Молекулярная физика.термодинамика

Идеальные газы подчиняются уравнению состояния

где р- давление газа;

V- его объем;

Т- термодинамическая температура;

М -молярная масса газа;

R=8,31441 Дж/(моль·К)-газовая постоянная;

ν = m/M - количество вещества.

По закону Дальтона давление смеси газов равно сумме их парциальных давлений, т.е. тех давлений, которые имел бы каждый из газов в отдельности, если бы он при данной температуре один заполнял весь объем.

Основное уравнение кинетической теории газов имеет вид

где n- число молекул в единице объема;

– средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы;

m₀ - масса молекулы;

< ²>- средняя квадратичная скорость молекул.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы

Средняя квадратичная скорость молекул

Внутренняя энергия газа

где i-число степеней свободы молекулы.

Связь между молярнойСи удельной с теплоемкостями

С = Мс.

Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме

Молярная теплоемкость при постоянном давлении

С_Р= С_V+R.

Закон распределения молекул по скоростям (закон Максвелла) позволяет найти число молекул ΔN, относительные скорости которых лежат в интервале от u до u+Δu:

гдеu= - относительная скорость;

υ- данная скорость;

=- наиболее вероятная скорость молекул;

Δu-интервал относительных скоростей, малый по сравнению со скоростью u.

Средняя арифметическая скорость молекул

Барометрическая формула дает закон убывания давления газа с высотой в поле силы тяжести:

где р- давление газа на высоте h;

p₀ - давление на высоте h= 0;

g= 9,8 м/с²– ускорение свободного падения.

Средняя длина свободного пробега молекул газа

где d- эффективный диаметр молекулы;

n -число молекул в единице объема (концентрация молекул).

Общее число столкновений всех молекул в единице объема за единицу времени

где z-среднее число столкновений каждой молекулы с остальными в единицу времени.

Масса, перенесенная за время Δtпри диффузии,

Δ ,

где - градиент плотности в направлении, перпендикулярном к площадке ΔS;

D= - коэффициент диффузии;

- средняя арифметическая скорость;

-средняя длина свободного пробега молекул.

Сила внутреннего трения F_тр в газе

F_тр = ∙ΔS

где - градиент скорости течения газа в направлении, перпендикулярном к площадкеΔS;

η = - динамическая вязкость.

Количество теплоты, перенесенное за время вследствие теплопроводности, определяется формулой

где - градиент температуры в направлении, перпендикулярном к площадке ΔS;

χ = –коэффициент теплопроводности.

Первое начало термодинамики может быть записано в виде

где dQ- количество теплоты, полученное газом;

dU- приращение внутренней энергии газа;

dA= pdV-работа, совершаемая газом.

Внутренняя энергия газа

гдеТ– термодинамическая температура.

Полная работа, совершаемая газом

Работа, совершаемая при изотермическом процессе

Давление и объем газа связаны при адиабатическом процессе уравнением Пуассона:

где показатель адиабаты .

Уравнение Пуассона может быть записано еще в таком виде:

или .

Работа, совершаемая при адиабатическом процессе, может быть найдена по формуле.

где р₁и V₁ – давление и объем газа при температуре Т₁ .

Уравнение политропического процесса имеет вид

где n – показатель политропы (0<n< ).

Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины

где Q₁ – количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя;

Q₂ – количество теплоты, отданное холодильнику.

Для цикла Карно

где Т₁и Т₂– термодинамические температуры нагревателя и холодильника.

Разность энтропий S_В-S_Адвух состоянийВ и А определяется формулой

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Закон Кулона

F= ,

где k = 9∙10⁹ Н∙м²/Kл²;

r – расстояние между зарядами;

– диэлектрическая проницаемость среды;

– сила взаимодействия двух точечных зарядов.

апряженность электростатического поля

где F – сила, действующая на точечный положительный заряд q₀, помещенный в данную точку поля.

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом на расстоянии r от заряда.

Е = .

Напряженность электрического поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (или цилиндром) на расстоянии r от ее оси:

где – линейная плотность заряда.

Линейная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по нити, к длине нити (цилиндра)

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью.

где – поверхностная плотность заряда.

Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по поверхности, к площади этой поверхности:

Напряженность поля, между двумя равномерно и разноименно заряженными параллельными бесконечными плоскостям (поле плоского конденсатора):

Напряженность электрического поляЕ, создаваемого металлической заряженной сферой радиусом R на расстоянии rот центра сферы:

а) на поверхности сферы (r = R)

б) вне сферы (r>R)

в) внутри сферы (r<R)

Е=0.

Электрическое смещение связано с напряженностью электрического поля соотношением:

Это соотношение справедливо только для изотропных диэлектриков.

Потенциал поля точечного заряда

где R – расстояние от заряда до точки, в которой вычисляется потенциал.

Работа перемещения электрического заряда в электрическом поле из точки А в точку В:

Потенциал поля металлической полой сферы:

а) на поверхности сферы (r = R):

гдеR – радиус сферы;

вне сферы (r>R):

где r – расстояние от центра сферы.

Связь между напряженностью поля и потенциалом

Для постоянного поляЕ = const

Сила между двумя заряженными обкладками конденсатора

Электрическая емкость уединенного проводника или конденсатора

где Δq – заряд, сообщенный проводнику (конденсатору);

Δ – изменение потенциала, вызванное этим зарядом.

Емкость плоского конденсатора

С = ,

где S – площадь пластины конденсатора;

d – расстояние между пластинами.

