Определение передаточной функции по структурной схеме
При анализе структурных схем оперируют четырьмя передаточными функциями:
1. Передаточная функция разомкнутой системы W(p)
2. Передаточная функция замкнутой системы Ф(р)
3. Передаточная функция по ошибке ФD (р)
4. Передаточная функция по внешнему воздействию ФF(р)
1) W(p) – передаточная функция рассчитывается как отношение хвых(р) к Dх(р) при отбросе всех возмущающих воздействий и обратной связи и при отброшенном задающем воздействии
; 
2) Ф(р) – передаточная функция рассчитанная при отброшенном возмущающем воздействии
; 
3) 
– передаточная функция рассчитанная из условия Dх(р)/хвх(р) при отброшенном возмущающем воздействии.
4) ФF(р) – определяется при отброшенном воздействии хвх(р).
Все передаточные функции однозначно связанны между собой передаточной функцией разомкнутой системы W(p), следовательно, о качестве САУ можно судить по передаточной функции W(p). В свою очередь передаточная функция разомкнутой системы определяется передаточными функциями и параметрами отдельных элементов входящих в ее состав. Поэтому важно знать характеристики отдельных элементов и звеньев.
Устойчивость САУ
Понятие устойчивости является важнейшей качественной оценкой динамических свойств САУ. Устойчивость САУ связана с характером её поведения после прекращения внешнего воздействия, которое может быть оценено решением дифференциального уравнения, описывающего работу системы. Общая теория устойчивости разработана А.М. Ляпуновым. Линейная система называется устойчивой, если ее выходная координата остается ограниченной при любых ограниченных по абсолютной величине входных воздействиях. Устойчивость линейной системы определяется ее характеристиками и не зависит от действующих воздействий.
|
|
|
В общем случае решение уравнения имеет вид: y(t)= yB(t) + yn(t)
где yB(t) – решение однородного уравнения (переходная или свободная составляющая); yn(t) – установившееся значение регулируемой величины (вынужденная составляющая) – решение уравнения с правой частью. Устойчивость работы системы определяется переходной составляющей. Если переходная составляющая процесса управления после прекращения внешнего воздействия стремится к нулю, то такая система является устойчивой. Другими словами устойчивость системы – это есть затухание ее переходных процессов.
Если свободная составляющая стремится к конечному значению или имеет вид гармонических колебаний с постоянной амплитудой, то система считается нейтральной. В том случае, если свободная составляющая неограниченно возрастает или имеет вид гармонических колебаний с возрастающей амплитудой, то система считается неустойчивой.Оценка устойчивости производится на основе результатов исследования свободной составляющей, которая представляет собой решение однородного дифференциального уравнения (характеристического уравнения):
|
|
|
D(p) = a0pn + a1pn-1 +… + an = 0
Переходная составляющая решения уравнения в общем виде yni(t) = Aieαit * sin(βit + φi), где αi ± jβi – корни характеристического уравнения; Ai,Φi – постоянные.
При этом переходная составляющая с ростом времени стремится к нулю, если вещественные части корней αi отрицательны, в противном случае амплитуда колебаний переходной составляющей возрастает.
Рис. 2. Графики переходных составляющих
Пара мнимых корней (αi=0) характеристического уравнения позволяет получить переходную составляющую в виде автоколебаний с постоянной амплитудой:
Полученные корни характеристического уравнения могут быть представлены в виде точек на комплексной плоскости.
Рис. 3. Расположение корней САУ на комплексной плоскости
Для устойчивых систем необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси комплексной плоскости корней. Если хотя бы один вещественный корень или пара комплексных сопряженных корней находится справа от мнимый оси, то система является неустойчивой. Если имеется нулевой корень или пара чисто мнимых корней, то система считается нейтральной (находящейся на границе устойчивости и неустойчивости). Таким образом, мнимая ось комплексной плоскости является границей устойчивости.
|
|
|
С целью упрощения анализа устойчивости систем разработаны ряд специальных методов, которые получили название критерии устойчивости. Критерии устойчивости делятся на две разновидности: алгебраические (критерий Гурвица) и частотные (критерии Михайлова и Найквиста).
Алгебраический критерий устойчивости Гурвица находит широкое применение при анализе САУ. Первоначально, из коэффициентов уравнения составляется матрица главного определителя:
По диагонали матрицы от верхнего левого угла записываются по порядку все коэффициенты уравнения, начиная с 
. Затем каждый столбец матрицы дополняется таким образом, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались, а вниз – уменьшались.
