Определение внутренних усилий в арке
y | a | |||
q | Nk | x | ||
Qk | Mk | |||
yk | ||||
___ | ||||
φk А | y | x | ||
H | ||||
VA | q | MkБ | x | |
А | k | |||
kБ | ||||
VAБ | xk | |||
Рис. 4.8 |
Получим выражения внутренних усилий, возникающих в произвольном се-чении k. Для этого покажем часть арки ле-вее этого сечения (рис. 4.8). Поперечную силу Q будем ориентировать перпендику-лярно касательной, а продольную N – вдоль касательной, проведенной к точке k.
Изгибающий момент Мк найдем изуравнения статики: ∑Mk лев. ч=0;
M k =VA ⋅ xk − q ⋅ | ( xk −a )2 | − H ⋅ yk . | |
2 | |||
MkБ | |||
54 |
Первые два слагаемых в этом выражении – балочный момент в сечении k.
___
Поперечную силу Qk найдем из уравнения статики∑ Y лев. ч=0;
Qk =(VA − q ⋅(xk − a))⋅cosϕ − H ⋅sin ϕ.
QkБ
___
Продольную силу Nк определим из уравнения∑ X лев. ч=0;
Nk = −(VA −q ⋅(xk −a))⋅sinϕ − H ⋅cosϕ.
QkБ
Приведем окончательные выражения усилий:
|
|
Mk = Mk Б –H yk | (4.1) |
Qk = Qk Б·cosφk – H·sinφk | (4.2) |
Nk = – (Qk Б·sinφk + H·cosφk ) | (4.3) |
Из этих выражений видно, что изгибающий момент в сече-ниях арки меньше по сравнению с балочным. Поперечная сила в ар-ке также уменьшена по сравнению с балочной. Однако в арке возникает сжимающая продольная сила значительной величины.В этом случае го-ворят, что арка работает преимущественно на сжатие. Хотя деформиро-ванное состояние зависит от характера внешней нагрузки.
4.4.Особенности расчета трехшарнирных рам
Так как в элементах рам возникает три внутренних усилия: изгибаю-
щий момент, поперечная сила и продольная сила,то аналитический расчетэтих конструкций состоит в построении эпюр M, Q и N.
Пример 4.1. Дана3-х шарнирная рама(рис. 4.9).Требуетсяопределить ре-акции опор и построить эпюры M, Q и N.
q=3 кН/м | F=12кН | |||
1 м | ||||
HA | C | HB | м | |
3 | ||||
А | B | |||
2 м | 4 м1 м | |||
VA | VB |
Рис. 4.9
Решение.
1. Определяем опорные реакции, используя тот же алгоритм, что и при расчете трехшарнирной арки.
|
|
∑M B = 0; −VA ⋅6 +3⋅2 ⋅5 +12⋅4⋅ = 0; VA | = | 78 | =13 | кН; | |
6 | |||||
∑M A = 0; VB ⋅6 −3 ⋅2 ⋅1 +12 ⋅4 = 0; VB = | 42 = −7 | кН | |||
6 | |||||
55 |
Реакция VB отрицательна, поэтому изменим ее направление на противопо-ложное (показано пунктиром).
Проверка: ∑Y = 0; V A+VB − 3 ⋅2 =13 − 7 − 6 = 0; | 0 ≡ 0. | |||||||
Проверка выполняется. | ||||||||
∑M CЛ.Ч . = 0; VA ⋅2 − H A ⋅3 −3 ⋅2 ⋅1 = 0 | H А = | 13 ⋅2 − 6 | = 6,67 | кН; | ||||
3 | ||||||||
∑M CПР.Ч . = 0; VВ ⋅ 4 + H В ⋅3 −12 ⋅1 = 0 | H B | = − | 16 = −5,33 | |||||
кН. | ||||||||
3 |
Реакция отрицательна, поэтому изменим ее направление на противопо-ложное (показано пунктиром).
Проверка:
∑ X = 0; H A+H B −12 =5,33 − 6,66 +12 = 11,99 −12 = −0,01 ≈ 0; 0 ≡ 0.
|
|
Проверка выполняется.
2. Предлагается самостоятельно построить эпюры M, Q, N по харак-терным точкам. Порядок построения рассмотрен в приложении В.
3. На рис. 4.10 показаны эти эпюры, построенные в программной системе COMPASS.
Схема рамы | Эп. М | |
Эп. Q | Эп. N | ||
| |||
Рис. 4.10 | |||
56
Пример 4.2. Данаарка(рис. 4.11),загруженная силовой нагрузкой.Ось ар-ки очерчена по параболе y = 4L2f x ( L − x). Требуется построить эпюры M , Q и N от действующей нагрузки.
