Классификация задач выбора вариантов

       Обобщенная постановка задач выбора вариантов при проектировании систем управления сводится к следующему, имеется необходимое множество вариантов В_исх = {В_i} = {B₁, B₂,…, B_N}, вторым множеством является множество показателей эффективности К^K = {К¹, К²,…, К^m}, которые формируются на основе характеристик исходных вариантов, показатели эффективности имеют целый ряд значений  необходимо на множестве исходных вариантов, множестве показателей эффективности и множестве значений показателей эффективности выбрать оптимальный вариант, т.е. найти оптимальное соответствие между этими множествами. При этом в конкретных условиях можно выделить восемь классов задач выбора [8], табл. 1.1.

Т а б л и ц а 1.1

Классификация задач выбора

Классы задач	Варианты объектов выбора	Показатели эффективности	Значения показателей эффективности
1	.	m	MK
2	.	m
3		m/< m	MK
4		m/< m
5	<	m	MK
6	<	m
7	<	m/< m	MK
8	<	m/< m

 

В задаче первого класса необходимо для множества исходных вариантов (В_исх.) осуществить выбор сочетаний значений показателей эффективности (M_K), при которых все показатели эффективности будут оптимальными .

В задаче второго класса необходимо на множестве исходных вари-антов (В_исх.) и всех показателей эффективности (m) выделить подмножест-во значений показателей эффективности ( ), при которых показа-тели эффективности будут удовлетворять предельным условиям

      В задаче третьего класса необходимо для множества исходных вариантов (В_исх.) выделить подмножество показателей эффективности ( ), которые обеспечивают требуемое качество системы , при всех значениях показателей эффективности (M_K).

       В задаче четвёртого класса необходимо для множества исходных вариантов (В_исх.) выделить подмножество показателей эффективности ( ) и для каждого показателя эффективности подмножество значений показателей эффективности ( ), при которых показатели эффектив-ности удовлетворяют условию .

       При решении задачи пятого класса выбора вариантов необходимо найти подмножество вариантов ( ) из множества исходных вариантов (В_исх.), которое обеспечивает требуемое качество системы , при всех показателях эффективности (m) и всех значениях показателя эффективности (M_K).

При решении задачи шестого класса необходимо найти подмножество вариантов ( ) из множества исходных вариантов (В_исх.), на подмножестве значений ( ) при всех значениях показателей эффективности (m), при этом выполняется условие .

        В задаче седьмого класса необходимо выделить подмножество вариантов ( ) из множества исходных вариантов (В_исх.) на подмножестве показателей эффективности ( ) при всех значениях показателей эффективности (M_K), при этом показатели эффективности удовлетворяют условию .

       При решении задач восьмого класса выбора вариантов необходимо выделить подмножество вариантов ( ) из множества исходных вариан-тов (В_исх.) на подмножестве показателей эффективности ( ) и под-множестве значений показателей эффективности ( ), при этом показатели эффективности удовлетворяют условию .

 

1.3. Алгоритм процесса построения модели принятия решений при выборе вариантов.

 

         Модель предназначенную для решения задачи многокритериального выбора вариантов можно представить в виде множества

              М = {T₃, B, K^к, L_к, C, P_П},                                       (1.1)

где T₃– тип многокритериальной задачи;  

   В – множество вариантов;

   K^к – множество показателей эффективности;

   к = 1, 2, …, m – число показателей эффективности;

  L_к – множество отображений, устанавливающих соответствие между

   вариантами и числовыми значениями каждого показателя эффективно-

  сти;

  C – система предпочтений лица, принимающего решение (ЛПР) на

  множестве вариантов;

    P_П – решающее правило, задающее на множестве вариантов отноше

  ния предпочтения, удовлетворяющие системе предпочтений.

 Особенностью использования модели (1.1) является переход из мно-жества вариантов в пространство критериев, как более удобное для дальнейшего анализа и установление отношения предпочтения. Для каждого критерия определяется множество возможных (допустимых) значений критерия, в результате чего строится пространство критериев. С помощью отображений L_ккаждому варианту ставится в соответствие вектор оценок:

K^к(В)= K¹(В), K²(B),…,K^m(В)

       Анализ работ по многокритериальному синтезу [8 – 24] показал, что существуют три основные многокритериальные задачи и соответствующие им способы решения. При этом наиболее существенным классификационным признаком многокритериальных задач, с точки зрения обоснования решающего правила (Р_П) является требуемая степень упорядоченности сравниваемых вариантов и показателей эффективности.