Емкость батареи параллельно соединенных конденсаторов

С = С₁ + С₂ + С₃ + ….+ С_n,

где n – число конденсаторов.

Напряжение и заряд на конденсаторах, соединенных параллельно,

U = U₁ = U₂ =…..= U_n

q = q₁+ q₂ + q₃ +……q_n

Емкость батареи последовательно соединенных конденсаторов:

Напряжение и заряд на конденсаторах, соединенных последовательно

U = U₁ + U₂ +…..+ U_n

q = q₁= q₂ = q₃= q_n

Энергия заряженного плоского конденсатора

где V– объем конденсатора.

Объемная плотность энергии электрического поля:

Примеры решения задач (контрольная работа №1):

1. Две материальные точки движутся согласно уравнениям = 4 + 2t + 4,5t² и х₂ = 5t +3 Через какое время, считая от начала отсчета, их ускорения станут одинаковы? Чему будут равны скорости этих точек в этот момент? Все величины выражены в системе СИ.

Решение:

Определим зависимость ускорений точек от времени их движения. Для этого возьмем сначала первую, а потом вторую производную координат точек по времени.

= =2+9tи

= 5 + 9

= = 9 м/с²

= = 18t,

а₁ = а₂ по условию задачи;

9 = 18t ,

откуда t = 0,5с.

Теперь подставим значение времени в уравнения скоростей и вычислим их:

Ответ: t = 0,5с. = 6,5 м/c. = 7,25 м/c.

2.Материальная точка движется с ускорением, изменяющимся со временем по закону а = 4t. Найти путь, пройденный ею за 4 с. Начальная скорость точки 2м/с.Все величины выражены в системе СИ.

Решение:

Определим путь методом интегрирования:

S =

Аналогично определим зависимость скорости от времени:

υ = + = + = + 2 .

Значение скорости подставим в формулу пути и выполним интегрирование:

S = + 2 )dt = dt + dt = t + = 4 (2+ ∙16) = 50,7м

Ответ: S = 50,7м.

3. Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10об/ Человек массой 60 кг стоит на ее краю. С какой частотой ν₂ станет вращаться платформа, если человек перейдет в еецентр? Считать платформу круглым однородным диском, а человека – материальной точкой.

Решение:

По закону сохранения момента импульса суммарный импульс платформы и человека , когда он стоял на ее краю, должен сохраниться, то есть должен быть равным суммарному моменту импульса платформы и человека после того, как человек перешел в центр платформы:

+ = +

Момент импульса вращающегося тела равен произведению момента инерции тела и его угловой скорости

₀₁ + ₀₂ = (I_пл + I_чел1 ) ₁и

₁ + ₂ = (I_пл + I_чел2 ) ₂

где – угловая скорость платформы и человека, когда он стоял на ее краю, а

– угловая скорость платформы и человека, когда он перешел в центр.

Момент инерции платформы как однородного цилиндра

Момент инерции человека, стоящего на краю платформы, определим по формуле момента инерции материальной точки:

Момент инерции человека, стоящего в центре платформы

= ∙0 = 0

Подставим выражение для моментов инерции в основное уравнение, получим:

( + ∙ = ,

угловая скорость связана с частотой вращения соотношением 2

Подставим числа и найдем искомую частоту вращения

= ₁(1+ ) = (1+ )Гц

Ответ: .

4. Смесь кислорода и азота при температуре Т = 290К и давлении p = 5,8 кПа имеет плотность ρ = 0,4кг/м³. Определите концентрацию молекул кислорода n₁ в смеси.

Решение:

При решении данной задачи воспользуемся следующими формулами:

P = n k T,

μ = m₀N_A, m_{0 =}

ρ = n∙ m_0.

ρ = n₁ + n₂ ;

P₁ = n₁ k T,

P₂ = n₂ k T,

n₁ + n₂= ;

n₂ = – n₁;

= n₁ ₁ + ( – n₁ ) μ₂;

n₁= .

Ответ: n₁=

5.Вертикальный замкнутый цилиндрический сосуд высотой 50 см разделен подвижным поршнем весом 110 Н на две части, в каждой из которых содержится одинаковое количество идеального газа при температуре 361К. Сколько молей газа находится в каждой части цилиндра, если поршень находится на высоте 20 см от дна сосуда? Толщиной поршня пренебречь.

Решение:

Запишем уравнения состояния для газа в верхней и нижней частях сосуда:

Р₁V₁ =νRT,

Р₂V₂ = νRT,

где V₁ и V₂- объемы соответственно верхней нижней частей.

V₁ = S (H – h),

V₂ = Sh,

где S – сечение поршня;

Н – высота сосуда;

h – высота, на которой находится поршень.

Условие равновесия поршня:

Р₁S + mg – Р₂S = 0.

Подставляя данные задачи, получим количество молей.

Ответ: ν = 0,022 моль.

6. Найти массу кислорода, перенесенную вследствие диффузии за время t = 8с через площадку S = 1м² при градиенте плотности в направлении, перпендикулярном площадке, =1,4 ⁴.Температура кислорода 17˚С, молярная масса 0,032кг/моль. Средняя длина пробега молекул кислорода λ = 5мкм.

Решение:

Запишем уравнение переноса массы:

Знак « - » свидетельствует о том, что перенос кислорода происходит в направлении уменьшения его плотности.

