Частные случаи в методе вырезания узлов
Случай 1:3-хстержневойнезагруженный узел,в котором двастержня лежат на одной прямой, а третий расположен под углом
(рис. 3.11). Усилия в стержнях, лежащих на одной прямой равны между собой, а усилие в стержне, расположенном под углом, равно нулю.
| N7-3 | Для доказательства вырежем узел 7. | ||||
| Используем уравнения статики: | |||||
| N6-7 | 7 | N7-8 | ∑X = 0; | N6-7 – N7-8=0. Отсюда N6-7 =N7-8. | |
| ∑Y = 0; | N7-3 =0. | ||||
| Рис. 3.11 | |||||
Случай 2:двухстержневойнезагруженный узел(рис. 3.12).Усилия встержнях, соединяющихся в этом узле равно нулю.
| Ni | Для доказательства используем уравнения статики: | |||||
| ∑Y = 0; | Ni ·sin α =0; Ni=0. | |||||
| k | α | Nj | ||||
| ∑ X = 0 ; | Ni ⋅cos α +Nj =0; отсюда Nj =0. | |||||
| Рис. 3.12 | ||||||
| 45 | ||||||
Предлагается самостоятельно определить нулевые стержни фермы, приведенной в задании 7 (рис. 3.17) на стр. 50.
Метод сечений
Для определения усилий в элементе фермы необходимо сделать сквозное сечение так,чтобы исследуемый стержень в это сечение попал.Далее одну из этих частей отбросим, а для оставшейся части можно соста-вить три уравнения статического равновесия, куда будут входить внешние нагрузки, опорные реакции и продольные усилия в разрезанных стержнях.
|
|
|
Таким образом, если в сечение попадают только три стержня , которые не параллельны друг другу и не пересекаются в одной точке, то при помо-щи уравнений статики можно определить продольные силы во всех раз-
резанных стержнях. Систему уравнений по возможности следует разде-лять так, чтобы в каждое уравнение входило одно неизвестное. Для этого при определении усилия в интересующем нас i-м стержне составляется уравнение: равенство нулю суммы моментов, взятых относительно точки
пересечения двух других стержней, попавших в сечение,если эти стержнине параллельны друг другу. Такая точка называется моментной для i-го стержня. Если исключаемые стержни параллельны друг другу, моментная точка уходит в бесконечность, и составляется уравнение статики: равенст-во нулю суммы проекций сил, действующих по одну сторону сечения, на ось, перпендикулярную исключаемым стержням.
Определим методом сечений усилия в стержнях третьей панели фермы (рис. 3.13). Проведем сквозное сечение II–II через стержни этой па-нели. Будем производить вычисления в общем виде через величины F и d.
| F | F | F | |||||||
| F/2
| F | II | 5 | F | F/2 | ||||
| 2 | 3 | 4 | |||||||
| 1 | |||||||||
| h | |||||||||
| A | 6 | 7II d 8 | B | ||||||
| VA=3F d | d | d | d | d VB=3F | |||||
Рис. 3.13
Усилие в стержне 3-4 найдем, приравняв нулю сумму мо-ментов всех сил, приложен-ных слева от разреза II—II, от-носительно точки 8. При на-хождении усилия в стержне 7-8 – моментная точка 3. Часть вычислений требуется выполнить самостоятельно.
N3-4=? (сеч. II–II).ИсключаемN3-8иN7-8.Моментная точка– 8.
∑M 8лев.ч. = 0 ; VA ·3d−F/2·3d−F·2d-F·d+N3 - 4 ·h=0; отсюда
| N3−4 | = | −VA ⋅3d + F / 2 ⋅3d + F ⋅2d + F ⋅d | = | − 4,5F ⋅d | = −4,5F | d | ; | (стержень | |
| h | h | h | сжат). | ||||||
N7-8=? (сеч. II–II).ИсключаемN3-4иN3-8.Моментная точка–
46
∑M лев.ч. = 0 ; ____________________________________отсюда
| N7−8 | = | VA ⋅2d − F / 2⋅2d − F ⋅d | = | 4F ⋅d | = 4F | d | ; | (стержень растянут). | ||||
| h | h | h | ||||||||||
| N3-8=? (сеч. II–II).Искл.N3-4
| и N7-8. | |||||||||||
Моментная точка уходит в бесконечность, т. к. исключаемые стержни па-раллельны. Поэтому составляем уравнение статики : равенство нулю сум-мы проекций сил,действующих по левую сторону от сечения,на ось Y.
