекс «r». Движение же точки вместе с подвижной системой отсчета называется – переносным (имеет индекс «е»). Суммарное или результирующее движение точки относительно неподвижной системы отсчета (часто она связана с землей) называется – абсолютным (индекс «а»).

В этом случае для кинематических характеристик справедливы следующие зависимости

, (5)

где - кориолисово ускорение, возникающее из-за взаимодействия переносного и относительного движений.

Оно определяется по правилам векторного произведения, т.к. . Т.е. вектор результат перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора сомножители и направлен по правилу правого винта, если первый вектор кратчайшим путем совмещать со вторым . При этом вектор - угловой скорости переносного движения всегда лежит на оси переносного вращения (в любой точке) и направлен согласно правилу правого винта, примененному к известному направлению вращения (рис. 3).

Рис. 3

По модулю и оно может быть равно нулю в двух случаях: если параллельно , т.е. a=0 и если переносное движение не связано с поворотом подвижной системы отсчета (её оси перемещаются параллельно самим себе, т.е. поступательно и ).

Если переносное или относительное движение точки являются криволинейными, то в выражениях (5) удобно соответствующее ускорение разложить на два вектора: касательного и нормального ускорения, например .

Уравнения (5) могут быть решены двумя очень распространенными в кинематике способами: графическим или аналитическим, при условии, если в них содержится только две неизвестные. При этом под неизвестными отдельно понимаются модуль (величина) или направление какого-то из векторов. Чаще всего при решении задач можно встретить два случая. Первый, когда из (5) необходимо найти величину и направление одного вектора или , а для остальных векторов величины и направления (углы с одной из осей Х или Y) заданы или легко находятся по исходным данным задачи. Второй случай, когда все вектора в одном из выражений (5) известны по направлению, а надо найти величины двух из них, например .

Графический способ предполагает рисование векторов, входящих в (5) в заранее выбранном масштабе. При этом при сложении векторов конец первого является началом второго вектора или через него проводят прямую, если известно только направление второго вектора. Результирующий вектор проводят из начала первого к концу последнего из складываемых векторов. В результате графического решения получается замкнутый многоугольник (треугольник), в котором искомые по величине вектора измеряют и умножают на выбранный масштаб для определения их величины.

Рассмотрим пример, в котором известные величины или направления векторов обозначим внизу штрихом, а неизвестные знаком вопроса

направления

величины векторов

Рис. 4

Однако наиболее часто применяется второй аналитический способ решения уравнений (5), когда их проецируют почленно на выбранные оси X и Y, а затем решают полученную систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными. В рассмотренном выше примере, когда вектор задан по величине и направлению (ось X выбрана по направлению ), а вектора известны только по направлениям, заданными углами с осью X проецирование векторного уравнения на оси дает следующий результат:

для оси Х:

для оси Y:

Решение последней системы уравнений позволяет определить величины векторов ( должно быть известно или определено по исходным данным, например путем дифференцирования уравнений движения, как показано в (2) и (3)).

Рассмотрим две конкретные задачи с использованием уравнений (5) для сложного движения точки.

Задача 1.

Здесь рычаг манипулятора поворачивается в горизонтальной плоскости и одновременно вдоль рычага перемещается ползун с захватом (материальная точка А).

Рис. 5

Дано: (рад.), (м).

Найти: при t=1 c.

Решение: Движение точки А является сложным: относительное движение вдоль рычага и переносное, т.е. поворот вместе с рычагом.

Сначала определим положение точки А в её относительном движении при

t=1 c и найдем в этом положении по величине и направлению.

Для относительного движения

т.к. движение по прямой вдоль оси Х, то и аналогично

Для переносного движения:

- угловая скорость переносного движения;

- его угловое ускорение (знак « - » у w^e означает, что направление вращения против положительного отсчета координаты j, заданного в задаче, а знак « + » у e^e означает, что направление ускорения совпадает с j);

- вращательная скорость перпендикулярна радиусу ОА и направлена в сторону w^e;

- перпендикулярна радиусу в сторону e^e;

- по радиусу к центру О.