Задачи на основе частичного упорядочения сравниваемых вариантов с помощью отношения нестрогого порядка, при отношении толерантности относительно упорядочения показателей эффективности по важно-сти (при равноважных показателях), что соответствует безусловному критерию предпочтения:  

   В₁RВ₂ ↔( К)[К^к(В₁)≤К^к(В₂)]  [К^к(В₁ )<К^к(В₂)]                (1.2)

   В₁RВ₂ ↔( К)[К^к (В₁)≥К^к(В₂)]  [К^к(В₁) > К^к(В₂)],               (1.3)

т.е., если ( К) для двух произвольных вариантов В₁В₂выполняется одно из неравенств (1.2, 1.3) и существует , хотя бы одно их этих неравенств строгое: K^к(В₁) < K^к(В₂), K^к(В₁) > K^к(В₂), то вариантВ₁безусловно лучше, чемВ₂(1.2) или безусловно хуже, чем В₂, при этом к показателям эффективности не предъявляются требования по важности (находятся в отноше- нии толерантности), т.е. показатели эффективности являются равноважными. Это и есть безусловный критерий предпочтения, который впервые был введен Парето применительно к экономическим системам [9] и иногда называется критерием Парето. Уравнение (1.2) применяется при минимизации показателей эффективности, уравнение (1.3) – при максимизации. Пример такой задачи рассмотрен на основе сравнения вариантов промышленных контроллеров серии I-8000 [25].

Исходные варианты контроллеров и значения показателей эффективности представлены в табл. 1.2.

Т а б л и ц а 1.2

Исходные данные промышленных контроллеров серии I – 8000

и значения показателей эффективности

Ва-ри-ан- ты	Промы-шленые котроллеры	Частота процессора   К1	Опера-тивная память   К3	Емкость электронного диска   К4	Постоянная память   К5	Чи-сло сло-тов К2	Число по следова тельных интерфейсов К6	Стои-мость, руб.,   К7
В1	I – 8410	40 МГц	128 Кб	256 Кб	256 Кб	4	1	9720
В2	I – 8411	40 МГц	512 Кб	512 Кб	512 Кб	4	2	10950
В3	I – 8430	40 МГц	256 Кб	512 Кб	512 Кб	4	1	11190
В4	I – 8438	80 МГц	512 Кб	512 Кб	512 Кб	4	2	19010
В5	I – 8810	40 МГц	128 Кб	256 Кб	256 Кб	8	1	11070
В6	I – 8811	40 МГц	512 Кб	512 Кб	512 Кб	8	2	12060
В7	I – 8830	40 МГц	256 Кб	512 Кб	512 Кб	8	1	12330
В8	I – 8831	40 МГц	512 Кб	512 Кб	512 Кб	8	2	13080
В9	I – 8431	40 МГц	512 Кб	512 Кб	512 Кб	4	2	11670
В10	I – 8417	40 МГц	512 Кб	512 Кб	512 Кб	4	2	12960
В11	I – 8437	40 МГц	512 Кб	512 Кб	512 Кб	4	2	13680
В12	I – 8817	40 МГц	512 Кб	512 Кб	512 Кб	8	2	13830
В13	I – 8837	40 МГц	512 Кб	512 Кб	512 Кб	8	2	14820

 

Расположение сравниваемых вариантов в плоскости координат показателей эффективности К¹ (частота процессора),  К² (число слотов контроллера) показано на рис. 1.6, из которого следует:

1)

2)

3)

 В первом случае вариант В₄ безусловно лучше вариантов В₁ – В₃,

В₉ – В₁₁,т.к. при равенствезначений показателя К²  (число слотов), значе-

ния показателя К¹ (частота процессора) для варианта В₄ больше, что соот- ветствует условию (1.3). Во втором случае варианты В₅ – В₈ , В₁₂, В₁₃ безу-словно лучше вариантовВ₁ – В₃ , В₉ – В₁₁, т.к. при равенстве значений по-

казателя К¹, значение показателяК² больше. В третьем случае вариант В₄ лучше вариантовВ₅ – В₈ , В₁₂, В₁₃ по первому показателю (К¹), а варианты В₅ – В₈ , В₁₂, В₁₃ лучше по второму показателю (К²), поэтому на основе сра-внения этих вариантов по данным показателям эффективности нельзя ут-верждать, что вариант В₄ лучше или хуже вариантов В₅ – В₈ , В₁₂, В₁₃, или что они эквивалентны. В первых двух случаях варианты являются сравни-мыми, в третьем не сравнимы (выделено множество Парето). В первых двух случаях нет необходимости вводить дополнительные условия для вы-деления лучшего варианта, в третьем случае необходимо введение допол-нительных условий. Безусловный критерий обладает свойствами, важны-ми с точки зрения решения задачи выбора (принятия решения), отсева на ранней стадии выбора множества худших вариантов (М_х) и выделения множества нехудших (несравнимых) вариантов (М_нх). Эти свойства сводятся к тому, что если непустое множество допустимых вариантов (МДВ) замкнуто, то [9]:

