Методы выбора вариантов на основе условных критериев предпочтения

       Иногда на этапе проектирования удаётся установить, что эффектив-ность системы может достаточно полно и правильно характеризоваться единым показателем эффективности и от каких частных показателей эф-фективности зависит единый показатель [9, 10, 14, 15, 17, 18, 21, 22].

                                K_P = f_P (K¹, K², …, K^m)                             (1.20)

где  f_P(K1, K², …, K^m) – известная функция переменных K1, K², …, K^m;

 K_P – величина, однозначно связанная с эффективностью системы S.

Чем меньше (больше) величина K_P, тем лучше система. ПоказательK_P на-

зывается объективным результирующим показателем эффективности сис-

темы [9]. Если принять, что чем меньше показатель K_P, тем лучше, то кри-терий оптимальности можно записать                                                                                                                                

                         K_P = f_P (K¹, K², …, K^m) =  min                         (1.21)

                                                                д    

                                   K^K = K^K (S),K =

Минимум min д необходимо искать по всем допустимым вариантам систем ( д), т. е. с учетом данных {У, O_S, K^K}. Если найдено минимальное значение результирующего показателя, то необходимо проверить условие K_Pмин. ≤ K_Pмак., K_Pмак – максимально допустимое значение результирующего показателя. Если это условие не выполняется, то это означает, что исходные данные противоречивы и их необходимо скорректировать, ослабить ограничения (O_S) , скорректировать условия работы системы (У). При корректном (монотонно возрастающем по каждому аргументу) получении результирующей функции (1.21) решением задачи выбора является нехудший вариант системы. Это означает, что критерий (1.21) можно применять не только к выбору оптимального варианта из множества допустимых вариантов (М_д), но и из множества нехудших вариантов, найденных на основе безусловного критерия предпочтения. При этом задача выбора запишется так: найти вариант системы, обеспечивающий

                          K_P = f_P (K¹, K², …, K^m) = min                            (1.22)

при условии, что

                             K₁ = f_нх (K², K³, …, K^m),

где K₁ = f_нх (K², K³, …, K^m) – уравнение оптимальной поверхности, т. е. геометрическое место всех строго допустимых нехудших вариантов (точек) в пространстве показателей эффективности. При этом задача (1.22) проще задачи (1.21), т. к. не требуется учитывать данные {У, O_S, K^K}. Они уже учтены при определении оптимальной поверхности (отыскания М_нх) на основе безусловного критерия предпочтения.

       Применение результирующего показателя эффективности возможно как без предварительного отыскания множества нехудших вариантов (М_нх), так и после его отыскания. В первом случае задача выбора имеет вид обычной задачи скалярного синтеза и показатели эффективностиK¹, K², …,K^m играют роль параметров системы. Во втором случае при выборе М_нх синтез является векторным и его скаляризация осуществляется введением результирующего показателя, т. е. после отыскания множества нехудших вариантов. Разделение процесса выбора на два этапа во многих случаях оказывается целесообразным из-за упрощения вычислительной процедуры. Во многих случаях достаточно сложно обосновать результирующий показатель эффективности, поэтому существует целый ряд способов сформировать результирующий показатель субъективным способом [9, 10, 14, 15, 17, 18, 21, 22]. Субъективность заключается в том, что показатель формируется не путем количественного анализа влияния различных комбинаций значений показателейK¹, K², …, K^m на эффективность системы, а путем, в значительной мере, интуитивных оценок, которые даются одним или несколькими экспертами. Поэтому такую результирующую функцию называют субъективной результирующей целевой функцией.  

     Очень часто в практике проектирования выбор результирующего показателя осуществляется:

1) на основе взвешенной суммы нормированных значений показателей эффективности (аддитивный критерий оптимальности).

^/ = K^K / K , K = ,  b_K > 0,    (1.23)

 где b_K – весовые коэффициенты;  

 K  - начальное (опорное) значение показателя эффективности.