Итак . Т.к. перпендикулярно , то последнее уравнение можно не проецировать на оси Х и Y, а использовать теорему Пифагора

После проецирования на оси Х и Y получим

Задача 2.

Рассмотрим случай, когда абсолютные кинематические характеристики движения рассматриваемой точки легко находятся, а с помощью уравнений (5) определяются характеристики переносного и относительного движения в определенном заданном положении механизма (рис. 6).

Рис. 6

Дано: V₁ =0,2 м/с, а₁ =0,1 м/с², j=60°, Н=0,5 м.

Найти: w₃, e₃.

Решение: Механизм состоит из трех звеньев: звено 1 – шток гидроцилиндра (ведущее); звено 2 – ползун (промежуточное), которое скользит вдоль звена 3 - кулиса (ведомое). Тем самым поступательное движение звена 1 преобразовывается в поворотное звена 3.

При решении применяется распространенный прием кинематики: переход от одного звена к другому через их общую точку (здесь точка А). При этом учитывается, что кинематические характеристики этой точки одинаковы, но они определяются сначала по формулам и правилам движения первого звена, а затем второго соединенного с ним.

В данном случае звено 1 совершает поступательное движение по прямой (подробнее такое движение рассмотрено ниже), а значит характеристики движения всех точек в данный момент одинаковы, т.е. . При этом для точки А звена 1 это характеристики относительно неподвижной системы отсчета, т.е. абсолютные. Для этой же точки звена 2 (его можно принять материальной точкой) уже можно говорить о сложном движении, т.к. точка А скользит вдоль кулисы 3 (относительное движение) и поворачивается вместе с ней вокруг центра О (переносное). Таким образом, легко разложить найденные выше характеристики абсолютного движения на характеристики переносного и относительного движения точки А звена 2 (рис. 6).

Учитывая, что перпендикулярен последнее уравнение можно не проецировать на оси Х и Y, а сразу записать

Т.к. вращательная скорость точки А звена 2 и звена 3 с радиусом вращения ОА, то угловую скорость звена 3 можно найти так

рад/с.

Аналогично рассуждая можно для ускорений получить с учетом (5) следующее

Здесь м/с²

м/с².

Спроецировав последнее векторное уравнение на оси Х и Y с учетом направлений векторов, показанных на рис. 6 получим

Можно обратить внимание, что взаимно перпендикулярные вектора и позволяют находить проекцию на одну ось через синус, а на другую ось через косинус одного угла j. То же справедливо и для одного какого-то вектора при его проецировании на ось Х, а затем ось Y .

Решая последнюю систему относительно двух неизвестных , т.е. модулей соответствующих векторов легко можно найти их значения. Если в результате расчетов значение окажется со знаком « - », то соответствующий вектор направлен противоположно направлению первоначально принятому на рис. 6 (вектора могут быть определены по направлению точно, по ранее рассмотренным правилам).

Угловое ускорение звена e₃ совпадает с направлением вектора , а величина его находится с учетом радиуса вращения точки А звеньев 2 и 3, т.е.

КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

В данном разделе будут рассмотрены только три наиболее часто встречающихся в механизмах движения его звеньев (твердых тел).

Поступательное движение

Если тело перемещается параллельно самому себе, то такое движение называется поступательным. В этом случае в рассматриваемый момент времени скорости всех точек тела одинаковы, а также одинаковы их ускорения. Поэтому при поступательном движении достаточно определить кинематические характеристики только одной точки тела (на этом и основано понятие материальной точки).

Частным случаем поступательного движения является движение по прямой (см. задачу 2, звено 1), когда траектории всех точек прямые. Однако, при поступательном движении траектории отдельных точек тела могут быть криволинейными. Например, движение автомобиля по холмистой местности, при условии, что можно пренебречь угловыми смещениями его (качкой) в трех взаимно перпендикулярных плоскостях. Другой пример, показанный на рис. 7, направляющие тела в виде шарнирного параллелограмма.

