Получение передаточной функции и дифференциального уравнения разомкнутой исходной системы
Передаточная функция разомкнутой системы определяется как произведение передаточных функций всех звеньев системы:
Отсюда получим дифференциальное уравнение разомкнутой исходной системы:
Отсюда видно, что поскольку в знаменателе 
имеется сомножитель р, то рассматриваемая исходная САР – астатическая с первым порядком астатизма.
Определение общего коэффициента усиления (добротности) системы
Добротность системы К, обеспечивающая заданную точность Δ = 3% = 0.03, может быть определена из выражения:
В правой части дифференциального уравнения разомкнутой исходной системы сомножитель 
и есть добротность системы, поэтому К = .
Откуда получаем: 
Получение передаточной функции замкнутой исходной системы
С учётом полученного значения 
=12,82 передаточная функция исходной разомкнутой системы примет вид:
В нашем случае:
Отсюда получим дифференциальное уравнение замкнутой исходной системы:
Определение устойчивости исходной замкнутой системы. Нахождение граничного коэффициента усиления.
Для определения устойчивости исходной замкнутой САР можно воспользоваться любым из известных критериев устойчивости, например, алгебраическим критерием Гурвица. Характеристическое уравнение замкнутой системы можно получить из передаточной функции 
, приравняв нулю её знаменатель:
|
|
|
Коэффициенты этого характеристического уравнения в стандартных для критерия Гурвица обозначениях таковы:
Согласно критерию Гурвица для устойчивости системы, заданной некоторым характеристическим уравнением, необходимо и достаточно, чтобы при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения главные диагональные миноры были бы одного знака. В нашем случае все коэффициенты 
положительны, проверим знаки миноров.
Так как минор 
< 0, то система в замкнутом состоянии неустойчива.
Определим граничный коэффициент усиления Кгр, при котором система находится на границе устойчивости. Для этого приравняем нулю минор и из полученного равенства найдём Кгр:
Отсюда: 
Итак, исходная система неустойчива, поэтому необходим синтез корректирующего устройства.
Построение желаемой ЛАЧХ. Определение устойчивости, расчёт и построение переходной характеристики скорректированной системы
Существует много методов синтеза САР. Мы используем метод В.В.Солодовникова, базирующийся на построении логарифмических амплитудно-частотных характеристик (ЛАЧХ) исходной и желаемой систем 
и получения ЛАЧХ корректирующего устройства 
в соответствии с выражением
|
|
|
Построим ЛАЧХ исходной системы. Поскольку подобные характеристики строятся для разомкнутых систем, то в дальнейшем нижний индекс “р” в обозначении передаточной функции будем опускать:
Этой передаточной функции соответствует амплитудно-фазовая и амплитудно-частотная частотная характеристики:
Отсюда выражение для точной ЛАЧХ запишется в виде:
Сопрягающие частоты исходной ЛАЧХ находятся следующим образом:
Так как передаточная функция исходной разомкнутой системы относится к III типу, то для первого участка асимптотической ЛАЧХ, т.е. для 
< 
=1,82 
, уравнение асимптоты ЛАЧХ будет:
Это уравнение прямой линии с наклоном 
, проходящей при 
через точку 
дб.
Дальнейший ход асимптотической ЛАЧХ при увеличении частоты характеризуется тем, что на сопрягающих частотах , 
и 
происходит изменение наклона характеристики каждый раз на (рис.4).
Теперь построим желаемую ЛАЧХ, т.е. ЛАЧХ устойчивой системы, отвечающей заданным требованиям к качеству регулирования.
Определим сначала частоту среза ω ср ж желаемой ЛАЧХ
Из литературы известно, что при заданном перерегулировании 
= 30% коэффициент b в этой формуле следует выбирать равным b=3.8. Отсюда получается:
|
|
|
Рис.4. ЛАЧХ исходной системы
Среднечастотный (СЧ) участок 
проходит через частоту среза с наклоном -20 дб/дек. Длину среднечастотной асимптоты ограничим слева произвольной частотой ωΔ , а справа – частотой ω c1, т.е. ближайшей точкой излома Lисх (ω).
Известно, что низкочастотный (НЧ) участок проходит с наклоном 
( 
-порядок астатизма, в нашем случае =1), и если исходная система удовлетворяет требованию по точности, то НЧ участок делают совпадающим с НЧ участком Lисх (ω). В рассматриваемом случае коэффициент усиления системы К = 32,33 мы и выбирали таким, чтобы обеспечить заданную точность Δ= 3%. Поэтому в нашем случае НЧ участки и Lисх (ω) совпадают. Сопряжение НЧ и СЧ участков осуществим отрезком прямой с наклоном - 40 дб/дек.
Высокочастотный (ВЧ) участок ЛАЧХ мало влияет на динамику САР, поэтому для обеспечения простоты корректирующего устройства ВЧ участок проводят либо параллельно ВЧ участку Lисх (ω), либо совпадающим с ним.
Построенная таким образом асимптотическая представлена на рис.5. Передаточная функция разомкнутой скорректированной (желаемой) системы может быть, исходя из , записана следующим образом:
|
|
|
Желаемая замкнутая САР будет характеризоваться передаточной функцией
Передаточная функция разомкнутой скорректированной (желаемой) системы может быть, исходя из 
записана следующим образом:
Прежде чем рассчитывать корректирующее устройство, определим сначала, устойчивой ли получилась скорректированная (желаемая) система и удовлетворяет ли она заданным требованиям к качеству регулирования. Поскольку уже построена , устойчивость замкнутой скорректированной системы удобнее оценить с помощью логарифмического критерия.
Базируясь на передаточную функцию разомкнутой скорректированной САР (1), найдём фазовую частотную характеристику этой системы. На частоте среза 
= 0,88 с-1 получим:
При этом запас устойчивости по фазе будет:
значит, желаемая САР в замкнутом состоянии устойчива.
Для проверки соответствия показателей качества регулирования спроектированной (желаемой) системы заданным требованиям построим переходную характеристику замкнутой желаемой САР 
Эту характеристику можно получить различными способами, мы сейчас остановимся на хорошо известном из курса ТАУ методе, опирающемся на нахождении обратного преобразования Лапласа выражения
В нашем случае:
(2)
представляет собой сложное дробно-рациональное выражение, которое надо представить суммой простых дробей. Эта методика хорошо известна, но достаточно громоздка, поэтому воспользуемся математическим редактором MВТУ. Таблица и график переходной характеристики скорректированной замкнутой системы (первая итерация процесса синтеза), полученные с помощью MВТУ (рис.5).
Рис. 5. Переходная характеристика замкнутой системы
Из переходной характеристики видно, hmax(t)=1,34 hуст(t)=1,03. По известной формуле, найдем перерегулирование 
, которое равно заданному (σ=30%). Таким образом, скорректированная система устойчива и удовлетворяет поставленным требованиям к качеству регулирования.
Рис. 6. Исходная, желаемая и корректирующая ЛАЧХи
Переходный процесс считается установившимся 
, если он не выйдет из кориора : 
.
Из графика рис.5 видно, что мы укладываемся во время регулирования нам задано 13,5 сек., а по графику около 9 сек.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 983; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!