Решение | ||||||||||||||||||||||||||
y | q=3,5кН/м | 1. Определение опорных реакций | ||||||||||||||||||||||||
Вертикальные реакции:
| ||||||||||||||||||||||||||
5 | ∑M B = 0; | −VA ⋅30 + 3,5 ⋅15 ⋅22,5 = 0; | ||||||||||||||||||||||||
4 | С | |||||||||||||||||||||||||
2 | 3 ϕ | 6 | 7 | 8 | VA = | 1181,25 | =39,375 кН. | |||||||||||||||||||
1 |
|
| f=3,75 м |
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||
A | 30 | |||||||||||||||||||||||||
B | x | |||||||||||||||||||||||||
VA | H | H | ∑M A = 0; | VB ⋅30 −3,5 ⋅15 ⋅7,5 =0; | ||||||||||||||||||||||
3м 3м 3м 3м 3м 3м 3м 3м 3м VB | ||||||||||||||||||||||||||
3м | ||||||||||||||||||||||||||
393,75 | ||||||||||||||||||||||||||
L=30м | VB = |
| =13,125 кН. | |||||||||||||||||||||||
30 | ||||||||||||||||||||||||||
q=3,5кН/м | Проверка: | |||||||||||||||||||||||||
A | С | B | ∑Y = 0; V A + VB −3,5 ⋅15 = | |||||||||||||||||||||||
VAб | L/2=15м | L/2=15м | б | 39,375 +13,125 −52,5 = 0; 0 ≡ 0. | ||||||||||||||||||||||
VB | Горизонтальные реакции | |||||||||||||||||||||||||
Мб (кНм)
0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | ||
0 | 0 | 0 | ||||||||||
50 | 39,375 | |||||||||||
100 | 78,75 | |||||||||||
118,125 | ||||||||||||
150 | 102,375 | |||||||||||
157,5 | ||||||||||||
200 | 173,375 | 196,875 | |
250 | 212,625 | 220,5 | |
∑MCЛ.Ч. =0 VA ⋅15−HA ⋅3,75−3,5⋅15⋅7,5 =0 | |||||||
H = | 39,375⋅15+3,5⋅15⋅7,5 | =52,5 кН. | |||||
|
| ||||||
A | 3,75 | ||||||
∑M CПр.Ч . = 0; | VB ⋅15− H B ⋅3,75=0, | ||||||
H B = | 13,125 ⋅15 | = 52,5 кН. | |||||
| 3,75 | ||||||
50 | 39,375 | Qб (кН) | |||||||||||
40 | |||||||||||||
28,875 | |||||||||||||
30 | |||||||||||||
20 | 18,375 | ||||||||||||
10 | 7,875 | ||||||||||||
0 | |||||||||||||
10 | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | ||
20 | 2,625- | 13,125- 13,125- 13,125- 13,125- 13,12513,125- | - | ||||||||||
Рис. 4.12
Проверка:
∑X = 0; H A−H B = 0;
H A = H B = H =52,5; 0≡0.
3. Эпюры M, Q, N строим по характер-ным точкам, используя выражения:
M k = M kБ − H ⋅ yk ;
Qk = QKБ ⋅cosϕk − H ⋅sin ϕk ;
Nk = −(QKБ ⋅sin ϕk + H ⋅cosϕk ).
57
Вычисления удобнее производить в табличной форме. Заполнять таблицу можно вручную, но более эффективно использовать для этого программы Excel или MathCAD. Порядок расчета следующий:
а) разбиваем ось x на8 -10частей(в данном случае−на10),получая,таким образом, характерные точки, в которых будут определяться усилия
(столбец 3);
б) определяем в характерных точках значения у,используя уравне-
ние y( x ) = 4 f x( L − x), по которому очерчена ось арки (столбец 4);
L2
в) строим эпюры Mб и Qб в балке того же пролета при том же загру-жении (рис. 4.12). Значения Mб и Qб в характерных точках заносим в таб-
лицу (столбцы 5, 11);
г ) определяем в каждой характерной точке значение tgϕ,где φ –уголмежду касательной в характерной точке арки и осью x (в шарнире C он ра-
вен нулю). Для параболы tgϕ = ∂y = | 4 f | (l −2x) | (столбец 7); | ||||||||||||||||||
∂x | l 2 | ||||||||||||||||||||
д) вычисляем sin ϕ = | tgϕ | ; cosϕ = | 1 | (столбцы 9, 10); | |||||||||||||||||
1 + tgϕ2 | 1 + tgϕ2 | ||||||||||||||||||||
е) используя формулы(4.1−4.3),определяем значения M, Q, N в ха- | |||||||||||||||||||||
рактерных точках арки (столбцы 6, 12, 13). По этим значениям строим | |||||||||||||||||||||
эпюры M, Q и N (рис. 4.13). | |||||||||||||||||||||
Таблица 4.1 | |||||||||||||||||||||
Расчет трехшарнирной арки | |||||||||||||||||||||
Сече- | H | x | y | Mб | M | tg φ | φ | Cos φ | Sin φ | Qб | Q | N | |||||||||
ние | (кН) | (кНм) | (кНм) | (кН) | (кН) | (кН) | |||||||||||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | |||||||||
А | 52,5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0,5 | 0,46 | 0,894 | 0,447 | 39,375 | 11,7 | -64,6 | |||||||||
