Применение степенных функций в методе наименьших квадратов
В качестве базисных функций используются степенные:
,
Нужно чтобы среднеквадратичная погрешность в каждой точке была минимальна:
.
Для нахождения минимума погрешности возьмем производные по 
и приравняем нулю:
.
Получим систему уравнений относительно неизвестных :
(2.20.3)
…
Обозначим
,
.
Получим систему:
(2.20.4)
Методика решения задачи сглаживания
1. Вычислить коэффициенты 
по заданной табличной функции и записать систему (2.20.4).
2. Решить полученную систему линейных уравнений относительно коэффициентов 
.
3. Записать искомую сглаживающую функцию
Пример 2.2.20.1.Функция 
задана таблично, найти значения сглаживающей функции в точке 
|
|
| 1 2 3 4 | 3 7 1 2 |
Решение.
Положим 
, тогда функция ищется в виде 
,
,
,
,
Система уравнений:
Численное интегрирование
Формула трапеции
Разобьем отрезок 
на 
равных частей точками 
, каждая длиной 
и найдем 
, тогда формула трапеции:
Оценка погрешности:
где 
Формула Симпсона
Разобьем отрезок на равных частей точками , каждая длиной и найдем , но теперь возьмем четное число ,тогда формула Симпсона:
.
Оценка погрешности:
.
Другой способ оценки погрешности. Если отыскание четвертой производной подынтегральной функции затруднительно, то оценку погрешности вычисления интеграла 
по формуле Симпсона можно получить по методу удвоения шага вычислений.
|
|
|
Полагая 
, вычисляют приближенное значение данного интеграла по формуле Симпсона для шага 
. Погрешность определяется формулой:
,
где 
– найденное значение интеграла при шаге ,
– найденное значение интеграла при шаге 
.
Пример 2.2.21.1.Вычислить определенный интеграл методом трапеции с шагом 
. Найти оценку погрешности.
.
Решение.
Формула трапеции:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
.
Оценка погрешности:
Точное решение:
, погрешность ~0,66.
Список литературы
1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1. Учеб. пособие. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, С. П. Данко. – 7- е изд., испр. – М.: ОНИКС: Мир и Образование, 2009.
2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.2. Учеб. пособие. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, С. П. Данко. – 7- е изд., испр. – М.: ОНИКС: Мир и Образование, 2009.
3. Дудник В.Г. Модели и алгоритмы математического программирования / РИИ. – Рубцовск: РИО, 2002.
4. Дудник Е.А. Численные методы алгебры и теории приближений. Метод. пособие для студентов специальности 073002 «Прикладная математика» / РИИ. – Рубцовск: РИО, 2006.
|
|
|
5. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Б. П. Демидович ; под ред. Б. П. Демидовича. – М., АСТ, 2003.
6. Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу – М.: Высшая школа, 1966.
7. Колдаев В.Д. Численные методы и программирование: Учеб. пособие. – М.: ФОРУМ, ИНФРА-М, 2009.
8. Кузнецов А.В. Руководство к решению задач по математическому программированию. А.В. Кузнецов, Н.И. Холод, Л.С. Костевич. – Минск: Высшая школа, 2001.
9. Кузнецов Ю.Н. Математическое программирование: учеб. пособие для студентов. – М.: Высшая школа, 1976.
10. Лебедев А.Г. Математическое моделирование / РИИ. – Рубцовск: РИО, 2010.
11. Макарова С.И. Экономико-математические методы и модели: задачник. – М.:Кнорус, 2008.
12. Никоноров Ю.Г. Математический анализ. Часть 1: Учебное пособие для студентов специальности «Прикладная математика» / РИИ. – Рубцовск: РИО, 1997.
13. Никоноров Ю.Г. Математический анализ. Часть 2: Учебное пособие для студентов специальности «Прикладная математика» / РИИ. – Рубцовск: РИО, 1997.
14. Никоноров Ю.Г. Математический анализ. Часть 3: Учебное пособие для студентов специальности «Прикладная математика» / РИИ. – Рубцовск: РИО, 1997.
|
|
|
15. Никоноров Ю.Г. Математический анализ. Часть 4: Учебное пособие для студентов специальности «Прикладная математика» / РИИ. – Рубцовск: РИО, 1997.
16. Никонорова Ю.В. Основы теории игр: Учебное пособие для студентов специальности «Прикладная математика» / РИИ. – Рубцовск: РИО, 2006.
17. Решетняк Ю.Г. Курс математического анализа. Часть 1. Книга 1. – Новосибирск: Изд-во Института математики, 1999.
Альберт Георгиевич Лебедев
Евгения Александровна Дудник
Евгений Витальевич Никитенко
Юрий Геннадьевич Никоноров
Наталья Владимировна Рассказова
Методические указания для подготовки к государственным экзаменам
Методические указания для студентов специальности «Прикладная математика»
Редактор Е.Ф. Изотова
Подготовка оригинала макета Н.В. Рассказова, Н.С. Зорина
Подписано к печати. Формат 60х84 /16.
Усл. печ. л. 5,44. Тираж 40 экз. Заказ . Рег. № .
Отпечатано в РИО Рубцовского индустриального института
658207, Рубцовск, ул. Тракторная, 2/6.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 302; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!