Коэффициент диффузии D определяется выражением

Среднюю арифметическую скорость определим по формуле

С учетом этого коэффициент диффузии

D = λ .

Подставим правую часть этого выражения в первую формулу, найдем массу кислорода:

знак « - » при вычислениях можно опустить.

Произведем вычисления: Δm = 8,2г.

Ответ: Δm = 8,2г.

7. Рабочий объем цилиндра поршневого насоса 0,5л. Насос соединен с баллоном вместимостью 3л, содержащим воздух при давлении 1∙10⁵ Па. Найдите давление воздуха в баллоне после пяти рабочих ходов поршня в случае работы в разрежающем режиме.

Решение:

Если в начале первого рабочего хода поршня воздух в баллоне занимал объем V₂ = 3∙10^-3 м³ при давлении Р₀, то в разрежающем режиме к концу первого хода поршня та же масса воздуха займет объем V₂ + V₁ при давлении Р₁. Так как изменение температуры не учитывается , то по закону Бойля-Мариотта:

Р₀V₂= P₁(V₁ + V₂),

откуда

Р₁ = P₀.

В начале второго хода поршня объем и давление газа в баллоне соответственно V₂ и Р₁ , в конце хода они равны V₂ + V₁ и Р₂, откуда

Р₂ = P₁,

или

Р₂ = P₀.

Продолжая те же рассуждения, находим, что к концу n-го рабочего хода

Подставляя числовые значения, получаем Р_n = 48кПа.

Ответ: 48кПа.

8. Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром d = 10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

Решение:

Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности: внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление

Р = 2∙ ,

где r– радиус пузыря;

Так как

то

Работу, которую нужно совершить, чтобы растягивая пленку, увеличить ее поверхность на ΔS, выражается формулой

А =

А = ₀).

В данном случае S – общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря;

S₀ – общая площадь двух поверхностей плоской пленки, затягивавшей отверстие трубки до выдувания пузыря.

Пренебрегая S₀, получаем

А = = 2 d²,

Произведем вычисления: Р = 3,2 Па, А = 2,5мДж.

Ответ: Р = 3,2Па; А = 2,5мДж.

9. Найдите КПД цикла, изображенного на рисунке для идеального одноатомного газа.

Решение:

КПД цикла η = ,

где работа определяется как площадь прямоугольника

А= (2Р₁- Р₁)∙(3V₁ – V₁) = 2P₁V₁ ,

Для нахождения затраченного количества теплоты нужно определить, в каких процессах газ получал теплоту. Для этого воспользуемся первым законом термодинамики, формулой для внутренней энергии и уравнением состояния идеального газа:

Q = ΔU + А

Р₁V₁ = ν₁RT₁,

Процесс 1-2:

ΔU₁₂ ˃ 0, А₁₂ = 0, Q₁₂˃ 0,

Q₁₂ = ΔU₁₂= (2P₁V₁ - P₁V₁) = Р₁V₁,

Процесс 2-3:

ΔU₂₃˃ 0, А₂₃ ˃ 0, Q₂₃ ˃ 0,

Q₂₃= (2Р₁ 3V₁ - 2 P₁V₁) + 2P₁ (3V₁ – V₁) = 10 P₁V₁,

Процесс 3-4:

ΔU₃₄ ˂ 0, А₃₄ = 0, Q₃₄ 0 ,

Процесс 4-1:

ΔU₄₁ ˂ 0, А₄₁ ˂ 0, Q₄₁ 0,

Тогда

Q = Q₁₂ + Q₂₃, Q = ,

Коэффициент полезного действия замкнутого цикла

η = = = = ,

Искомый КПД = 17%

Ответ: 17%

10. Найти изменение энтропии ΔS при превращении массы m = 10г льда (Т₁ = 253К) в пар (Т₂ = 373К).

Решение:

Изменение энтропии определяется формулой

где S_A и S_B – энтропия в первом и во втором состояниях.

Общее изменение энтропии в данном случае складывается из изменений ее в отдельных процессах.

При нагревании массы m льда от температуры Т₁ до температуры Т₀ = 273К имеем

dQ = mc_лdT,

где с_л = 2,1кДж/(кг∙К) – удельная теплоемкость льда;

При плавлении массы m льда при температуре Т₀ имеем

где L = 0,33 МДж/кг – удельная теплота плавления, и

При нагревании массы m воды от температурыТ₀ до температуры Т₂ имеем

где с =4190Дж/(кг∙К) – удельная теплоемкость воды.

При испарении массы m воды при температуре Т₂ имеем

где r = 2,26МДж/кг – удельная теплота парообразования.

Общее изменение энтропии:

Ответ: 88 Дж/К.

11. Найти изменение энтропии ΔS при переходе массыm = 8г кислорода от объема V₁ = 10л при температуре Т₁=353Кк объему V₂ = 40л при температуре Т₂ = 573К.

Решение:

Имеем

По первому закону термодинамики

dQ = + PdV ,

и уравнению Менделеева – Клапейрона

РV = νRT,

запишем изменение энтропии

ΔS = + ,

ΔS = Rln + Rln = 5,4Дж/К.

Ответ: 5,4 Дж/К.

12. Какой процент молекул углекислого газа при 0˚С обладает скоростями от 85,5м/с до 95,5м/с?