· МДВ содержит по крайней мере один нехудший вариант;

· если МДВ содержит кроме нехудших и худшие варианты, то все ху-дшие варианты могут быть исключены из дальнейшего рассмотре-ния, оптимальный вариант обязательно будет один из нехудших;

· ни один из нехудших вариантов не может быть признан безусловно лучшим или безусловно худшим;

· если множество нехудших вариантов вырожденное, всего один вари-ант, то этот вариант является оптимальным;

· каждому нехудшему варианту соответствует наилучшее возможное (потенциальное) значение любого из показателей К¹, К²,…, К^m при фиксированных значениях всех остальных (m - 1) показателей эф-фективности;

Геометрическим местом всех нехудших вариантов является опти-мальная поверхность К₁ = f_нх( К¹, К²,…, К^m), удовлетворяющая условию строгой монотонности:

К₁ = f_нх ( К², К³, К⁴,…, К^m)

К₂ = f_нх ( К², К³, К⁴,…, К^m)

                                          

К_m = f_нх ( К², К³, К⁴,…, К^m)

 

Чертой снизу отмечаются показатели, которые рассматриваются как фиксируемые, произвольные в пределах области определения. Сказанное проиллюстрировано на примере сравнения вариантов промышленных контро-

ллеров (рис. 1.6) по двум показателям. ЗависимостьК¹ = f ( К²) построена по данным таблицы 1.2, показывает, что нехудшими являются вариантыВ₄ – В₈ , В₁₂, В₁₃ (несравнимые варианты), худшими – В₁ – В₃ , В₉ – В₁₁. Значения К¹ = f ( К²) монотонно убывают.

       Основным достоинством безусловного критерия является его объек-тивность при выделении нехудших вариантов и отсеве худших без введе-ния дополнительных условий, но при этом (кроме вырожденного случая) задача определения оптимального варианта (единственного варианта) не решена до конца. Во многих случаях выделение нехудших вариантов является удовлетворительным, но чаще всего, особенно при автоматизированном выборе существует потребность выделения оптимального варианта.

Рис. 1.6. Сравнение вариантов на основе безусловного критерия.

 

       Cуществует несколько способов введения дополнительных условий и на их основе условных критериев предпочтения [9, 12 – 14, 17, 21, 22], большая часть из них сводится к стpогому упорядочению сравниваемых вариантов и показателей эффективности, т. е. к решению второй многокритериальной задачи на основе отношения R.

B₁RB₂ ↔ [K¹(B₁) < K¹(B₂)  K¹(B₁) = K¹(B₂)]  [K²(B₁) < K²(B₂)  K²(B₁) =

 = K²(B₂) ] …  [K^m-1(B₁) < K^m-1(B₂) K^m-1(B₁) = K^m-1(B₂)] [K^m(B₁) < K^m(B₂)]                                                                                                  (1.4)

B₁RB₂ ↔ [K¹(B₁) > K¹(B₂) K¹(B₁) = K¹(B₂)] [K²(B₁) > K²(B₂) K²(B₁) =

= K²(B₂)] …  [K^m-1(B₁) > K^m-1(B₂) K^m-1(B₁) = K^m-1(B₂)] [K^m(B₁) >K^m(B₂)]

(1.5)                                                                                                                 

Уравнение (1.4) применяется при минимизации показателей эффек-    

тивности, уравнение (1.5) – при максимизации. Решение задачи сводится к лексикографическому отношению предпочтения [13, 17], при котором все показатели эффективности (частные критерии) строго упорядочены по важности. В процессе сравнения вариантов в первую очередь используется первый по важности показатель, за счет любых потерь по остальным показателям. При равенстве значений первого показателя для двух или более вариантов используется второй показатель и т.д. Условие лексикографического критерия при минимизации показателей эффективности можно записать

K¹(B₁) < K¹(B₂)

K¹(B₁) = K¹(B₂), K²(B₁) < K²(B₂)

K²(B₁) = K²(B₂), K³(B₁) < K³(B₂)

                                                                                                   (1.6)

K^m-1(B₁) = K^m-1(B₂), K^m(B₁) < K^m(B₂)

       При максимизации показателей эффективности условие лексикогра-фического критерия можно записать

 

K¹(B₁) > K¹(B₂)

K¹(B₁) = K¹(B₂), K²(B₁) > K²(B₂)

                            K²(B₁) = K²(B₂), K³(B₁) > K³(B₂)                    (1.7)

                                       

K^m-1(B₁) = K^m-1(B₂), K^m(B₁) > K^m(B₂)

