Определение внутренних усилий в арке

 

y	a
	q	Nk	x
		Qk	Mk
yk
		___
φk А		y	x
H
VA	q	MkБ	x
А	k
		kБ
VAБ	xk
	Рис. 4.8

Получим выражения внутренних усилий, возникающих в произвольном се-чении k. Для этого покажем часть арки ле-вее этого сечения (рис. 4.8). Поперечную силу Q будем ориентировать перпендику-лярно касательной, а продольную N – вдоль касательной, проведенной к точке k.

 

Изгибающий момент М_к найдем изуравнения статики: ∑M_k ^{лев. ч}=0;

M k =VA ⋅ xk − q ⋅	( xk −a )2	− H ⋅ yk .
	2
MkБ
54

Первые два слагаемых в этом выражении – балочный момент в сечении k.

 

___

Поперечную силу Q_k найдем из уравнения статики_∑ Y ^{лев. ч}=0;

 

Q_k =(V_A − q ⋅(x_k − a))⋅cosϕ − H ⋅sin ϕ.

Q_k^Б

 

___

Продольную силу N_к определим из уравнения_∑ X ^{лев. ч}=0;

 

N_k = −(V_A −q ⋅(x_k −a))⋅sinϕ − H ⋅cosϕ.

 

Q_k^Б

 

Приведем окончательные выражения усилий:

 

Mk = Mk Б –H yk	(4.1)
Qk = Qk Б·cosφk – H·sinφk	(4.2)
Nk = – (Qk Б·sinφk + H·cosφk )	(4.3)

 

Из этих выражений видно, что изгибающий момент в сече-ниях арки меньше по сравнению с балочным. Поперечная сила в ар-ке также уменьшена по сравнению с балочной. Однако в арке возникает сжимающая продольная сила значительной величины.В этом случае го-ворят, что арка работает преимущественно на сжатие. Хотя деформиро-ванное состояние зависит от характера внешней нагрузки.

 

4.4.Особенности расчета трехшарнирных рам

 

Так как в элементах рам возникает три внутренних усилия: изгибаю-

 

щий момент, поперечная сила и продольная сила,то аналитический расчетэтих конструкций состоит в построении эпюр M, Q и N.

 

Пример 4.1. Дана3-х шарнирная рама(рис. 4.9).Требуетсяопределить ре-акции опор и построить эпюры M, Q и N.

 

	q=3 кН/м	F=12кН
			1 м
HA	C	HB	м
			3
	А	B
	2 м	4 м1 м
	VA	VB

Рис. 4.9

 

Решение.

 

1. Определяем опорные реакции, используя тот же алгоритм, что и при расчете трехшарнирной арки.

 

∑M B = 0; −VA ⋅6 +3⋅2 ⋅5 +12⋅4⋅ = 0; VA	=	78	=13	кН;
	6
∑M A = 0; VB ⋅6 −3 ⋅2 ⋅1 +12 ⋅4 = 0; VB =	42 = −7			кН
	6
55

Реакция V_B отрицательна, поэтому изменим ее направление на противопо-ложное (показано пунктиром).

 

Проверка: ∑Y = 0; V A+VB − 3 ⋅2 =13 − 7 − 6 = 0;				0 ≡ 0.
Проверка выполняется.
∑M CЛ.Ч . = 0; VA ⋅2 − H A ⋅3 −3 ⋅2 ⋅1 = 0	H А =		13 ⋅2 − 6		= 6,67	кН;
		3
∑M CПР.Ч . = 0; VВ ⋅ 4 + H В ⋅3 −12 ⋅1 = 0	H B		= −	16 = −5,33
							кН.
				3

Реакция отрицательна, поэтому изменим ее направление на противопо-ложное (показано пунктиром).

Проверка:

 

∑ X = 0; H _A+H _B −12 =5,33 − 6,66 +12 = 11,99 −12 = −0,01 ≈ 0; 0 ≡ 0.

 

Проверка выполняется.

 

2. Предлагается самостоятельно построить эпюры M, Q, N по харак-терным точкам. Порядок построения рассмотрен в приложении В.