Решение:

Запишем распределение Максвелла:

Здесь ΔN – число молекул, относительные скорости которых лежат в интервале от u до Δu;

N – общее число молекул углекислого газа;

e – основание натурального логарифма;

u = – относительная скорость молекул;

Δu = ,

υ – скорость молекул в данных условиях;

υ_в – наиболее вероятная скорость в данных условиях;

υ_в = = 321м/с.

Отсюда

= u²Δu

Тогда относительная скорость u= м/с = 0,27,

а u² = 0,07 и = 2,7^-0,07 = 0,9.

Интервал скоростей

Δυ = υ₂ – υ₁ = 95,5м/с – 85,5м/с = 10м/с.

С учетом этого

Δu = = 0,03

Произведем вычисления:

= 0,43%

Ответ: = 0,43%

13. В вершинах при основании прямоугольного равнобедренного треугольника расположены одинаковые точечные заряды по 20нКл (рис.1а) Расстояние между зарядами равно 60 см. Определить напряжённость электрического поля и потенциал в вершине прямого угла и на пересечении высоты с основанием треугольника. Рассмотреть случаи одноимённых и разноименных зарядов.

Дано: Решение:

Если поле создано несколькими электрическими зарядами, то результирующая напряжённость будет, согласно принципу суперпозиции, равна геометрической сумме напряжённостей полей, создаваемых отдельными зарядами.

q₁= q₂ = 2×10^-8Кл

r = 0,6 м

e = 1

Е_С - ? E_D - ? j_С - ?

j_D - ?

В данном случае

где напряжённости полей, создаваемых зарядами q= q₁= q₂ в точке С.

Электрический потенциал поля в точке С, созданного каждым зарядом в отдельности определяется формулой , а потенциал суммарного поля будет
равен алгебраической сумме потенциалов j_A₁и j_B₁, созданных в заданной точке зарядами q₁ иq₂.

Найдём модуль . Так как угол между и равен p/2, то может быть найдена, как гипотенуза в прямоугольном треугольнике, причём результирующая напряжённость в точке С направлена вертикально вверх для положительных (одноимённых ) зарядов и горизонтально, если заряды разноимённые (рис.1а, 1б). Модуль напряжённости в обоих случаях одинаков и равен:

Вычислим Е_С,учитывая, что

Электрический потенциал в точке С, созданный каждым зарядом:

Потенциал результирующего поля, образованного двумя положительными зарядами в точке С, определится как алгебраическая сумма потенциалов j_A₁и j_B₁, т.е.

Если заряды разноимённые, то

Поскольку точка D расположена посередине отрезка, соединяющего заряды, напряжённости и равны по модулю:

В случае одноимённых зарядов результирующая напряжённостьE_D₁= 0(рис. 1а), т.к. векторы и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, в случае разноимённых зарядов (рис. 1б) напряжённость равна

и направлена в сторону отрицательного заряда.

Электрический потенциал в точке D₁ равен

В случае разноимённых зарядов

Контрольная работа №1

100. Материальная точка движется согласно уравнению х = 3 + t – 6t² + . В какой момент времени, считая от начала его отсчета, ускорение точки станет равно нулю?

101. Две материальные точки движутся согласно уравнениям: = 2 – 4t + 6t² и х₂ = 5 + 3t + t². Через какое время, считая от начала отсчета, их скорости станут одинаковы и каковы координаты точек в этот момент?

102.Чему равны путь и перемещение материальной точки за 5 с, движущейся в направлении оси Ох в соответствии с уравнением х = 12 – 8t + 2t²? Все величины выражены в системе СИ.

103.Поезд движется по закруглению радиусом 100 м, причем зависимость его координаты от времени дается уравнением x = Ct³, где С = 10 ³– постоянная величина. Найти полное ускорение поезда в тот момент, когда его скорость 54 .

104. Материальная точка движется согласно уравнению х = 5+3t + 2t² + . В какой момент времени ускорение точки станет равно 10 ².

105. Две материальные точки движутся согласно уравнениям: = 6 - 2t + t³ и х₂ =3 +9t²– 2t³. Через какое время, считая от начала отсчета, их ускорения станут одинаковы? Все величины выражены в системе СИ.

106. Свободно падающее тело за последнюю секунду падения прошло 1/3 своего пути. Найти время падения и высоту, с которой упало тело?

107.Два тела брошены вертикально вверх с различными начальными скоростями. Одно из них достигло вчетверо большей высоты, чем другое. Во сколько раз его начальная скорость была больше начальной скорости другого тела?

108. Мяч брошен со скоростью 10 под углом 3 к горизонту.

а) на какую высоту h поднимется мяч?

б) на каком расстоянии S от места бросания от упадет?

в) какое время t он будет в движении?

г) какова скорость υ тела в наивысшей точке полета?

д) определить нормальное и тангенциальное ускорения в начальной точке траектории и в наивысшей точке полета

е) определить радиус кривизны R траектории.

109. С башни высотой h =25 м брошен камень со 15 м/спод углом φ = к горизонту. Какое время t камень будет в движении? На каком расстоянии S от основания башни камень упадет на землю? С какой скоростью υ он упадет на землю? Какой угол φ составит траектория камня с горизонтом в точке падения?

110. Камень брошен горизонтально со скоростью = 15 Найдите нормальное и тангенциальное ускорение камня через 1с после начала движения.

111.Тело брошено горизонтально с начальной скоростью = 10м/с.Для момента времени, равного t = 2 с после начала движения, найти:

а) угол между вектором скорости и вертикалью;

б) модули тангенциального и нормального ускорений.

