Оценка погрешности интерполяционных формул
Погрешность формулы Лагранжа
погрешность формулы Лагранжа можно записать в общем виде:
, (2.17)
надо отметить, что точка 
лежит внутри отрезка 
.
Формула (2.17) справедлива для всех точек отрезка , в том числе и для узлов интерполяции. Обозначим за 
, тогда формулу (2.17) можно переписать
. (2.18)
Пример. С какой точностью можно вычислить 
с помощью квадратичной интерполяционной формулы Лагранжа, если узлы интерполяции 
, 
, 
.
Так как полином квадратичный, для оценки погрешности нам потребуется вычислить третью производную функции 
:
первая производная функции : 
,
вторая производная функции : 
,
третья производная функции : 
.
Оценим константу 
.
Оценим погрешность: 
Ответ: 
.
Погрешность формулы Ньютона
Пусть 
, 
, …, 
- узлы интерполяции, равноотстоящие друг от друга, т.е. 
, 
. Множество 
. Требуется оценить погрешность формулы Ньютона.
Если обозначить за q выражение: 
. Тогда, воспользовавшись формулой (2.18), для первой интерполяционной формулы Ньютона остаточный член или погрешность будет иметь вид:
, где 
.
Если же требуется найти остаточный член второго интерполяционного полинома Ньютона, то в качестве 
берется выражение: 
, тогда погрешность:
, где .
Вообще говоря, 
в случае интерполяции; при экстраполяции возможен случай 
.
Если предположить, что h достаточно мало и по определению производной функции 
, можно положить 
. Следовательно, погрешность первого интерполяционного полинома Ньютона:
|
|
|
, (2.19)
а погрешность второго интерполяционного полинома Ньютона:
. (2.20)
Пример. По таблице значений функции 
на отрезке 
построить полином Ньютона 2‑ой степени и вычислить приближенное значение в точке 
.
Возьмем четыре равноудаленные друг от друга точки на отрезке и составим таблицу значений:
| i | x | y | 
| 
| 
|
| 0 | 0 | 0 | 0,5 | -0,144 | 0,088 |
| 1 | 
| 
| 0,366 | -0,232 | |
| 2 | 
| 
| 0,134 | ||
| 3 | 
| 1 |
.
.
.
Ответ: 
, 
.
Приближение функций. Аппроксимирование функций
Напомним постановку задачи аппроксимации. Рассмотрим функцию 
. Задача аппроксимации ставится следующим образом: данную функцию требуется заменить другой функцией 
так, чтобы отклонение (ошибка), в некотором смысле, функции от на заданном множестве 
было наименьшим. Как правило, в качестве аппроксимирующей функции выбирается полином 
. Тогда полином называется аппроксимирующим, а сама задача аппроксимациисводится к нахождению коэффициентов 
i=0,1,…,m полинома , причем таких, что отклонение 
(в некотором смысле) функции от полинома было минимальным.
|
|
|
Среднеквадратичная полиномиальная аппроксимация
При точечном среднеквадратичном аппроксимировании за меру отклонения полинома от данной функции на множестве точек берется квадратичное отклонение:
(3.1).
Такой способ аппроксимирования называют еще методом наименьших квадратов. Проблема состоит в том, чтобы выбрать коэффициенты 
, 
полинома так, чтобы отклонение (ошибка) была наименьшей.
Предполагается, что степень m полинома не больше количества точек n во множестве 
, 
. В предельном случае, если 
, задача аппроксимации сводится к задаче интерполирования функции 
полиномом 
. В этом случае, ошибка равна нулю, т.е. в узлах 
значение функции 
совпадает со значением полинома 
, 
. Коэффициенты , полинома ищутся из системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):
.
Если все различны, то система имеет единственное решение, и однозначно определяется полином .
В случае если 
, СЛАУ несовместна. Отклонение не равно нулю. Для нахождения коэффициентов полинома используем условие минимизации ошибки . Дифференцируем выражение (3.1) по переменным 
и приравниваем производные к нулю и получаем следующую систему из m+1 уравнений c m+1 неизвестным:
|
|
|
(3.2)
.
Вводим дополнительные обозначения: 
, 
и 
, . Заметим, что 
. Система (3.2) имеет вид:
, (3.3)
Если точки различны и , то определитель матрицы (3.3) равен нулю, и система имеет единственное решение. Полином с такими коэффициентами будет обладать наименьшим квадратичным отклонением .
Рассмотрим частные случаи.
Пример 2. Воспользовавшись таблицей значений функции из первого примера, построить аппроксимирующий полином второй степени. Вновь составляем таблицу, но в этом случае надо добавить суммы 
:
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 0 | 1 | -2 | 4 | -8 | 16 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | 3 | -3 | 3 |
| 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 |
| Суммы | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
Для аппроксимирующего полинома второй степени получаем систему уравнений размером три на три:
, решая ее, получаем коэффициенты 
. Следовательно, аппроксимирующий полином второй степени имеет вид: 
.
|
|
|
Ответ: .
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 2178; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!