       Весовые коэффициенты выбираются исходя из относительной важности каждого показателя эффективности. Такое объединение частных показателей эффективности в аддитивный обобщенный критерий имеет существенные недостатки:

· слабая связь весовых коэффициентов с реальной ролью частных показателей эффективности в выполнении системой своих функций;

· трудность отыскания объективного способа нормирования частных показателей эффективности для приведения их к безразмерному виду;

· малая чувствительность результирующего показателя к изменениям величины отдельных частных показателей эффективности, особенно если их общее число велико, компенсация малой величины одного показателя избыточной величины другого;

2) на основе произведения показателей эффективности (мультикативный критерий оптимальности). Если весовые коэффициенты имеют одинаковую важность, то результирующий показатель формируется в виде простого произведения показателей эффективности

                             К_Р =  K¹, K², …, K^m                        (1.24)

       При разноважных весовых коэффициентах результирующий пока-затель формируется с учетом весовых коэффициентов

                                                К_Р=                                (1.25)

        Результирующий показатель в виде (1.24, 1.25) не требует норми- рования частных показателей эффективности:

3) на основе взвешенной комбинации аддитивного и мультиплика-

      тивных показателей эффективности

                                            (1.26)

где ρ – весовой коэффициент, определяющий вес аддитивного  и мультикативного показателей эффективности.

 Недостаток для (1.24 – 1.26) – субъективизм при  определении весовых

 коэффициентов;

4) на основе абсолютного отклонения от «идеального варианта» в следующем виде

                                                                    (1.27)

где  - максимальное значение показателей эффективности. Разность ( ) является мерой отклонения варианта от «идеального» варианта. Относительное отклонение от «идеала»

                                                                    (1.28)

 где - минимальное значение показателей эффективности.

 С использованием весовых коэффициентов

                                                           (1.29)

5) на основе относительного показателя эффективности частных пока-зателей эффективности

                                                   (1.30)

    где P_Kj – относительный показатель эффективности частных показа-

          телей;

          – частные показатели эффективности;

          – варианты для выбора;

       Относительный показатель эффективности определяется в соответ –

ствии с условиями

, при  ≤

                             , при                         (1.31)

  где – значения показателей эффективности вариантов системы

     – эталонные значения показателей эффективности ;

6) на основе функции потерь. Наиболее распространенной является аддитивная функция потерь (эквивалентная ей аддитивная функция полезности), позволяющая учитывать возможный нелинейный характер зависимости результирующего показателя эффективности от показателей K¹, K², …, K^m.

                                          К_Р =                                  (1.32)

где  b_K > 0, , ) – некоторая безразмерная, в

общем случае нелинейная функция значений показателя К^К, обос-

нованная экспертами, исходя из назначения системы.

Если выбрать функцию  линейной, то можно записать

                                   = ,                        (1.33)

 где  – минимально возможное значение показателя эффективности К^К

   при заданной совокупности исходных данных {Y, O_S}при игнориро-

   вании значений всех остальных (m – 1) показателей эффективности;

   – максимально допустимое значение показателя К^К .

Тогда функцию (1.32) можно записать

                             (1.34)

при  = 0 функция  = .

Квадратичная функция потерь запишется в виде

                          =   ,                       (1.35)

при этом, если выполняется условие  <<

 =                                        (1.36)

 Если эффективность системы оценивается не m – мерным вектором K^К = <K¹, K², …, K^m > частных показателей эффективности, а ml – мерной

матрицей (ml >>1),то аддитивная функция потерь (1. 32) запишется в общем виде

                                                              (1.37)

где  – значение К-го показателя эффективности при работе системы в 

 g - том режиме;

   b_K – весовые коэффициенты, учитывающие относительную важность

  частных показателей эффективности;

  С_g – весовые коэффициенты, учитывающие относительную важность

  различных режимов работы системы и удовлетворяющей условию

= 1, > 0, g =

       В случаях, когда эффективность системы характеризуется матрицей частных показателей эффективности, то строки матрицы соответствуют режиму работы системы (g), а столбцы – значениям частных показателей эффективности. В итоге каждому режиму работы системы соответствует m показателей эффективности.

                                                            (1.38)    

где   – значения частных показателей эффективности.