112. Груз массой 1 кг, привязанный к нити, отклоняют на 90° от положения равновесия и отпускают. Определить натяжение нити в момент прохождения грузом положения равновесия.

113. Тело массой m = 0,5 кг движется прямолинейно, причем зависимость пройденного телом пути от времени дается уравнением S = A + Bt + Ct² + Dt³, где С = 5 м/с², D = 1 м/с³. Найти величину силы, действующей на тело в конце первой секунды движения.

114. На брусок массой m = 5 кг в горизонтальном направлении действует сила F = 20 Н. Определить ускорение, с которым движется брусок, если коэффициент трения с горизонтальной поверхностью µ = 0,4.

115. Вагон массой 40 т, движущийся со скоростью 2 , в конце пути ударяется о пружинный амортизатор. Насколько он сожмет пружину, коэффициент упругости у которой k = 2,5∙10⁵ ?

116.Две пружины жесткостью = 0,5 и = 1 скреплены параллельно. Определить потенциальную энергиюЕ_р данной системы при абсолютной деформации x = 4 см.

117. Тело скользит сначала по наклонной плоскости, составляющей угол φ=1 , а затем по горизонтальной поверхности. Найти коэффициент трения, если расстояния, пройденные по наклонной плоскости и по горизонтали равны.

118. Некоторое тело движется прямолинейно под действием силы, являющейся функцией времени F = 2t³+ 8t , а пройденный телом путь определяется соотношением S = t³+ t, где все величины выражены в системе СИ. Определить работу, произведенную силой за 1 с после начала движения.

119. Пуля массой 9 г, летевшая со скоростью 600 , попадает в кирпичную стену и проникает в нее на глубину 20 см. Определить среднюю силу сопротивления кирпича движению пули.

120.Брусок тянут к вершине наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 3 м. Коэффициент трения µ = 1,5, чему равен КПД наклонной плоскости?

121. Два груза массами 800 г и 20 г связаны невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок. Блок вращается без трения. С какой скоростью левый груз, двигаясь без начальной скорости, достигнет пола, если вначале он располагался на высоте 1м над ним?

122. Материальная точка движется по окружности с радиусом 5 м. Угол поворота радиуса-вектора этой точки связан со временем движения соотношением φ = 5t + 10 , где все величины выражены в системе СИ. Найти период обращения материальной точки и ее угловую скорость в конце 10 секунды.

123. На шкив радиусом 10 см намотана нить, к которой привязан груз. Под действием груза шкив приходит во вращательное движение, причем за 5 с, двигаясь равноускоренно, он опускается на 2,5 м. Определить линейную и угловую скорость точек цилиндрической поверхности шкива в конце 7 секунды и угловое ускорение шкива.

124. Определить момент инерции земного шара I и его момент импульса L относительно оси вращения, проходящей через Солнце перпендикулярно плоскости орбиты Земли. Землю считать материальной точкой. Масса Земли 6∙ кг. Радиус орбиты Земли 1,5∙ м.

125. Вентилятор вращается с частотой 900 . После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 оборотов. Работа сил торможения 44,4 Дж. Найти момент инерции вентилятора I и момент силы торможения.

126. Маховик, момент инерции которого 63, 6 кг∙ , вращается с постоянной угловой скоростью 31,4 . Найти момент сил трения, под действием которых маховик останавливается через 20 с.

127. Однородный стержень длиной и массой 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр стержня. С каким угловым ускорением ε вращается стержень, если к его концу приложена постоянная по величине сила 5 Н, направленная перпендикулярно длине стержня? Сколько полных оборотов N сделает стержень за 10с, считая от начала вращения?

128. Четвертая часть горизонтального стержня изготовлена из меди. Ее масса 2 кг. Масса стальной части стержня 1м. Найти положение центра тяжести стержня относительно его медного конца.

129. Блок массой 1 кг укреплен на конце стола. Гири равной массы 2 кг соединены нитью, перекинутой через блок. Коэффициент трения гири о поверхность стола 0,1. Блок считать однородным диском. Найти ускорение, с которым движутся гири.

130. Медный шар радиусом 10 см вращается с частотой 2 вокруг оси, проходящей через его центр. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить его угловую скорость вдвое? Плотность меди ρ = 89 ³.

131. Шар массой 1 кг, катящийся без скольжения, неупруго ударяется о стенку и отскакивает от нее. Скорость шара до удара о стенку 10 , после удара 8 . Найти количество теплоты Q, выделившееся при ударе.

132. Горизонтальная платформа массой 80 кг и радиусом 1м вращается с частотой 20 . В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек опустит руки, уменьшив при этом свой момент инерции от 2,94 кг∙ до 0,98 кг∙ ?

133. Чему равен момент инерции I цилиндра с диаметром основания D и высотой h относительно оси, совпадающей с егообразующей? Плотность материала цилиндра ρ.

134. Однородный диск радиусом 0,2 м и массой 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. Зависимость угла поворота диска от времени дается уравнением φ = А + Вt + С , где С= 2 ²вращению диска противодействует тормозящий момент сил трения М= 1Н∙м. Определить величину касательной силы, приложенной к ободу диска.

135. Обруч массой 1 кг и радиусом 0,2 м вращается равномерно с частотой 3 относительно оси, проходящей через середину его радиуса перпендикулярно плоскости обруча. Определить момент импульса обруча L.