Вращение тела вокруг неподвижной оси

В этом случае в качестве одной координаты, определяющей положение тела, может быть взят угол j между неподвижной плоскостью и плоскостью связанной с телом и проходящими через ось вращения (рис. 8).

Тогда уравнение движения тела пример вид

Знак « - » у производных в определенный момент времени означает, что направления w и e противоположны принятому для уравнения движения положительному направлению отсчета угла j.

При этом угловые кинематические характеристики j, w, e - одинаковы для всех точек тела в данный момент времени. Линейные характеристики отдельной точки А тела зависят от угловой скорости и углового ускорения тела (w, e ), а также от радиуса вращения точки A₁(r_A).

При передаче вращения между телами с неподвижной осью (фрикционные без проскальзывания, зубчатые, цепные и ременные передачи) в точке контакта колес одинаковы значения V_A и . Последнее позволяет, зная w и e ведущего звена 1, а также радиусы всех колес легко определить их угловые скорости и ускорения (рис. 9).

Рис. 7

(6)

Рис. 8

Рис. 9

Определение характеристик ведомого звена 5 осуществлялось переходом от одного звена к другому через общие точки A, B, C, D, E. При этом каждый раз угловая скорость (ускорение) ведущего звена умножалась на радиус вращения общей точки, а затем делилась на радиус вращения этой точки для ведомого колеса и т.д. При поступательном движении (участок ремня АВ и звено 5 скорости и ускорения точек одинаковы).

Плоскопараллельное движение

Движение тела называется плоскопараллельным или плоским, если тело перемещается так, что траектории всех его точек параллельны какой-то неподвижной плоскости. В качестве типичных примеров можно привести движение шатуна АВ в кривошипно-шатунном механизме или качение без проскальзывания колеса по плоскости или поверхности (рис. 10).

Для каждого момента времени и соответствующего ему положения кинематические характеристики движения произвольной точки звена, совершающего плоское движение, можно представить как векторную сумму двух характеристик: поступательного движения этой точки вместе с определенной точкой звена, выбранной за полюс и характеристиками поворота её вокруг полюса.

Обычно при решении задач, связанных с определением ускорений (скоростей), за полюс выбирают общую точку рассматриваемого звена и предыдущего, для которого движение задано или уже определено. Последнее позволяет сделать ускорение (скорость) полюса известным (на рисунках, представленных выше, за полюс выгодно взять точку А). В качестве точки, ускорение (скорость) которой необходимо найти, первоначально тоже выбирается общая точка рассматриваемого и последующего звена (точка В).

Рис. 10

Последнее позволяет определить ускорение (скорость) этой точки хотя бы по направлению, что упрощает задачу. Таким образом, всегда можно получить векторные равенства

, (7)

где - характеристики искомой точки;

- характеристики для полюса;

- характеристики поворота вокруг полюса.

Далее необходимо сделать так, чтобы в уравнениях (7) осталось только две неизвестных, а затем спроецировать их на удобно выбранные оси Х и Y и ,решая полученную систему, определить их значения. Т.е. решение уравнений (7) полностью аналогично аналитическому или графическому решению уравнений (5) для сложного движения точки.

Чтобы обеспечить в уравнениях (7) только две неизвестных (это всегда можно сделать), необходимо иметь в виду следующее: вектора всегда перпендикулярны радиусу АВ, а вектор направлен по радиусу к центру (полюсу) А и равен . При этом, угловая скорость звена w_ВА, которая для выбранного положения звена не зависит от выбора полюса, может быть определена при решении уравнения для скоростей (7), т.к. , либо чаще через мгновенный центр скоростей (МЦС). МЦС это особый полюс, у которого в данном положении звена собственная скорость равна нулю. Находится он на пересечении перпендикуляров к скоростям двух точек звена, совершающего плоское движение.

Решить задачу с помощью МЦС можно, если известны скорость одной точки (например, А) по величине и направлению, а другой (например, В) по направлению (обычно это общие точки данного звена и смежных с ним звеньев). Это позволяет найти по величине, а также определить угловую скорость звена, например w₂, совершающего плоское движение (рис. 11).

