Сходимость в смысле главного значения.
Рассмотрим функцию, заданную на всей числовой оси. Если предел
существует и является конечным числом, то интеграл называется сходящимся «в смысле главного значения». Это понятие необходимо потому, что бывают ситуации, когда интегралы 
и 
оба расходятся, причём один равен 
, другой 
, а данный предел по симметричным интервалам существует. Так, если функция нечётна, то 
для любого числа 
.
ЛЕКЦИЯ № 5. 14.03.2018
Кратные интегралы.
Приложение 1. Вопросы на доказательства (для билетов).
ДОК 1 (Л1).
Докажите формулу интегрирования по частям 
.
ДОК 2 (Л1).
Вывести рекуррентную ф-лу 
для вычисления интегралов 
.
ДОК 3 (Л2).
Доказать, что интеграл вида 
сводятся к рациональной дроби с помощью замены 
.
ДОК 4 (Л2).
Доказать, что при замене 
синус и косинус преобразуются по следующим формулам: 
, 
.
ДОК 5 (Л2).
Доказать, что если функция нечётна относительно косинуса, замена 
сводит интеграл к рациональной дроби, а если 
то замена 
сводит интеграл к рациональной дроби.
ДОК 6 (Л2). Доказать формулу 
ДОК 7 (Л2).
Доказать, что замены сводят интегралы к рациональной дроби.
а) для интеграла 
замена 
б) для интеграла 
замена 
в) для интеграла 
замена 
ДОК 8 (Л3).
Докажите, что 
является первообразной от 
.
ДОК 9 (Л3).
Докажите формулу Ньютона-Лейбница.
ДОК 10 (Л3).
Вывести формулу длины явно заданной кривой: 
.
|
|
|
ДОК 11 (Л4).
Вывести формулу длины кривой в полярных координатах: 
.
ДОК 12 (Л4). Доказать, что:
1) Несобственный интеграл 1-го рода 
сходится 
,
2) Несобственный интеграл 2-го рода 
сходится 
.
Существенные примеры из лекций, которые могут тоже попасть в билеты.
(Л1) 
. (Л1) 
.
(Л2) 
. (Л2) 
.
(Л2) 
. (Л2) 
.
(Л2) 
. (Л2) 
.
(Л3) С помощью формулы объёма тел вращения вывести формулу объёма шара 
.
(Л4) Вычислить несобственные интегралы:
, 
, 
.
(Л4) Выяснить сходимость несобственного интеграла 
.
(Л4) Выяснить сходимость несобственного интеграла 
.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 266; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!