136. Маховое колесо, имеющее момент инерции 245 кг∙ , вращается с частотой 20 . В некоторый момент времени на него стала действовать тормозящая сила, в результате чего колесо через 1мин остановилось. Радиус колеса 0,2 м. Найти величину тормозящего момента и число полных оборотов, сделанных колесом до остановки.

137. На барабан радиусом 0,2 м, момент инерции которого 0,1кг∙ , намотан шнур, к которому привязан груз массой 0,5кг. До начала вращения высота груза над полом 1м. Найти кинетическую энергию груза в момент удара о пол. Движение груза считать равноускоренным.

138. На барабан радиусом 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 10 кг. Найти массу барабана если известно, что груз опускается с ускорением 2 ².Барабан считать однородным диском. Трением пренебречь.

139. Какую работу надо совершить в течение 1 мин, чтобы увеличить частоту вращения маховика массой 50 кг, имеющего форму диска диаметром 1,5 м, от 0 до 5 ? К ободу маховика приложена по касательной постоянная сила трения 1Н.

140. Определить момент инерции шара относительно оси, совпадающей с касательной к его поверхности. Радиус шара 1м.

141. В баллоне объемом V = 25 л находится водород при температуре Т = 290 К. После того как часть водорода израсходовали, давление в баллонепонизилось на Δр = 0,4МПа. Определить массу т израсходованного водорода.

142. В баллонах объемом V₁= 20 л и V₂= 44 л содержится газ. Давление в первом баллоне р₁= 2,4 МПа, во втором -р₂= 1,6 МПа. Определить общее давление ри парциальные р'₁и р'₂после соединения баллонов, если температура газа осталась прежней.

143. Сколько атомов содержат газы массой m= 1 г каждый: а) гелий, б) углерод?

144.В баллоне вместимостью V= 5 л содержится кислород массой m= 20 г. Определить концентрацию n молекул в баллоне.

145.Одна треть молекул азота массой m= 10 г распалась на атомы. Определить полное число N частиц, находящихся в таком газе.

146. Определить молярную массу М и массу m₀ одной молекулы следующих газов: а) кислорода, б) азота.

147.Определить среднее значение ‹ε› полной кинетической энергии одной молекулы гелия, кислорода и водяного пара при температуреТ= 400 К.

148.Определить кинетическую энергию ‹ε₁›, приходящуюся в среднем на одну степень свободы молекулы азота, при температуреТ= 1 кК, а также среднюю кинетическую энергию ‹ε_n› поступательного движения, ‹ε_в› вращательного движения и среднее значение полной кинетической энергии ‹ε› молекулы.

149.При какой температуреТсредняя квадратичная скорость атомов гелия станет равной второй космической скорости = 11,2 км/с?

150.Определить наиболее вероятную скорость молекул водорода при температуреТ= 400 К.

151.Найти импульс mυмолекулы водорода при температуре t= 20°С. Скорость молекулы считать равной средней квадратичной скорости.

152.Найти энергию вращательного движения молекул, содержащихся в массе m= 1 кг азота при температуре t= 7°С.

153.Найти внутреннюю энергию Wдвухатомного газа, находящегося в сосуде объемом V= 2 л под давлением

р= 150 кПа.

154.Какое число молекул N двухатомного газа содержит объем V= 10 см³ при давлении р = 5,3 кПа и температуре t˚= 27°С? Какой энергией теплового движения Wобладают эти молекулы?

155.Найти среднюю длину свободного пробега λ молекул водорода при давлении р = 0,1 Па и температуреТ = 100 К.

156.При каком давлении р средняя длина свободного пробега λ молекул азота равна 1 м, если температураТ газа равна 300 К?

157.Три сферы радиусами 4 см, 8 см, 10 см заполнены газом и соединены тонкими трубками, перекрытыми кранами. Давление газа в левой сфере 0,2 МПа, давление газа в средней сфере 0,4 МПа, давление газа в правой сфере 0,8 МПа. Каким станет давление газа, если оба крана открыть?

158.При каком давлении p средняя длина свободного пробега молекул водорода λ = 2,5 см при температуре t˚ = 68ºС? Диаметр молекул водорода принять равным d = 2,3∙10^-10м.

159.Определить коэффициент внутреннего трения для водорода η, имеющего температуру t˚ = 27ºС.

160.Найти удельную теплоемкость для кислорода.

161.Найти удельную теплоемкость для хлористого водорода и неона.

162.Удельная теплоемкость некоторого двухатомного газа с_Р= 14,7 кДж/(кг∙К). Найти молярную массу M этого газа.

163.Плотность некоторого двухатомного газа при нормальных условиях ρ= 1,43кг/м³. Найти удельные теплоемкости с_V и с_Р этого газа.

164.Многоатомный газ, находящийся под давлением 0,10 МПа при температуре 7°С, был изобарно нагрет на 40 К, в результате чего он занял объем 8,0 дм³. Определить количество теплоты, переданное газу.

165.Двухатомный газ находится в закрытом баллоне вместимостью 5,0 дм³ под давлением 0,20 МПа. После нагревания давление в баллоне увеличилось в 4 раза. Определить количество теплоты, переданное газу.

166.В цилиндре диаметром d= 40 см содержится двухатомный газ объемом V= 80 дм³. На сколько следует увеличить нагрузку поршня при подводе количества теплоты Q = 84 Дж, чтобы поршень не пришел в движение?

167.Двухатомный газ, находящийся при температуре 250°С, сжимают изотермически так, что его объем уменьшается в 3 раза. Затем газ расширяется адиабатно до начального давления. Найти температуру газа в конце адиабатного расширения.