Рис. 11

Таким образом, если задано движение ведущего звена w₁, размеры (длины звеньев , и ) и конкретное положение механизма (с помощью углов наклона звеньев с одной из осей), то можно найти и угловую скорость ведомого звена w₃ для этого положения механизма. При этом учитывается, что точки А и В звена 2 общие со звеньями 1 и 3, совершающими вращение вокруг неподвижных осей, а значит эти скорости перпендикулярны радиусам О₁А и О₃В.

(8)

Если необходимо найти скорость любой другой точки звена 2 (например, С), то её необходимо соединить с МЦС и её скорость будет перпендикулярна её радиусу, а равна V_C=w₂∙P₂C.

Расстояния (радиусы поворота) от точек звена до МЦС определяются с помощью геометрии на основе заданных размеров и углов. Обычно они находятся из прямоугольных треугольников или из обыкновенных треугольников с применением теорем синусов или косинусов.

В частном случае для положения механизма, когда перпендикуляры к скоростям точек А и В будут параллельны. МЦС стремится к бесконечности. Тогда и говорят, что звено 2 совершает мгновенно поступательное движение.

Рассмотрим другие частные случаи определения скоростей через МЦС, связанные с качением колес (последнее справедливо и для делительных окружностей зубчатых колес с движущимися центрами).

Если колесо катится (без проскальзывания) по плоской или криволинейной неподвижной поверхности, то МЦС всегда будет в той точке колеса, которая касается этой поверхности (рис. 12).

Рис. 12

Если задано , радиус колеса R и другие необходимые расстояния и углы, то

(9)

Аналогично может быть определено и угловое ускорение колеса, если известно a_C

(10)

Последнее справедливо, т.к. расстояние до МЦС центра колеса при движении не изменяется, т.е. не зависит от времени (для рычажных механизмов последняя формула не применяется).

Если поверхность по которой обкатывается колесо сама движется, то для определения положения МЦС колеса необходимо знать скорости двух точек колеса по величине и направлению (обычно это центр колеса С и точка касания движущейся поверхности, например точка В).

Рис. 13

На рис. 13 приведен пример дифференциального механизма, имеющего два ведущих звена (шестерня 1 и рычаг-водило 2) скорости которых w₁ и w₂ заданы. Промежуточным звеном является шестерня-сателит 3, совершающая плоское движение, а выходным шестерня 4. Если заданы размеры механизма (радиусы или числа зубьев и модуль зацепления) то через МЦС колеса 3 можно определить движение ведомого звена w₄ . Для точек А звена 2 и В звена 1, совершающих поворот вокруг неподвижного центра О справедливо V_A=w₂∙OA и V_B=w₂∙OB. Эти же точки принадлежат и звену 3, МЦС которого (точка Р₃) может быть определен, если соединить концы векторов и . Положение этой точки на общем перпендикуляре к скоростям теперь находится из подобия треугольников, т.е.

(11)

где P₃A=AB-P₃B.

Решая последнюю систему уравнений легко определить

(12)

Тогда можно найти w₃ и далее скорость точки С этого же звена V_C=w₃∙P₃C, а т.к. эта же точка принадлежит звену 4, вращающемуся вокруг неподвижного центра О, то для ведомого звена .

Если скорости точек А и В будут направлены в одну сторону (рис. 14), то МЦС может оказаться за пределами звена 3. В этом случае для определения его тоже используются подобные треугольники и формула (11), в которой P₃A=AB+P₃B (рис. 14)

Рис. 14

В частном случае, когда , получим w₃ = 0 и скорости всех точек звена в этот момент одинаковы.

Если в данный момент времени известны касательные ускорения точек А и В, которые обычно находят через угловые ускорения ведущих звеньев или по заданному движению реек 1 и 2 (рис. 15), то аналогично w₃ можно из подобия треугольников найти e₃ .

Здесь

т.е. по заданному движению ведущих звеньев a₁, a₂ совершающих поступательное движение по прямой, получим a_A = a₁, a_B = a₂ и тогда по выше приведенным формулам легко найти e₃ и ускорение ведомой зубчатой рейки a₄.