 

3. На рис. 4.10 показаны эти эпюры, построенные в программной системе COMPASS.

 

Схема рамы	Эп. М

 

Эп. Q		Эп. N
	Рис. 4.10

 

 

56

Пример 4.2. Данаарка(рис. 4.11),загруженная силовой нагрузкой.Ось ар-ки очерчена по параболе y = ⁴_L2^f x ( L − x). Требуется построить эпюры M , Q и N от действующей нагрузки.

Решение

y

q=3,5кН/м

1. Определение опорных реакций

Вертикальные реакции:

5

∑M B = 0;

−VA ⋅30 + 3,5 ⋅15 ⋅22,5 = 0;

4

С

2

3 ϕ

6

7

8

VA =

1181,25

=39,375 кН.

1

f=3,75 м

A

30

B

x

VA

H

H

∑M A = 0;

VB ⋅30 −3,5 ⋅15 ⋅7,5 =0;

3м 3м 3м 3м 3м 3м 3м 3м 3м VB

3м

393,75

L=30м

VB =

=13,125 кН.

30

q=3,5кН/м

Проверка:

A

С

B

∑Y = 0; V A + VB −3,5 ⋅15 =

VAб

L/2=15м

L/2=15м

б

39,375 +13,125 −52,5 = 0; 0 ≡ 0.

VB

Горизонтальные реакции

 

Мб (кНм)

 

	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
0		0									0
50											39,375
100										78,75
									118,125
150	102,375
								157,5

 

200	173,375	196,875
250	212,625	220,5

 

 

∑MCЛ.Ч. =0 VA ⋅15−HA ⋅3,75−3,5⋅15⋅7,5 =0
H =	39,375⋅15+3,5⋅15⋅7,5					=52,5 кН.
A		3,75
∑M CПр.Ч . = 0;					VB ⋅15− H B ⋅3,75=0,
H B =		13,125 ⋅15			= 52,5 кН.
			3,75

 

 

50		39,375			Qб (кН)
40
			28,875
30
20				18,375
10					7,875
0
10	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
20					2,625-	13,125- 13,125- 13,125- 13,125- 13,12513,125-						-

 

 

Рис. 4.12

 

Проверка:

∑X = 0; H _A−H _B = 0;

H _A = H _B = H =52,5; 0≡0.

 

3. Эпюры M, Q, N строим по характер-ным точкам, используя выражения:

 

M _k = M _k^Б − H ⋅ y_k ;

 

Q_k = Q_K^Б ⋅cosϕ_k − H ⋅sin ϕ_k ;

 

N_k = −(Q_K^Б ⋅sin ϕ_k + H ⋅cosϕ_k ).

 

 

57

Вычисления удобнее производить в табличной форме. Заполнять таблицу можно вручную, но более эффективно использовать для этого программы Excel или MathCAD. Порядок расчета следующий:

 

а) разбиваем ось x на8 -10частей(в данном случае−на10),получая,таким образом, характерные точки, в которых будут определяться усилия

 

(столбец 3);

 

б) определяем в характерных точках значения у,используя уравне-

ние y( x ) = ^{4 f} x( L − x), по которому очерчена ось арки (столбец 4);

_L2

 

в) строим эпюры Mб и Qб в балке того же пролета при том же загру-жении (рис. 4.12). Значения Mб и Qб в характерных точках заносим в таб-

лицу (столбцы 5, 11);

 

г ) определяем в каждой характерной точке значение tgϕ,где φ –уголмежду касательной в характерной точке арки и осью x (в шарнире C он ра-