| ∑Y лев.ч. = 0 ; | ___________________________отсюда | ||||||||
| N3−8 = | VA − F / 2− F − F | = | 0,5F | ; | (стержень растянут). | ||||
|
| |||||||||
| sinγ | sinγ | ||||||||
| Можно проверить правильность вычисления усилий. Для этого | |||||||||
| возьмем сумму проекций всех сил левой части фермы на ось X. | |||||||||
| ∑X лев.ч =0 ; | N3 - 4 + N7 - 8 +N3 - 8 cosγ = | ||||||||
| − 4,5F d + 4F | d + | 0,5F cos γ = −4,5Fctgγ + 4Fctgγ + 0,5ctgγ = 0, | 0≡0. | ||||||
| h | h | sin γ | |||||||
При нахождении усилий в элементах фермы возникает задача по оп-ределению функций углов наклона этих элементов к горизонтальной оси X (все углы рекомендуется обозначать именно между осью стержня и осью X).Для вычисления этих функций угол нужно соотнести с прямоугольнымтреугольником, катеты которого известны.
Опишем алгоритм определения функций угла γ. Для этого рассмотрим треугольник 6-3-7. Катеты этого тре-угольника d и h известны. Найдем через них гипотену-зу c. Функции синуса и косинуса угла γ определим от-ношением катетов к гипотенузе: sinγ=h/c; cosγ=d/c.
|
|
|
3
c = d 2+ h2
с h
γ
6d 7
Определим усилия в стержнях второй панели через F и d (рис. 3.14).
| F | I | F | F | F | F | ||||||
| F/2 | 4 | 5 | |||||||||
| 2 | F/2 | ||||||||||
| ∆h | |||||||||||
| 1 | r | h1h | |||||||||
| О | β | A | γ | B | |||||||
| γ 6 | 7 | 8 | |||||||||
| R | I | VВ=3F | Рис. 3.14 | ||||||||
| V А=3F | d | dd | d | d | d | ||||||
| a |
Вычислим необходимые геометрические величины, используемые в даль-
| нейших расчетах: R=(a+d) ·sin; r=(a+d) ·sinβ; | sinβ = | ∆h | . | ||
| (2d )2 | +(∆h )2 | ||||
| 47 | |||||
N6-7=? (сеч. I-I).ИсключаемN2-3иN6-3.Моментная точка–3.
∑M 3лев.ч. = 0 ; VA ·2d − F/2·2d − F·d − N6-7·h=0; отсюда
| N6−7 | = | VA ⋅2d − F / 2⋅2d − F ⋅d | = | 4F ⋅d | = 4F | d | ; (стержень растянут). | |
| h | h | h | ||||||
N2-3=? (сеч. I-I).ИсключаемN6-3иN6-7.Моментная точка (точка их пересечения) _________
| ∑M лев.ч. = 0 ; | ______________________________отсюда | |||||||||||
| N 2−3 = | −VA ⋅ | d + | F / 2⋅ d | = | − 2 ,5F ⋅ | d | = −2,5F | d | ; (стержень сжат). | |||
| r | r | r | ||||||||||
| N6-3=? (сеч.I-I).ИсключаемN2-3иN6-7.Моментная точка–О. | ||||||||||||
| ∑MОлев.ч. =0 ; | −VA ·a+F/2·a+F·(d+a)−N3 - 6⋅R=0; отсюда | |||||||||||
| N 3−6=−VA ⋅a + F / 2⋅a + F ⋅(d+ a) | = − | 1,5a − d | F . | |||||||||
| R | R | |||||||||||
Пример 3.1. Данаполигональная ферма,состоящая из10-ти панелей(рис. 3.15). Требуется определить усилия в стержнях 6-й и 8-й панели.
| 1 I | 2 | II | III | |||||||||||
| 5 | R | |||||||||||||
| r | 6 | 9 | ||||||||||||
| 2 м | 4 м | |||||||||||||
| γ | α | β | w | |||||||||||
| A | ||||||||||||||
| 3 | I | 4 | 7 | II III | 8 | B | 3 кН | |||||||
| 3 | кН | VA | 6 кН | 6 кН | 6 кН | 6 кН | 6 кН | 6 кН | 6 кН | VB | ||||
| 3 м | 3 м | 3 м | 3 м | 3 м | 3 м | 3 м | 3 м | 3 м | 3 м3 м | |||||
Рис. 3.15
Порядок расчета
1.Определим опорные реакции.В силу симметрии фермы и нагрузкиреакции VA и VB равны между собой.