168.Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, совершает за один цикл работуА = 1,5∙10⁵ Дж. Температура нагревателя Т₁ = 400 К, температура холодильника Т₂ = 260К. Найти КПД машины η, количество теплоты Q₁, получаемое машиной за один цикл от нагревателя, и количество теплоты Q₂, отдаваемое за один цикл холодильнику.

169.Температура нагревателя тепловой машины Т₁ = 500 К. Температура холодильника Т₂= 400 К. Определить КПД тепловой машины η, работающей по циклу Карно, и полезную мощность машины N, если нагреватель ежесекундно передает ей 1675 Дж теплоты.

170.Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура нагревателя Т₁ = 227К. Определить термический КПД цикла η и температуру охладителя тепловой машины Т₂, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу 350 Дж.

171.Кислород массой m = 1 кг совершает цикл Карно. При изотермическом расширении газа его объем увеличивается в 2 раза, а при последующем адиабатическом расширении совершается работа А₁ = 3000 Дж. Определить работу А₂, совершенную за цикл.

172. С одноатомным идеальным газом совершают замкнутый цикл, состоящий из двух изобар (Р₁, Р₂) и двух изохор (V₁, V₂).Чему равен коэффициент полезного действия цикла?

173.Тепловая машина работает по циклу Карно.Температура нагревателя t₁ = 127 ºС, холодильника t₂= 15 ºС. На сколько надо изменить температуру нагревателя (при неизменной температуре холодильника), чтобы увеличить КПД машины в 2 раза?

174.Идеальный газ совершает цикл Карно при температурах теплоприемника Т₂= 290 К и теплоотдатчика Т₁ = 400 К. Во сколько раз увеличится коэффициент полезного действия η цикла, если температура теплоотдатчика возрастет до Т₁= 600 К?

175.Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура Т₁теплоотдатчика в четыре раза (n = 4) больше температуры теплоприемника Т₂. Какую долю ω количества теплоты, полученного за один цикл от теплоотдатчика, газ отдаст теплоприемнику?

176.Определить работу А₂ изотермического сжатия газа, совершающего цикл Карно, КПД которого η = 0,4, если работа изотермического расширения равна А₁ = 8 Дж.

177.Лед массой m = 2 кг, находящийся при температуре t₁ = -13 ºС, нагрели до t₂ = 0 ºС и расплавили. Определить ΔS изменение энтропии.

178.Лед массой m = 2 кг, находящийся при температуре t = -10 ºС, нагрели и превратили в пар. Определить ΔS изменение энтропии.

179.Определить изменение энтропии ΔS при изотермическом расширении водорода массой m = 1 г, если объем газа увеличился в 3 раза.

180. На расстоянии d = 20 см находятся два точечных заряда ₁ = -50нКл и q₂ = 100 нКл. Определить силу F, действующую на заряд q₃ = -10 нКл, удаленный от обоих зарядов на одинаковое расстояние, равное d.

181. На тонких нитях длиной 12см подвешены шарики массой по 1г. Точка подвеса общая. Им сообщили положительный заряд, и они разошлись на угол 45 . Определить электростатическую силу отталкивания, силу тяготения между ними и величину зарядов шариков.

182. Параллельно бесконечной плоскости, заряженной с поверхностной плотностью заряда 4мкКл/м², расположена бесконечно длинная нить с линейной плотностью заряда = 100нКл/см. Определить силу, действующую на отрезок нити длиной d = 1м со стороны плоскости.

183. С какой силой на единицу площади взаимодействуют две бесконечные параллельные плоскости, заряженные с одинаковой поверхностной плотностью заряда = 5мкКл/м²?

184. С какой силой на единицу длины отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда = 3мкКл/м, находящиеся на расстоянии r = 2см друг от друга?

185. Две бесконечно длинные положительно и равномерно заряженные нити расположены параллельно друг другу на расстоянии 6см. Геометрическое место точек, где результирующая напряженность поля равна нулю, расположено в два раза дальше от нити с линейной плотностью заряда = 4∙10^-6 Кл/м, чем от второй нити, линейную плотность которой требуется определить.

186. В плоском горизонтально расположенном конденсаторе заряженная капелька ртути находится в равновесии при напряженностиE = 60кВ/м. Заряд капли q = 2∙10^-18 Кл. Найти радиус капли.

187. Две бесконечно длинные равномерно заряженные нити расположены параллельно друг другу на расстоянии 12см друг от друга.Установить геометрическое место точек, где результирующая напряженность поля равна нулю. Нити даны с линейной плотностью заряда ₁ = 6∙10^-9 Кл/м и ₂ = -3∙10^-9 Кл/м.

188.Две бесконечно длинные прямые заряженные нити расположены параллельно друг другу на расстоянии 5 см друг от друга. На нитях равномерно распределены заряды с линейными плотностями ₁ = -5 мкКл/см и ₂ = 10 мкКл/см. Определить напряженность Е электрического поля в точке, удаленной от первой нити на расстояние r₁ = 3см, от второй на расстояние r₂ = 4см.

189. Две бесконечные плоскости, заряженные с поверхностными плоскостями зарядов = 5∙10^-7мкКл/м²и = 3∙10^-7мкКл/м2, параллельны друг другу. Чему равна напряженность поля между плоскостями и вне плоскостей, если плоскости заряжены одноименно (знак заряда на плоскостях одинаковый)?