       Если при приведённом выше примере (рис.1.6) упорядочить по важ-ности показатели, поставив на первое место показатель K¹, на второеK², то из нехудших вариантовB₄ – B₈, B_{12 ,} B₁₃, выделенных с помощью безус-ловного критерия, оптимальным является вариант B₄.Этот вариант выде-лен только с помощью первого показателя K¹ без перехода к показателю K². Если на первое место по важности поставить второй показатель (K²), то отсеивается вариант B₄, а варианты B₅ – B₈, B_{12 ,} B₁₃ будут равноценными

по значению показателя K², поэтому для выделения оптимального вариан-та (единственного варианта) в соответствии с (1.4, 1.5) необходимо ввести для сравнения показатель K¹, то оптимальным как и в первом случае будет вариант B₄. Если показатели эффективности, приведённые в табл. 1.2, упо-рядочить по важности в виде  К², К³, К⁴, К⁵, К⁶, К⁷, К¹, то по показателю  K² варианты B₅ – B₈, B_{12 ,} B₁₃ будут равноценны по числу слотов, т. е. отсе-ивается вариант B₄.В соответствии с (1.4 – 1.7) вводится показатель K³, при этом равнозначными вариантами по показателям K², K³ остаются варианты B₆ – B₈, B_{12 ,} B₁₃, исключаются из дальнейшего процесса выбора вариантов  B₅, B₇, при введении следующего показателя (K⁴) остаются равноценными варианты  B₆ , B₈, B_{12 ,} B₁₃, тот же результат при введении показателя K⁵, при введении показателяK⁶ получаем оптимальный выбор в виде вариантаB₆, как вариант с минимальной стоимостью.

Третья многокритериальная задача построена на основе комбиниро-ванного метода, включающего безусловный и условный критерии предпо-чтения. При этом на первом этапе выбора применяется безусловный критерий предпочтения по следующим причинам:

· безусловный критерий является объективным, без введения дополнительных условий, которые устанавливает лицо принимающее  решение, что приводит к субъективности в процессе выбора вариантов;

· исключает потери полезной информации в виде нехудших вариантов;

· дает гарантию того, что в процессе дальнейшего выбора будет выде-лен оптимальный вариант из множества нехудших.

       На втором этапе предпочтительнее использование условного критерия предпочтения, методы, на основе которого, позволяют довести задачу до выбора оптимального (единственного) варианта. Исходя из решения конкретного типа многокритериальной задачи формулируются структурные модели процесса выбора вариантов. На рис.1.7. представлена блок-схема алгоритма процесса построения модели принятия решений при выборе вариантов на основе комбинированного метода решения многокритериальных задач как наиболее рационального с точки зрения получения результата выбора, объективность выбора на первом этапе, на основе безусловного критерия при равнозначных показателях эффективности, и единственность решения на втором этапе на основе условных критериев при равноважных показателях эффективности.

Начало

Формирование исходного множества вариантов

Обоснование метода показателей эффективности и ограничений

Решение задачи выбора вариантов при равноважных показателях эффективности

Методы решения задачи выбора вариантов при равноважных показателях эффективности

Удовлетворяет решение задачи выбора вариантов ЛПР ?

Формирование множества параметров объектов

Формирование математической модели процесса выбора вариантов

 

Да                                                                                                            Нет

 

 

 

Задание приоритетов показателей эффективности

     

Решение задачи выбора вариантов с приоритетом показателей эффективности

Методы решения задачи выбора вариантов с приоритетом показателей эффективности

Удовлетворяет решение задачи выбора вариантов ЛПР?

 

 

 

 Нет                                                                                                              Да

         

 

 

Конец

                                                                   

                                                      

Рис. 1.7. Блок-схема алгоритма процесса построения модели принятия решений при выборе вариантов.

Cпособы выбора вариантов на основе безусловного и условных критериев представлены на рис. 1.8

Методы выбора вариантов

Критериальные методы выбора вариантов на основе безусловного критерия предпочтения

Критериальные методы выбора вариантов на основе условного критерия предпочтения

Методы на основе результирующего показателя эффективности

Метод рабочих характеристик

Метод модифицированных рабочих характеристик

Весовой метод выбора вариантов

Комбинированный метод выбора вариантов

Минимаксные методы

Метод на основе перевода показателей эффективности в разряд ограничений

Метод последовательных уступок

Аддитивный показатель эффективности

Мультипликативный показатель эффективности

Комбинированный на основе аддитивного и мультипликативного показателей эффективности

На основе отклонения от «идеального» варианта

На основе относительного показателя эффективности

На основе функции потерь

 

Рис. 1.8. Критериальные методы выбора вариантов на основе безусловного и условного критериев предпочтения.

 

---

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 385; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!