Приложения определённых интегралов.

Пункт 1. Вычисление площадей фигур.

Так как площадь криволинейной трапеции связана с интегралом, то это приложение очевидно. Бывают особенности, связанные со строением геометрической фигуры, в некоторых случаях надо разбить фигуру на несколько частей.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение. На интервале (0,1) выше именно график , т.е. вычитаем из этой функции вторую, находим интеграл от разности.

= = = = .

Пункт 2. Вычисление объёмов тел вращения.

Если график функции вращать вокруг оси 0x, то получится так называемое тело вращения. Каждое сечение плоскостью, перпендикулярной оси 0x , это круг, его площадь равна , так как это как раз и есть радиус (равно удалению вращающейся точки от оси вращения). В итоге, .

Пример. Вывести этим методом формулу объёма шара .

Решение. Чтобы получить шар, достаточно вращать верхнюю полуокружность, которая задаётся такой функцией: .

= = =

= = .

Пункт 3. Вычисление длины дуги кривой.

ДОК 10 (Л3).

Вывести формулу длины явно заданной кривой: .

Доказательство (вывод формулы).Разобьём область определения на n частей, рассмотрим подробнее одну часть графика.

Длина фрагмента кривой приближённо равна гипотенузе. При этом, тангенс угла наклона равен производной. Поэтому, если горизонтальный катет то вертикальный равен . Но в этом случае гипотенуза, по теореме Пифагора, равна:

= = .

При переходе к пределу при , получится .

Чем круче наклон фрагмента графика, тем больше величина , и тем больше корень и соответственно, длина части этой кривой. Напротив, если график горизонтальный (функция = константа) то = . Длина такой кривой просто равна длине отрезка в области определения, то есть .

Для параметрически заданной в плоскости формула принимает такой вид: .

В трёхмерном пространстве: .

ЛЕКЦИЯ № 4. 07.03.2018

Длина кривой в полярной системе координат.

Пусть кривая задана формулой .

Тогда: .

Доказательство этой формулы.

(ДОК 11)

Рассмотрим формулы взаимосвязи между полярными и декартовыми координатами:

Но в данном случае это функция . Тогда

, .

Здесь параметр применяется таким же образом, как в прошлой формуле был параметр .

Найдём производные:

Их надо подставить в формулу: .

применим формулу сокращённого умножения в каждом квадрате под корнем. Там получатся квадраты и удвоенные произведения, которые, впрочем, сократятся, ведь они будут разного знака. Выражение под корнем преобразуется так:

Поэтому в итоге: .

§7. Несобственный интеграл.

Если криволинейная трапеция бесконечно вытянута вправо или вверх, то может быть конечная площадь. Примеры:

Пример. Вычислить .

Решение. Такой интеграл можно рассматривать как предел интегралов вида при . Если вычислить то получится . Предел .

Несмотря на неграниченность трапеции под интегралом, площадь конечна. Здесь область определения D(f) не является ограниченной. Тем не менее, трапеция слишком узкая, т.е. её ширина убывает достаточно быстро, чтобы площадь не превысила некоторое число. Так может быть, к примеру, если площади криволинейных трапеций между соседними целыми абсциссами убывают со скоростью сходящейся геометрической прогрессии.

Определение. Если функция определена и непрерывна на , то предел называется несобственным интегралом 1-го рода от функции , и обозначается .

Пример. = = 1.

Но ведь область значений E(f) не является ограниченной. При вычислении мы даже и не заметили, что функция неограниченная в окрестности точки 0, т.е. . Так как первообразная ограниченная, и в неё можно просто подставить и . Вот график этой функции :

можно рассматривать как предел .

Определение. Если функция определена и непрерывна на и при этом предел , то называется несобственным интегралом 2-го рода от функции , и обозначается .

Итак, если неограниченная D(f), то интеграл называется несобственным интегралом 1-го рода, а если E(f) то несобственным интегралом 2-го рода.

Если предел существует и является конечным числом, то несобственный интеграл называется сходящимся, если предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

Кстати, для сравнения, геометрическая прогрессия также бывает сходящейся либо расходящейся. Если площадь такой бесконечно вытянутой криволинейной трапеции разбить на части по целым числам, например от 1 до 2, от 2 до 3 и так далее, то если они образуют сходящуюся прогрессию, и в сумме равны некоторой константе, то интеграл сходится.

Есть примеры расходящихся несобственных интегралов.

Пример. = = . Здесь расходимость из-за неограниченности первообразной.