       Например, промышленные контроллеры серии I – 8000, WinCon – 8000 и LinCon – 8000 работают в различных операционных системах [25], соответственно в операционной системе Mini OS7 (g₁), Windows CE. NET (g₂) и Linux (g₃). Частными показателями эффективности промышленных контроллеров для всех операционных систем являются: частота процес-сора (К¹), объем оперативной памяти (К²), число слотов (К³), стоимость (К⁴). Матрица показателей эффективности (1.38) выглядит

                         К^К =

где – значения частных показателей эффективности; для промышленных контроллеров серии I – 8000, (в данном случае контроллер

I – 8438), работающих в операционной системе Mini 0S7 (режим g₁);  – частота процессора, 80 МГц; – объем оперативной памяти, 512 Кб;  число слотов, 4; – стоимость, 19010 руб.; значения частных показателей серии WinCon (W – 8701 – G – R2) Windows GE. NET: = 206 МГц; = 64 000 Кб; = 7; = 21420 руб; значения частотных показателей для промышленного контроллера серии LinCon (L – 8741 – G), работающего в операционной системе Linux: = 206 МГц; = 64000 Кб; = 7; = 24300 руб.

       Элементы матрицы можно развернуть в одну строку и рассматривать как m – мерный вектор размерности ml

K = <K₁, K₂, K₃, K₄, K₅, K₆, K₇, K₈, K₉, K₁₀, K₁₁, K₁₂ >,

где K₁ = ,  K₂ = , K₃ = , K₄ = , K₅ = ,  K₆  = , K₇ = ,

K₈  = , K₉ = , K₁₀ = , K₁₁ = , K₁₂ = .

Если ml >>1, то сведение матрицы к ml–мерному вектору нецелесообразно. На основе приведенных значений частных показателей эффективности для трех вариантов (g₁, g₂, g₃) необходимо выбрать оптимальный вариант. Для этого используется результирующая функция (1.37), при этом вариант с максимальным значением К_Р будет оптимальным. Входящие в формулу (1.37) весовые коэффициенты С_g, b_К и вид функции f_K(K^gk) должны быть выбраны экспертами. В данном случае предположим, что все режимы (g₁, g₂, g₃) равноважны, т.е.

                           С₁ = С₂ = С₃ =  = 0,33                                 (1.39)

Весовые коэффициенты, учитывающие относительную важность показателей эффективности K¹, K², K³, K⁴ соответственно равны b₁ = 0,4; b₂= = 0,3; b₃ = 0,1; b₄ = 0,2. Функция f_K(K^gk) квадратичная

                  f_K (K^gk) =                              (1.40)

Из приведенных значений для частных показателей ясно, что = 80 МГц;

= 512 Кб; = 4; = 19010 руб.; = 206 МГц; = 64000 Кб; = 7; = 24300 руб. С учетом (1.37, 1.39, 1.40) результирующий показатель (1.37) запишется

К_Р = 0,33

        С учетом (1.37, 1.39, 1.40) и учетом того, что показатели К¹, К², К³ максимизируются, а показатель К⁴ минимизируется выражение (1.37) можно записать:

        К_Р = 0,33              (1.41)

       На основе (1.41) результирующий показатель для вариантов g₁, g₂, g₃  запишется

Оптимальным вариантом является вариант на основе промышленных контроллеров WinCon-8000 с операционной системой Windows CE.NET (К_Р2  = 0,1529).

1.5.2. Минимаксные методы.

 

В большинстве случаев вид результирующей целевой функции (1.20) очень трудно обосновать не только объективным, но и субъективным путем, очень сложно выбрать весовые коэффициенты в функции вида (1.23). В таких случаях возможно применение минимаксного критерия [9, 10, 14, 16-18, 22], при котором оптимальным вариантом является вариант, для которого выполняется неравенство

                      К_макс. (В_м) ≤ К_макс. (В_i),  В_i, В_м  В_cg                         (1.42)

где К_макс. – наибольший из нормированных показателей эффективности

К^k = max {K¹, K², …, K^m}, k = 1, 2, …, m, т. е.