1 | 3 | 1,35 | 102,375 | -31,5 | 0,4 | 0,38 | 0,928 | 0,371 | 28,875 | 7,3 | -59,5 | ||||||||||
2 | 6 | 2,4 | 173,375 | -47,37 | 0,3 | 0,29 | 0,958 | 0,287 | 18,375 | 2,5 | -55,6 | ||||||||||
3 | 9 | 3,15 | 212,625 | -47,25 | 0,2 | 0,20 | 0,981 | 0,196 | 7,875 | -2,6 | -53,0 | ||||||||||
4 | 12 | 3,6 | 220,5 | -31,5 | 0,1 | 0,10 | 0,995 | 0,100 | -2,625 | -7,8 | -52,0 | ||||||||||
С | 15 | 3,75 | 196,875 | 0 | 0 | 0,00 | 1,000 | 0,000 | -13,125 | -13,1 | -52,5 | ||||||||||
5 | 18 | 3,6 | 157,5 | 31,5 | -0,1 | -0,10 | 0,995 | -0,100 | -13,125 | -7,8 | -53,5 | ||||||||||
6 | 21 | 3,15 | 118,125 | 47,25 | -0,2 | -0,20 | 0,981 | -0,196 | -13,125 | -2,6 | -54,1 | ||||||||||
7 | 24 | 2,4 | 78,75 | 47,25 | -0,3 | -0,29 | 0,958 | -0,287 | -13,125 | 2,5 | -54,1 | ||||||||||
8 | 27 | 1,35 | 39,375 | 31,5 | -0,4 | -0,38 | 0,9284 | -0,371 | -13,125 | 7,3 | -53,6 | ||||||||||
В | 30 | 0 | 0 | 0 | -0,5 | -0,46 | 0,8944 | -0,447 | -13,125 | 11,7 | -52,8 | ||||||||||
58 |
парабола | |||||||||||||||
4 | 3,75 | ||||||||||||||
3,5 | 3,6 | 3,6 | |||||||||||||
3 | 3,15 | 3,15 | |||||||||||||
2,5 | 2,4 | 2,4 | |||||||||||||
2 | |||||||||||||||
1,5 | 1,35 | 1,35 | |||||||||||||
1 | |||||||||||||||
0,5 | |||||||||||||||
0 | 0 | 0 | |||||||||||||
0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | |||||
60 | эпюра M (кНм) | ||||||||||||||
40 | 47,25 | 47,25 | |||||||||||||
20 | 31,5 | 31,5 | |||||||||||||
0 | |||||||||||||||
0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 0 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | |||||
0 | 15 | ||||||||||||||
-20 | |||||||||||||||
-40 | 31,5- | 31,5- | |||||||||||||
-60 | 47,375- | 47,25- | |||||||||||||
15 | эпюра Q (кН) | ||||||||||||||
10 | 11,7 | 11,7 | |||||||||||||
7,3 | 7,3 | ||||||||||||||
5 | |||||||||||||||
2,5 | 2,5 | ||||||||||||||
0 | |||||||||||||||
0 | 3 | 6 | 9 | -2,612 | 15 | 18 | 21 | -2,624 | 27 | 30 | |||||
-5 | |||||||||||||||
-7,8 | -7,8 | ||||||||||||||
-10 | |||||||||||||||
-15 | -13,1 | ||||||||||||||
0 | эпюра N (кН) | ||||||||||||||
-10 | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | ||||
-20 | |||||||||||||||
-30 | |||||||||||||||
-40 | |||||||||||||||
-50 | |||||||||||||||
-60 | 55,6- | 53- | 52- | 52,5- | 53,5- | 54,1- | 54,1- | 53,6- | 52,8- | ||||||
-70 | 64,6- | 59,5- | |||||||||||||
Рис. 4.13 | |||||||||||||||
59 |
Обратим внимание, что из условия Q = ∂∂Mx в сечениях, где на эпюре
поперечных сил происходит смена знака (нулевое значение), на эпюре из-гибающих моментов должны быть экстремальные значения.
Сделаем сравнительный анализ экстремальных (расчетных) значений момента в арке и в балке:
В арке: Мmin= – 47,375 кНм; Мmax= 47,25 кНм. В балке: Мmax= 220,5 кНм.
Мы получили экстремальные значения моментов в арке, которые в 4,6 раза меньше максимального момента в балке.
Вопросы и задачи для закрепления темы
1. Какие плоские стержневые системы называются распорными?
2. Приведите пример распорной статически определимой рамы.
3. Приведите пример распорной статически неопределимой рамы.
4. Что называется распором в таких системах?
5. Как изменяется значение распора при уменьшении стрелы подъе-ма распорной системы?
6. Чем обусловлено введение затяжки при конструировании распор-ных систем?
7. Чем деформированное состояние арки отличается от деформиро-ванного состояния балки? Какие внутренние усилия при этом возникают в сечениях арки и балки?
8. Рассмотрите арку и балку одного пролета при одном и том же за-гружении. В какой из этих конструкций в сечениях с одинаковой привяз-кой по оси х будет возникать больший момент?
9. Сравните значение поперечной силы в сечениях этих конструкций.
10. В каком случае трехшарнирная арка будет близка к мгновенно изменяемой?
60
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 534; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!