Пример. = = = = . Но этот предел не существует, синус колеблется от -1 до 1 и при увеличении переменной его график не стремится ни к какой конкретной высоте. И хотя даже функция ограничена, несобственный интеграл расходится. Площадь криволинейной трапеции, при увеличении , то растёт, то снова убывает.

Пример = = = = = .

Примеры сходящихся несобственных интегралов.

Пример. = = .

Пример. = = = .

Пример. = = .

Теорема 1. Несобственный интеграл сходится первообразная на границах интегрирования имеет конечный предел.

Идея доказательства. Действительно, = = . Второе слагаемое конечное число. Первое слагаемое (предел) есть конечное число тогда и только тогда, когда разность - конечное число. То есть, сходятся именно те несобственные интегралы, где график первообразной стабилизируется по высоте, т.е. имеет конечный предел . Если интеграл 1 рода, то равносильно сходимости.

Следствие (необходимый признак сходимости).

сходится .

Действительно, если то = = .

Замечание. Это необходимый, а не достаточный признак, то есть, из сходимости следует, что f стремится к 0, но не наоборот. При могут быть как сходящиеся, так и расходящиеся интегралы, а вот если , тогда только расходящиеся.

Так, для и в обоих случаях выполнено. А тем не менее, первых из них расходится, а второй сходится.

Как мы увидели, овольно нередкой является ситуация, когда производная стремится к бесконечности, а сама функция (то есть её первообразная) в той же точке является конечной. Геометрическая интерпретация. Рассмотрим верхнюю полуокружность. При приближении к точке (1,0) касательная стремится к вертикальному положению, тангенс угла её наклона к . А при этом сама полуокружность ограничена по высоте:

Теорема 2.

1) Несобственный интеграл 1-го рода сходится ,

2) Несобственный интеграл 2-го рода сходится .

(ДОК 12). Доказательство. Сначала рассмотрим первообразную.

= = , что можно записать в виде .

Если пределы интегрирования от 1 до , то не бесконечный результат получится лишь в том случае, когда переменная в знаменателе, то есть степень , то есть , то есть .

А если пределы интегрирования от 0 до 1, то наоборот, наличие переменной в знаменателе приводит к тому, сто предел бесконечен, интеграл расходится. То есть для сходимости, надо чтобы степень была такая, чтобы переменная находилась именно в числителе. Тогда , то есть, , . Что и требовалось доказать.

Обратите внимание, что в случае расходятся оба этих интеграла, так как первообразная -это логарифм, а он не ограничен ни при , ни при .

Для таких интегралов 2 рода, для сходимости надо, чтобы степень перешла в положительные, например, если у функции степень , а у первообразной на 1 больше, уже . Если же она , то после интегрирования станет , то есть ещё не переходит через 0 в положительные.

Примеры

1 рода
2 рода
	3	2	1,5	1	1/2	1/3

Жёлтым цветом здесь выделены сходящиеся интегралы.

Теорема 3. Признак сравнения в конечной (непредельной) форме.

Если для неотрицательных функций верно

то: если сходится , то сходится .

Действительно, если интеграл для большей функции равен C, то для меньшей он меньше чем C, то есть, не равен бесконечности.

Пример.Выяснить сходимость интеграла .

Учитывая тот факт, что при верно , получается

. Тогда < , а он сходится, так как степень знаменателя больше 1. Тогда и исходный интеграл сходится.

Замечание. Аналогично тому, как мы ограничиваем сверху какой-либо сходящейся функцией, можно ограничить снизу какой-либо расходящейся функцией. Если интеграл от этой меньшей функции расходится, то и исходный тоже расходится.

Теорема 4. Признак сравнения в предельной форме.

Если , причём C отлично от 0 и от (то есть и бесконечно малые одного порядка). Тогда:

сходится тогда и только тогда, когда сходится.

Пример на признак в предельной форме.

Выяснить сходимость интеграла .

Рассмотрим для функции более просто устроенную, но эквивалентную ей , котрую можно записать в виде .

Предел их отношения равен 1:

= = = 1.

Тогда сходимость первого интеграла равносильна сходимости второго, то есть можно рассматривать . Степень , поэтому интеграл сходится.

Эти признаки позволяют сравнивать интегралы, содержащие громоздкие функции, с какими-то более простыми «эталонными», например, степенными.

Абсолютная сходимость.

Если сходится, то сходимость интеграла называется абсолютной, а если сходится только , а расходится, тоусловной.

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 602; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!