Метод и свойства периодограмм

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 6Следующая ⇒

Квадрат модуля Фурье-образа представляет собой оценку спектральной плотности мощности и называется периодограммой. Можно показать, что равно

где – автоковариационная матрица х(n), вычисленная с запаздыванием m, f –частота, a – треугольная весовая функция (Барлетта), которая определяется следующим образом:

Для сравнения отметим, что истинная спектральная плотность мощности функции х(n) равна

Следовательно, спектральная плотность мощности, представленная периодограммой, колеблется, а максимальная амплитуда колебаний отклонения определяется следующим образом:

Для N>>|m| смещение становится малым и т.е. периодограмма асимптотически несмещенная. Кроме того, для больших N дисперсия периодограммы становится равной

где F зависит от используемой весовой функции, т.е. дисперсия зависит от квадрата спектральной плотности мощности и не сходится к нулю с ростом N. Это означает, что оценки спектральной плотности мощности, полученные из периодограммы, несостоятельны и дают колеблющиеся оценки в последовательных реализациях.

Отметим, что автоковариационная матрица обычно определяется усреднением по N членам, хотя ее можно определять и усреднением по N – |m| членам. Обе оценки состоятельны и являются асимптотически несмещенными, но в первом случае получается меньшая дисперсия, поэтому такой способ предпочтительнее.

Более того, при применении для получения спектра ДПФ соответствующая периодограмма определяется как (1/N)|X(k)|² и имеет размерность нормированной энергии, хотя некоторые авторы называют функцию (1/N)|X(k)|² спектральной плотностью мощности.

Методы модифицированных периодограмм

Метод Уэлша. Преимущество метода Уэлша по сравнению с методом Барлетта заключается в дальнейшем уменьшении спектральной плотности мощности. В то же время, это улучшение происходит за счет добавочного уменьшения спектрального разрешения. В методе Уэлша L сегментов данных длины М перекрываются и периодограммы вычисляются по L взвешенным сегментам. Далее периодограммы нормируются на величину U, чтобы компенсировать потери энергии сигнала вследствие процедуры взвешивания. Фактически U приравнивается , где к₂ – коэффициент описывающий эффект смещения весовых функций. Следовательно,

Таким образом, оценка Уэлша спектральной плотности мощности записывается следующим образом:

Математическое ожидание оценки Уэлша:

т.е. оно равно математическому ожиданию модифицированной периодограммы. Можно показать, что при и значения сходятся к истинной спектральной плотности мощности Итак, для больших N и М оценка Уэлша спектральной плотности мощности несмещенная. При определенных условиях дисперсия оценок Уэлша сходится к нулю, т.е. оценки состоятельны. Уэлш также показал, что при отсутствии наложения сегментов (L = K)

что равно дисперсии оценки Бартлетта при тех же условиях. При 50%-ном наложении (L = 2K)

что составляет 9/16=0,56 дисперсии оценки Бартлетта.

Метод Блэкмена-Тьюки. Можно показать, что спектр плотности мощности определяется ДПФ автокорреляционной функцией данных. Зная, что периодограммы можно вычислить прямо по данным как квадрат ДПФ-образа данных, рассмотрим вопрос о полезности данного подхода. В связи с этим, во-первых, заслуживает внимания тот факт, что метод Блэкмена-Тьюки был разработан в 1958 году, тогда как алгоритм БПФ для быстрого вычисления ДПФ не публиковался до 1965 года. Во-вторых, метод Блэкмена-Тьюки имеет некоторые преимущества по сравнению с методом периодограмм. Например, в следующем разделе показано, что метод Блэкмена-Тьюки характеризуется большой добротностью. Кроме того, автокорреляционные функции теперь можно вычислить с помощью ДПФ посредством метода быстрой корреляции. В результате получаем следующую процедуру Блэкмена-Тьюки для определения спектра плотности мощности:

– вычислить автокорреляционную функцию данных;

– воздействовать на данные подходящей весовой функцией;

– вычислить БПФ получающихся данных и получить спектр плотности мощности.

Сравнивая эту процедуру с методом периодограмм, видим, что сглаживание достигается не за счет усреднения нескольких периодограмм, а за счет усредняющего эффекта процесса автокорреляции.

Взвешивание автокорреляционной функции необходимо для сглаживания ее экстремумов, поскольку при больших значениях параметра запаздывания в вычислении участвует немного точек данных, так что получающиеся оценки менее точны. Спад весовой функции по конусу приводит к тому, что данные оценки учитываются с меньшими весовыми коэффициентами.

Оценка Блэкмена-Тьюки Р_вте(f) равна

где – автокорреляционная функция данных, – весовая функций длины 2М-1, равная нулю при .

Чтобы получить реальные оценки, должно быть симметричным относительно m = 0, а чтобы оценки были положительными, образ должен быть больше нуля. Не все весовые функции удовлетворяют данным критериям. Например, им не удовлетворяют функции Хеннинга и Хэмминга.

Можно показать, что математическое ожидание оценки Блэкмена-Тьюки равно

где – треугольная весовая функция Барлетта.

Для получения дополнительного сглаживания спектра должно выполняться условие М < N. Если N>>m, оценка будет асимптотически несмещенной. Кроме того, если W(k) (ДПФ-образ весовой функции, ) уже , истинный спектр плотности мощности равен

и при , так что при данных условиях оценка Блэкмена-Тьюки является состоятельной.

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 891; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!