Поняття про фрактальну графіку
Фрактальна графіка, як і векторна є такою, що обчислюється, але жодні об’єкти в
пам’яті комп’ютера не зберігаються. Зображення будується за рівнянням (чи за системою
рівнянь), а зберігається тільки формула. Змінивши коефіцієнти в рівнянні, можна отримати
зовсім іншу картину.
Найпростішим фрактальним об’єктом є фрактальний трикутник. Він утворюється
наступним чином: будуємо рівносторонній трикутник зі стороною а; кожну з його сторін
ділимо на три відрізки; на середньому відрізку сторони будуємо рівносторонній трикутник зі
стороною, рівною 1/3 сторони вихідного трикутничка, а на інших відрізках будуємо
рівносторонні трикутники зі стороною, рівною 1/9a. З отриманими трикутниками
повторюємо аналогічні операції. Незабаром побачимо, що трикутники наступних поколінь
успадковують властивості своїх батьківських структур - народжується фрактальна фігура.
Процес спадкування можна продовжувати до нескінченності. Узявши такий нескінченний
фрактальний об’єкт і розглянувши його в лупу чи мікроскоп, можна знайти в ньому все нові
та нові деталі, що повторюють властивості вихідної структури.
30
Поняття фрактал і фрактальна геометрія з’явилися наприкінці 70-х і з середини
80-х стали широко використовуватися математиками і програмістами. Слово фрактал
утворене від латинського fractus і в перекладі означає той, що складається з фрагментів.
Поняття фракталу запропоновано Бенуа Мандельбротом у 1975 році для позначення
|
|
|
нерегулярних, але подібних самих собі структур, над вивченням яких він працював.
Народження фрактальної геометрії прийнято зв’язувати з виходом у 1977 році книги
Мандельброта “The Fractal Geometry of Nature”. У його роботах використані наукові
результати інших учених, що працювали в період 1875-1925 років у тій же області
(Пуанкаре, Фату, Жюліа, Кантор, Хаусдорф). В останні роки вдалося об’єднати їхні роботи в
єдину систему.
Сьогодні роль фракталів у машинній графіці значна, оскільки вони дозволяють задати
лінії і поверхні дуже складної форми за допомогою декількох коефіцієнтів. З погляду
машинної графіки фрактальна геометрія незамінна при генерації штучних хмар, гір, поверхні
моря. Отже, знайдений спосіб легкого представлення складних неевклідових об’єктів, образи
яких подібні на природні, так як фрактальними властивостями володіють багато об’єктів
живої і неживої природи. Звичайна сніжинка, багаторазово збільшена, виявляється
фрактальним об’єктом. Фрактальні алгоритми лежать в основі росту кристалів і рослин. За
окремими гілками дерева математичними методами можна прослідкувати властивості цілого
|
|
|
дерева. Здатність фрактальної графіки, моделювати образи живої природи обчислювальним
шляхом, часто використовують для автоматичної генерації незвичних ілюстрацій. Отже,
однією з основних властивостей фракталів є подібність самих собі. У найпростішому
випадку невелика частина фрактала містить інформацію про весь фрактал. Визначення
фрактала, дане Мандельбротом, звучить так: “Фракталом називається структура, яка
складається з частин, що подібні цілому”.
Для того, щоб представити все розмаїття фракталів, розглянемо їх класифікацію, за
якою вонии діляться на геометричні, алгебраїчні та стохастичні.
Геометричні фрактали найбільш наочні. У двомірному випадку їх отримують за
допомогою деякої ламаної лінії (чи поверхні, в тривимірному випадку), яку називають
генератором. За один крок алгоритму кожний з відрізків, що складають ламану, замінюється
на ламану-генератор, у відповідному масштабі. У результаті нескінченного повторення цієї
процедури виходить геометричний фрактал.