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при 
все угловые определители (миноры) были также положительными.
|
|
|
Последний определитель Гурвица, как видно из приведенной выше матрицы, равен Δn=an*Δn-1. Поэтому его положительность сводится при Δn-1>0 к условию an>0. Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов 
. Если определитель Δn=0, то система находится на границе устойчивости. Из условия Δn-1=0 можно определить параметры, при которых система находится на границе устойчивости, например, критический коэффициент усиления разомкнутой САУ.
Частотный критерий устойчивости Михайлова предполагает построение годографа на комплексной плоскости. Для построения годографа из характеристического уравнения замкнутой системы путем подстановки p=jω получают аналитическое выражение вектора M(jω):
M(jω)=a0(jω)n+a1(jω)n-1+ … +an
Уравнение является комплексным и может быть представлено в виде:
Построение годографа производится по уравнению вектора M(jω) при изменении частоты от 0 до 
. Оценка устойчивости системы осуществляется по углу поворота годографа при изменении частоты 0<ω< 
.
Тогда для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента годографа M(jω) при изменении от 0 до + равнялось n.
Критерий Михайлова формулируется так: система устойчива, если годограф Михайлова M(jω) при изменении от 0 до , начинаясь на положительной части действительной оси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов и в n-м квадранте уходил в .
Если годограф начинается в нулевой точке комплексной плоскости или проходит через эту точку при определенной частоте, то система считается нейтральной. В этом случае U(ω) = 0 и V(ω) = 0.
Из этих уравнений можно определить значения параметров, при которых система находится на границе устойчивости (критические значения). На рис. 4 приведены годографы Михайлова для устойчивых и неустойчивых САУ.
Рис. 4. Годографы Михайлова
Имеется вторая формулировка критерия Михайлова: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни уравнений U(ω) = 0 и V(ω) = 0 перемежались (чередовались), т.е. годограф последовательно пересекал оси комплексной плоскости. Этой формулировкой удобно пользоваться для исследования устойчивости систем до пятого порядка включительно. По уравнению можно определить количество правых корней в неустойчивых системах.
Частотный критерий устойчивости Найквиста, позволяющий по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы оценить устойчивость работы замкнутой системы. АФЧХ может быть получена экспериментально или аналитически. Аналитическое построение АФЧХ производится обычными методами. Критерий Найквиста формулируется так:
если разомкнутая система устойчивая, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не охватывала точку с координатами -1, j0. Если АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами -1, j0, то система будет нейтральной. На рис. 5 представлены АФЧХ разомкнутых статических систем. Критерий Найквиста позволяет наглядно проследить влияние изменения параметров передаточной функции на устойчивость системы.
Рис. 5.АФЧХ разомкнутых САУ
Существуют два класса САУ: абсолютно устойчивые и условно устойчивые. В первом классе систем только увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы может привести к потере устойчивости, а условно устойчивая система может стать неустойчивой как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления.
Для абсолютно устойчивых систем вводится понятие запаса устойчивости по амплитуде (модулю) и запаса устойчивости по фазе. Запасы устойчивости определяют на частоте среза ωср, на которой A(ωср)=1.
Запас устойчивости по амплитуде задается некоторой величиной, которая показывает, во сколько раз можно увеличить коэффициент усиления разомкнутой системы, чтобы САУ оказалась на границе устойчивости.
Рис. 6.АФЧХ абсолютно устойчивой системы
Точность линейных САУ
Устойчивость САУ является важной, но не полной характеристикой работы системы. Кроме устойчивости система должна обладать требуемой точностью и требуемым качеством переходных процессов. Установившийся режим может быть статичен и динамичен. Статический режим – это режим, при котором входное воздействие после появления остается неизменным. Динамический установившийся режим – это режим, при котором входное воздействие изменяется по какому-то закону.
С точки зрения точности работы системы они могут быть статическими и астатическими.
Астатические системы могут быть I, II, III и т.д. порядка (определяется количеством интегрирующих звеньев). Что касается установившейся ошибки Δхуст, то в соответствии с принципом суперпозиции равна:
где Δхвх – ошибка входного воздействия,
Δхfj – ошибка от возмущающего воздействия,
n – количество возмущающих воздействий.
Составленные ошибки могут определяться по теории о конечном значении функции, по реакции на типовые воздействия и по коэффициенту ошибок.
Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 827; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!