Метод Ньютона (метод касательных)
Метод позволяет свести решение нелинейных уравнений к решению последовательности линейных задач. Метод быстро сходится. Однако этот метод эффективен при весьма жестких ограничениях на характер функций 
:
1. существование второй производной функции на множестве 
;
2. удовлетворения первой производной условию 
для всех 
принадлежащих 
;
3. знакопостоянство , 
и 
для всех , принадлежащих .
Пусть действительный корень уравнения 
отделен на отрезке 
. Возьмем на отрезке такое число 
, при котором 
имеет тот же знак, что и 
.
Итерационная последовательность строится:
(2.16.1)
Предполагается, что 
.
Методика решения нелинейных уравнений методом Ньютона
1. Задать начальные приближения 
так, чтобы выполнялось неравенство , а также малое положительное число 
. Положить 
.
2. Вычислить 
по методу Ньютона: 
.
3. Процесс завершить если 
тогда корень 
, иначе 
и перейти к пункту 2.
Пример 2.2.16.5.Методом Ньютона найти положительный корень уравнения 
с точностью до 0,001. Положительный корень заключен в промежутке 
, так как 
, а 
.
Решение.
Здесь 
,
,
.
Так как и при =1,7 имеют один и тот же знак, а именно и 
, тогда
, где 
,
.
Проверить условие завершения процесса итераций:
.
Применим снова метод Ньютона.
Имеем 
, где 
, 
; значит, 
.
.
Аналогичным образом находим 
; 
, 
.
.
Следовательно, искомый корень с точностью до 0,001 равен 1,6429.
|
|
|
Метод итераций
Если данное уравнение 
приведено к виду 
, где 
всюду на отрезке 
, на котором исходное уравнение имеет единственный корень, то исходя из некоторого начального значения , принадлежащего отрезку , можно построить такую последовательность:
.
Пределом этой последовательности является единственный корень уравнения на отрезке .
Методика решения нелинейных уравнений методом простой итерации
1. Уравнение f(x)=0 привести к каноническому виду . Задать начальное приближение , , – погрешность. Для сходимости нужно обеспечить выполнение условия 
, 
.
2. Вычислить следующее приближение по методу простой итерации:
3. Итерационный процесс завершаются если 
, тогда ,
иначе и перейти к 2.
Пример 2.2.16.6.Методом итераций найти приближенное значение корня уравнения 
с точностью до 0,001, корень уравнения отделен на отрезке 
.
Решение.
Запишем исходное уравнение в виде 
.
Здесь 
, 
, то 
в промежутке и поэтому метод итераций применим при начальном приближении 
. Найдем теперь первое приближенное значение:
.
.
Найдем второе и последующие приближения:
;
Проверим погрешность
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
;
Таким образом, искомый корень 
.
|
|
|
Методы решения систем линейных уравнений
Рассмотрим линейную неоднородную задачу для систем линейных алгебраических уравнений, которая записывается в виде:
, (2.17.1)
где 
– действительная матрица,
– вектор столбец,
– вектор неизвестных, принадлежат 
– 
-мерному евклидовому пространству.
(2.17.2)
Требуется найти решение 
из 
системы (2.17.2), подстановка которого в (2.17.2) приводит к верному равенству 
.
Метод Гаусса
Метод Гаусса состоит в исключении слагаемых системы путем ее равносильного преобразования. Метод разбивается на две совокупности операций, которые разбиваются условно на прямой и обратный ход.
а) Прямой ход состоит в исключении элементов, расположенных ниже элементов, соответствующих главной диагонали матрицы . Матрица преобразуется к верхнетреугольному виду с единицами на главной диагонали.
б) Обратный ход, из матрицы 
определяем последовательно 
Надо решить систему алгебраических уравнений :
Нужно преобразовать к треугольной матрице.
Прямой ход, в общем случае коэффициенты матрицы рассчитываются в виде:
|
|
|
, 
, (2.17.3)
где 
– номер шага 
, 
.
Получим
.
Обратный ход, начиная с последнего уравнения, последовательно определяем 
,
. (2.17.4)
Изложенный метод имеет ограничение, связанное с тем, что ведущие элементы 
и т.д. должны быть отличны от нуля и не должны быть малыми по модулю, поскольку погрешности вычислений будут большими.
Порядок последовательности исключения неизвестных может сильно сказаться на результатах расчетов. Наиболее надежным является метод Гаусса с выбором главного элемента.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 368; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!