В заключении рассмотрим на примере определения ускорений точек звеньев, совершающих плоское движение с использованием основной формулы (7) (рис. 16).

Рис. 15

Задача 3.

Здесь должно быть задано или заранее определено: положение механизма в данный момент времени (углы j, a, b, g), кинематические характеристики ведущего звена (w₁, e₁), а также размеры звеньев и положение рассматриваемых точек . Это позволит найти ускорение всех точек звена 2, совершающего плоское движение, а также движение ведомых звеньев (w₃, e₃, a_D). Для этого сначала определяется ускорение общей точки А и направление (точнее прямые по которым направлены вектора) ускорений другой общей точки В (учитывается их вращение вокруг неподвижных центров как на рис. 16, либо поступательное движение точки В вместе с ведомым звеном как на рис. 10). Тогда из выражения (7) следует

(13)

Величины нормальных ускорений вращения точки В вокруг центра О₃ вместе со звеном 3 и - вращения этой точки вокруг полюса А вместе со звеном 2 найдем, используя значения w₂ и w₃, которые определяются через МЦС, как было рассмотрено выше в примере (рис. 11), т.е. . Тогда в векторном уравнении (13) остается две неизвестные и его можно спроецировать на оси Х и Y

(14)

Рис. 16

Решая эту систему уравнений можно найти значения двух неизвестных , а затем и . Если значение какого-то касательного ускорения окажется отрицательным, это означает, что правильное направление вектора противоположно первоначально выбранному на рис. 16 (соответственно противоположно направлено соответствующее угловое ускорение e₂ или e₃ ).

Зная w₂ и e₂ теперь легко найти ускорение любой произвольной точки звена 2, например точки С. Для неё из уравнения (7) следует

(15)

где

Теперь проецируем (15) на оси

(16)

и по проекциям находим модуль, а если необходимо, то и направление вектора .

(17)

где g - угол вектора с осью Х.

Если в точке С шарнирное соединение с другим звеном CD, совершающим плоскопараллельное движение, то точку С тоже можно взять за полюс и записать

(18)

Последнее векторное уравнение решается аналогично уравнению (13).

Задача 4.

Для колесных механизмов можно взять за полюс центр колеса (например точка А ускорение которой известно) и предварительно определив, как рассмотрено выше (рис. 13, 14 или рис. 15) из подобия треугольников его угловую скорость и угловое ускорение составить для любой точки С колеса, положение которой относительно центра задано, выражение аналогичное (15) (рис. 17)

Рис. 17

(19)

или в проекциях на оси

где

Теперь используя (17) легко найти а_с и g.

Таким образом методика решения наиболее сложных задач кинематики, связанных с определением кинематических характеристик точки при сложном движении, а также в случае плоскопараллельного движения сводится к графическому или аналитическому решению векторного уравнения вида (5) или (7). Причем всегда, используя исходные данные задачи, модно сделать так, чтобы в этих уравнениях оказалось только две неизвестных. Обычно это модуль и направление (угол с осью) одного какого-то вектора (см. задачи 1, 3, 4) или модули двух векторов (см. задачи 2, 3). Кроме того, при определении скоростей точек или угловых скоростей звеньев при плоскопараллельном движении наиболее целесообразно использовать МЦС звена (см. рис. 13, 14, 15). Причем общим для всех задач является последовательный переход от одного ведущего звена к последующему ведомому через их общие точки. При этом записываются формулы кинематики для общей точки звеньев, учитывающие вид движения её с одним и другим звеном, а также, что скорость или ускорение общей точки одинаковы в движении с каждым из смежных звеньев. Это и позволяет получить в векторных уравнениях вида 5 или 7 только две неизвестные, а затем спроецировав их на оси координат получить алгебраические уравнения, которые легко решаются и позволяют найти значения неизвестных.

Затем найденные характеристики движения общей точки и используются для составления нового векторного уравнения для определения движения следующей общей точки и так далее (см. задачу 3, когда точка С является общей точкой с последующим звеном CD).

Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 471; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!