Построение интерполяционного полинома
первый интерполяционный полином Ньютона:
(2.6)
Полагаем по определению 0!=1 и 
.
Преобразуем формулу (2.6) следующим образом: введем замену 
, q показывает число шагов необходимых для достижения точки х, стартуя из точки 
. Тогда
и формула (2.6) будет иметь вид:
(2.8)
Первая интерполяционная формула Ньютона обычно используется, если нужно вычислить значения функции 
в окрестности начального значения .
Пример. Дано множество точек 
и значения некоторой функции в этих точках: 
. Требуется построить квадратичный первый интерполяционный полином Ньютона и определить значение функции в точке 
.
Так как полином квадратичный, то нам потребуется только три точки. А так как значение ищем в точке , то возьмем множество 
. Составим таблицу:
| i | 
| 
| 
| 
|
| 0 | 0 | 0 | 2 | -4 |
| 1 | 1 | 2 | -2 | |
| 2 | 2 | 0 |
Запишем полином: 
.
Найдем значение в точке : 
.
Ответ: 
, 
.
Вторая интерполяционная формула Ньютона
второй интерполяционный полином Ньютона:
(2.10)
Снова преобразуем формулу (2.10) для получения более простого вида следующим образом: введем замену 
. Тогда
и формула (2.10) будет иметь вид:
(2.11)
Обе интерполяционные формулы можно использовать не только для интерполяции, но и для экстраполяции, т.е. нахождения значений функции, лежащих вне заданного множества 
. В случае, если 
, следует использовать первую интерполяционную формулу и 
. Если же 
, то используем вторую интерполяционную формулу и 
.
|
|
|
Рассмотрим тот же пример (смотри пример 1 раздел 2.3)
Пример 1. Дано множество точек 
и значения некоторой функции в этих точках: 
. Требуется построить второй интерполяционный полином Ньютона максимально возможной степени.
Мы уже установили, что максимальная степень полинома равна трем. Таблица не изменится, но для составления второго интерполяционного полинома следует брать другие значения. Шаг интерполяции, как и в прошлый раз, равен 
.
| I |
|
|
|
| 
|
| 0 | 0 | 2 | 4 | -10 | 17 |
| 1 | 2 | 6 | -6 | 7 | |
| 2 | 4 | 0 | 1 | ||
| 3 | 6 | 1 |
Ответ: 
.
Интерполяционная формула Лагранжа
Таким образом, полином Лагранжа 
будет иметь вид:
. (2.12)
Пример 2. Дано множество точек 
и значения некоторой функции в этих точках: 
. Требуется построить интерполяционный полином Лагранжа, проходящий через эти точки.
Воспользуемся формулой (2.12): 
Ответ: 
.
Вычисление коэффициентов полинома Лагранжа
Для вычисления коэффициентов в полиноме Лагранжа существует более простой способ, чем использование классической формулой (2.12). Для этого перепишем полином несколько в другой форме:
|
|
|
, (2.15)
Составим следующую матрицу: 
,
по главной диагонали у нее стоит сомножители произведения 
, а по строкам сомножители знаменателя формулы (2.15). Обозначив 
произведение элементов по i-ой строке: 
, перепишем формулу (2.15) в виде
. (2.16)
Это другой вид записи интерполяционной формулы Лагранжа.
Пример. Дано множество точек 
и значения некоторой функции в этих точках: 
. Требуется построить интерполяционный полином Лагранжа, проходящий через эти точки.
Составим матрицу для вычисления коэффициентов: 
.
Вычислим коэффициенты полинома: 
.
Подставим все в формулу (2.16), получим:
.
Ответ: 
.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 812; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!