вен нулю). Для параболы tgϕ = ∂y =									4 f	(l −2x)		(столбец 7);
						∂x			l 2
	д) вычисляем sin ϕ =					tgϕ		; cosϕ =				1			(столбцы 9, 10);
					1 + tgϕ2							1 + tgϕ2
	е) используя формулы(4.1−4.3),определяем значения M, Q, N в ха-
рактерных точках арки (столбцы 6, 12, 13). По этим значениям строим
эпюры M, Q и N (рис. 4.13).
																Таблица 4.1
				Расчет трехшарнирной арки
Сече-	H	x	y	Mб		M			tg φ		φ		Cos φ		Sin φ	Qб	Q		N
ние	(кН)			(кНм)		(кНм)										(кН)	(кН)		(кН)
1	2	3	4	5		6		7			8		9		10	11	12		13
А	52,5	0	0	0		0		0,5			0,46		0,894		0,447	39,375	11,7		-64,6
1		3	1,35	102,375		-31,5		0,4			0,38		0,928		0,371	28,875	7,3		-59,5
2		6	2,4	173,375		-47,37		0,3			0,29		0,958		0,287	18,375	2,5		-55,6
3		9	3,15	212,625		-47,25		0,2			0,20		0,981		0,196	7,875	-2,6		-53,0
4		12	3,6	220,5		-31,5		0,1			0,10		0,995		0,100	-2,625	-7,8		-52,0
С		15	3,75	196,875		0		0			0,00		1,000		0,000	-13,125	-13,1		-52,5
5		18	3,6	157,5		31,5		-0,1			-0,10		0,995		-0,100	-13,125	-7,8		-53,5
6		21	3,15	118,125		47,25		-0,2			-0,20		0,981		-0,196	-13,125	-2,6		-54,1
7		24	2,4	78,75		47,25		-0,3			-0,29		0,958		-0,287	-13,125	2,5		-54,1
8		27	1,35	39,375		31,5		-0,4			-0,38		0,9284		-0,371	-13,125	7,3		-53,6
В		30	0	0		0		-0,5			-0,46		0,8944		-0,447	-13,125	11,7		-52,8
								58

						парабола
4								3,75
3,5						3,6				3,6
3					3,15						3,15
2,5				2,4								2,4
2
1,5			1,35										1,35
1
0,5
0		0												0
	0		3	6	9	12		15	18		21	24	27	30
60						эпюра M (кНм)
40											47,25	47,25
20									31,5				31,5
0
	0		3	6	9	12		0	18		21	24	27	30
	0							15
-20
-40			31,5-			31,5-
-60				47,375-	47,25-
15						эпюра Q (кН)
10			11,7											11,7
				7,3									7,3
5
					2,5							2,5
0
	0		3	6	9	-2,612		15	18		21	-2,624	27	30
-5
							-7,8				-7,8
-10
-15									-13,1
0						эпюра N (кН)
-10	0		3	6	9	12		15	18		21	24	27	30
-20
-30
-40
-50
-60				55,6-	53-	52-		52,5-	53,5-		54,1-	54,1-	53,6-	52,8-
-70	64,6-		59,5-
						Рис. 4.13
							59

Обратим внимание, что из условия Q = ^∂_∂^M_x в сечениях, где на эпюре

поперечных сил происходит смена знака (нулевое значение), на эпюре из-гибающих моментов должны быть экстремальные значения.

 

Сделаем сравнительный анализ экстремальных (расчетных) значений момента в арке и в балке:

В арке: М_min= – 47,375 кНм; М_max= 47,25 кНм. В балке: М_max= 220,5 кНм.

 

Мы получили экстремальные значения моментов в арке, которые в 4,6 раза меньше максимального момента в балке.

 

Вопросы и задачи для закрепления темы

 

1. Какие плоские стержневые системы называются распорными?

 

2. Приведите пример распорной статически определимой рамы.

 

3. Приведите пример распорной статически неопределимой рамы.

 

4. Что называется распором в таких системах?

 

5. Как изменяется значение распора при уменьшении стрелы подъе-ма распорной системы?

 

6. Чем обусловлено введение затяжки при конструировании распор-ных систем?

 

7. Чем деформированное состояние арки отличается от деформиро-ванного состояния балки? Какие внутренние усилия при этом возникают в сечениях арки и балки?

 

8. Рассмотрите арку и балку одного пролета при одном и том же за-гружении. В какой из этих конструкций в сечениях с одинаковой привяз-кой по оси х будет возникать больший момент?

 

9. Сравните значение поперечной силы в сечениях этих конструкций.

 

10. В каком случае трехшарнирная арка будет близка к мгновенно изменяемой?

 

 

60

 

---

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 548; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!