                       К_макс. = max {K¹, K², …, K^m}                             (1.43)

                                      k

Нормирование показателей эффективности выполняется в соответствии с отношением

                                      (К^k)^/  = К^k /                               (1.44)

Минимаксный критерий обеспечивает наилучшее значение наихудшего из нормированных показателей эффективности. Минимаксное решение выби-рается из множества строго допустимых вариантов (1.42). Возможно выде-ление оптимального варианта в два этапа. На первом этапе минимальное решение В_м (1.42) выделяется из множества допустимых вариантов (М_g), т.е. на этом этапе не учитывают ограничения на показатели эффективности (О_К) K¹, K², …, K^m. На втором этапе проверяют выполнения условия

                                     К_макс. (S_M) ≤ 1                                        (1.45)

При этом будет выполняться и условие

                         (К^k)^/ = К^k /  ≤ 1, К =                                  (1.46)

т. е. найденный минимаксный вариант будет строго допустим В_м  М_cg .

Пусть требуется выбрать оптимальный вариант промышленного кон-троллера из трех вариантов В₁, В₃, В₅ (табл. 1.2). Заданные ограничения                   

   K¹≤  = 80 МГц; K³ ≤  = 512 Кб; K⁴ ≤  = 512 Кб;        (1.47)

     Варианты имеют следующие показатели эффективности: В₁ (40 МГц; 128 Кб; 256 Кб),В₃ (40 МГц; 256 Кб; 512 Кб),В₅ (40 МГц; 128 Кб; 256 Кб), т. е. все варианты являются допустимыми. Нормированные значения показателей эффективности (К¹)^/ = К¹ / ; (К³)^/ = К³ / ; (К⁵)^/ = К⁵ / .

       Нормированные значения показателей эффективности вариантов промышленных контроллеров

В₁ (0,5; 0,25; 0,5), К_макс. = 0,5

                              В₃ (0,5; 0,5; 1,0), К_макс. = 1,0

 В₅ (0,5; 0,25; 0,5), К_макс. = 0,5

При задаче максимизации оптимальным вариантом является вариантВ₃, при этом выполняются условия (1.45, 1.46).

Иногда более целесообразным является применение модифицирован-ного минимаксного критерия. Оптимальным является вариант, для кото-рого выполняется условие

                        К_макс. (В_M) ≤ К_макс. (В),                                           (1.48)

                                     В_i  М_g

где К_макс =  

                     

 при этом должно выполняться условие (1.42);

 - минимально возможные значения показателей эффектив- ности. Из сравнения выражений (1.42, 1.43) и (1.48) ясно, что при = 0,  модифицированный минимальный критерий совпадает с минимаксным критерием. В случае, когда хотя бы один показатель эффективности не равен нулю, то модифицированный, минимальный критерий является более целесообразным. Такой случай можно рассмотреть на примере выбора оптимального варианта промышленного контроллера из трех вариантов В₁, В₂, В₃(табл.1.2), при ограничениях (1.47). Варианты имеют следующие значения показателей эффективности В₁ (40 МГц; 128 Кб;

256 Кб), В₂ (40 МГц; 512 Кб; 512 Кб), В₃ (40 МГц; 256 Кб; 512 Кб). Минимальные значения показателей эффективности: 256 Кб. При обычном минимаксном критерии получаем нормированные значения (1.44) для исходных вариантов

 

В₁ (0,5; 0,25; 0,5), К_макс. = 0,5

                               В₂ (0,5; 1,0; 1,0), К_макс. =1,0,                           (1.49)

В₃ (0,5; 0,5;1,0), К_макс. = 1,0

 

И делаем вывод, что нехудшими вариантами являются варианты В₂,В₃, но из результата (1.49) видно, что вариантВ₂ является лучшим по сравнению с вариантомВ₃. Применение модифицированного минимального критерия позволяет исключить такой результат. Применяя (1.48) получаем:

 

 для варианта  В₁:

для варианта  В₂:

для варианта В₃:

 

В₁ (0; 0; 0); В₂ (0,5; 0,75; 0,75); В₃ (0; 0,25; 0,75);

В соответствии с критерием (1.48) оптимальным является вариант В₂.

 

1.5.3. Метод на переводе всех показателей эффективности,

---

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 449; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

---

Мы поможем в написании ваших работ!