Розглянемо один з таких фрактальних об'єктів – тріадну криву Коха. Побудова кривої
починається з відрізка одиничної довжини – це 0-е покоління кривої Коха, кожна ланка (у
|
|
|
нульовому поколінні один відрізок) замінюється на утворюючий елемент і, в результаті
такої заміни, виходить наступне покоління кривої Коха. У 1-ом поколінні - це крива з
чотирьох прямолінійних ланок, кожна довжиною по 1/3. Для побудови наступного покоління
виконуються аналогічні дії – кожна ланка заміняється на зменшений утворюючий елемент.
Отже, для отримання кожного наступного покоління, усі ланки попереднього покоління
необхідно замінити зменшеним утворюючим елементом. Крива n-го покоління при будь-
якому кінцевому n називається передфракталом. На рисунку 2.10 представлені п'ять
поколінь кривої (тріадної кривої Коха). При n, що прямує до нескінченності, крива Коха
стає фрактальним об’єктом. Для побудови іншого фрактального об'єкта змінюються правила
побудови. Нехай утворюючим елементом будуть два рівних відрізки, з'єднаних під прямим
кутом. У нульовому поколінні замінимо одиничний відрізок на цей утворюючий елемент так,
щоб кут був зверху. Можна сказати, що при такій заміні відбувається зсув середини ланки.
При побудові наступних поколінь виконується правило: найперша ліворуч ланка заміняється
на утворюючий елемент так, щоб середина ланки зміщувалася вліво від напрямку руху, а при
|
|
|
заміні наступних ланок, напрямки зсуву середин відрізків повинні чергуватися. На
рисунку 2.11 представлені декілька перших поколінь і 11-е покоління кривої, побудованої по
вищеописаному принципу. Така гранична фрактальна крива (при n що прямує до
нескінченності) називається драконом Хартера-Хейтуэя.
31
У машинній графіці використання геометричних фракталів необхідне при отриманні
зображень дерев, кущів, берегової лінії. Двомірні геометричні фрактали використовуються
для створення об'ємних текстур (малюнка на поверхні об’єкта).
Алгебраїчні фрактали – основна група фракталів. Отримують їх за допомогою
нелінійних процесів у n-мірних просторах. Найбільш вивчені двомірні процеси.
Іншим відомим класом фракталів є стохастичні фрактали, що виходять у тому
випадку, якщо в ітераційному процесі випадковим чином змінювати які-небудь його
параметри. При цьому виходять об'єкти дуже подібні на природні – несиметричні дерева,
порізані берегові лінії і т.д. Двовимірні стохастичні фрактали використовуються при
моделюванні рельєфу місцевості і поверхні моря.
Існують і інші класифікації фракталів, наприклад розподіл фракталів на детерміновані
(алгебраїчні і геометричні) і не детерміновані (стохастичні).
В діяльності інженера-конструктора при автоматизації інженерно-графічних робіт цей
вид комп'ютерної графіки практично не використовується.
КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ
1. Охарактеризуйте типи комп’ютерної графіки.
2. Що таке растрова (піксельна) графіка?
3. У чому полягають переваги та недоліки растрової графіки?
4. Що таке векторна графіка?
5. У чому суть векторного способу кодування графічних зображень?
6. Які математичні основи закладені при формуванні векторних зображень?
7. Якими основними поняттями оперує векторна графіка?
8. У чому полягають переваги та недоліки векторної графіки над растровою?
9. Які програмні продукти для роботи з векторними зображеннями загального
призначення використовуються в комп’ютерній графіці?
10. Що таке фрактальна графіка?
11. Які основні різновиди фракталів використовують в комп’ютерній графіці?
12. Які загальні принципи формування кольорових комп’ютерних зображень?
13. Які моделі представлення кольору використовують в комп’ютерній графіці?
14. Для чого призначені векторизатори і в яких випадках їх використовують?
15. Які ви знаєте програмні продукти – векторизатори і сфери їх застосування?
Рисунок 2. 10 Рисунок 2. 11
32
Дата добавления: 2018-05-01; просмотров: 110; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!