190.Две бесконечные плоскости, заряженные с поверхностными плоскостями зарядов = 5∙10^-7мкКл/м²и = 3∙10^-7мкКл/м² , параллельны друг другу. Чему равна напряженность поля между плоскостями и вне плоскостей, если плоскости заряжены разноименно (знак заряда на плоскостях разный)?

191. Два шарика с зарядами q₁ = 6,66 нКл и q₂ = 13,33 нКл находятся на расстоянии r₁ = 40 см. Какую работу надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния r₂ = 25см?

192. Шарик массой 40 мг, имеющий положительный заряд q = 1 нКл, движется со скоростью υ = 10 см/с. На какое расстояние r может приблизиться шарик к положительному точечному заряду q₀ = 1,33 нКл?

193. Поле образовано бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда = 40 мкКл/м². Определить разность потенциалов двух точек поля, отстоящих от плоскости на r₁ = 15 см и r₂ = 20 см.

194. Четыре одинаковые капли ртути, заряженные до потенциала = 10В, сливаются в одну. Каков потенциал ₁ образовавшейся капли?

195. Электрическое поле образовано бесконечно длинной заряженной нитью, линейная плотность заряда которой τ = 20нКл/м. Определить разность потенциалов U двух точек поля, отстоящих от нити на расстоянии r₁ = 8см и r₂ = 12 см.

196. Два точечных заряда q₁ = 4∙10^-8 Кл, q₂ = 3∙10^-8 Кл сближаются от r₁ = 40 см до r₂ = 15 см. Определить значения потенциалов в точках, где находятся заряды после сближения.

197.Два одинаковых плоских воздушных конденсатора емкостьюС = 100 пФ каждый соединены в батарею параллельно. Определить, на сколькоизменится емкость батареи, если пространство между пластинами одного конденсатора заполнить парафином.

198. Два конденсатора ёмкостьюС₁ = 10^-6Ф соединены последовательно и присоединены к батарее с ЭДС = 80 В. Определить заряд q₁ иq₂ каждого из конденсаторов и разности потенциалов U₁и U₂ между их обкладками.

199.Плоский конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом 10 см каждая. Расстояние между пластинами d = 2 мм. Конденсатор присоединён к источнику напряженияU = 80 В. Определить заряд и напряженность E поля конденсатора в двух случаях: а) диэлектрик – воздух (ԑ₁= 1 ); б) диэлектрик – стекло ( ԑ₂ = 6 ).

ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

Сила тока

Сила постоянного тока

где q– количество электричества, прошедшее через поперечное сечение проводника за время t.

Плотность электрического тока есть векторная величина, равная отношению силы тока к площади Sпоперечного сечения проводника:

Сопротивление однородного проводника

где ρ – удельное сопротивление вещества проводника;

l–его длина.

Проводимость Gпроводника и удельная проводимость γвещества

Зависимость удельного сопротивления от температуры

где ρ и ρ₀– удельные сопротивления соответственно при t и 0 °С;

t–температура (по шкале Цельсия);

α– температурный коэффициент сопротивления.

Сопротивление соединения проводников:

последовательного

параллельного

здесь Ri– сопротивление i-го проводника; п– число проводников.

Закон Ома:

для неоднородного участка цепи

для однородного участка цепи

для замкнутой цепи

здесь – разность потенциалов на концах участка цепи;

– ЭДС источников тока, входящих в участок;

U– напряжение на участке цепи;

R–сопротивление цепи (участка цепи);

– ЭДС всех источников тока цепи.

Правила Кирхгофа. Первое правило: алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю, т. е.

где п– число токов, сходящихся в узле.

Второе правило: в замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил, т. е.

где I_i– сила тока i-м участке;

R_i– активное сопротивление на i-м участке;

ε – ЭДС источников тока на i-м участке;

п– число участков, содержащих активное сопротивление;

k–число участков, содержащих источники тока.

Работа, совершаемая электростатическим полем и сторонними силами в участке цепи постоянного тока за время t

Мощность тока

Закон Джоуля – Ленца

где Q– количество теплоты, выделяющееся в участке цепи за время t.

Закон Джоуля – Ленца справедлив при условии, что участок цепи неподвижен и в нем не совершаются химические превращения.

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Связь магнитной индукции с напряженностью магнитного поля

= ,

где – магнитная проницаемость изотропный среды;

– магнитная проницаемость ( = 4∙10^-7 Гн/м).

В вакууме = 1 и тогда магнитная индукция в вакууме

= .

Закон Био - Савара – Лапласа

d = или

где dB – магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника длиной dƖ c током I ;

– радиус – вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой вычисляется магнитная индукция;

– угол между радиусом – вектором и направлением тока в элементе проводника.

Магнитная индукция в центре кругового тока

В = ,

где R – радиус кругового витка.

Магнитная индукция поля прямого тока

В = ,

где –расстояние от оси проводника до точки, в которой вычисляется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводника стоком

В = ( - )

Магнитная индукция поля соленоида

В = nI,

где n – число витков соленоида, приходящееся на единицу длины.

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, закон Ампера

или

где Ɩ- длина проводника;

– угол между направлением тока в проводнике и вектором магнитной индукции

Это выражение справедливо для однородного магнитного поля и прямого отрезка проводника. Если поле неоднородно и проводник не является прямым, то закон Ампера можно применять к каждому элементу проводника в отдельности:

d = I .