VA =VB =∑2F =482=24 кН.
2.Вычислим необходимые геометрические величины,используемые вдальнейших расчетах.
| sinα = | 3 | = 0,707; sin β = | 1 | = 0,316; sinγ = | 4 | =0,8. |
| 32 | +33 | 12 | +33 | 42 +33 | ||
| r =12⋅0,316=3,795 м; | R =12⋅0,707=8,48 м. | |||||
| 48 | ||||||
3.Найдем усилия в стержнях6и8панели,включая стойки.
| N1−2 −? | (сечение I-I).Исключаем усилия N2-3 и N3-4. | ||||||||||||
| ∑M 3прав .ч. = 0; | V | ⋅12+N | ⋅4 −6⋅3−6⋅6 −6⋅9 −3⋅15=0, | N1-2= – 33,75кН | |||||||||
| B | 1−2 | ||||||||||||
|
|
|
| |||||||||||
| N 3−4− ? | (сечение I-I). Исключаем усилия N2-3 и N1 | -2. | |||||||||||
|
|
|
|
| ||||||||||
| ∑M 2прав .ч. = 0; | VB ⋅9− N3−4⋅4−3⋅12−6⋅6−6⋅3=0, | N3-4= | 31,5 кН | ||||||||||
|
|
| ||||||||||||
| N2−3−? | (сечение I–I). Исключаем N3-4 и N1-2. | ||||||||||||
|
|
|
| |||||||||||
| ∑Y = 0; | VB −N2−3⋅sinγ −3−6−6−6=0, | N2-3= | 3,75 кН | ||||||||||
| N1−3−? | (вырезаем узел1) | 1 | ∑Y = 0; | N1−3=0. | |||||||||
| N1-3 | |||||||||||||
|
|
|
| |||||||||||
| N2−4−? | (вырезаем узел 4). 4 | N2-4 | ∑Y = 0; | N2−4 = 6 | кН | ||||||||
| F=6кН | |||||||||||||
|
|
| ||||||||||||
| N 5−6 − ? | (сечение II-II). Исключаем N6-7 и N7-8. | ||||||||||||
| ∑M 7 = 0; | VB ⋅6+N5−6⋅r −6⋅3−3⋅9=0, | N5-6= – 26,09кН | |||||||||||
|
|
| ||||||||||||
| N6−7 −? | (сечение II-II). Исключаем N5-6 и N7-8 | ||||||||||||
| ∑M w = 0; | VB ⋅6+N6−7⋅8,48−3⋅3−6⋅9=0, | N6-7 | = 9,55 кН | ||||||||||
|
|
| ||||||||||||
| N6−8 −? | (сечение III-III). Исключаем N6-9 и N7-8. | ||||||||||||
| ∑M w = 0; | VB ⋅6+ N6−8⋅9−3⋅3−6⋅9=0, | N6-8= –9кН | |||||||||||
|
| |||||||||||||
| N5−7−? | N5−7−? (вырезаем узел 5) | N5-2 | 5 | β N5-6 | |||||||||
| N5-7 | |||||||||||||
|
|
| ||||||||||||
| ∑Y = 0; | N5−7+ N5−6⋅sin β =0; | N5−7= −N5−6sin β =8,243 | кH | ||||||||||
|
|
| ||||||||||||
| N7−8 −? | (сечение II-II). Исключаем N7-6 | и N5-6 | |||||||||||
| ∑M 6 = 0; | −VB ⋅3 + N7−8 ⋅3 + 3 ⋅6 = 0, | N7-8= 18кН | |||||||||||
| 49 | |||||||||||||
Вопросы и задачи для закрепления темы
1. Чем отличается расчетная схема фермы от реальной конструкции?
2. Какие деформации и усилия возникают в стержнях расчетной шарнирно-стержневой схемы при узловой нагрузке?
3. Запишите условие статической определимости и статической не-определимости фермы. Докажите статическую определимость фермы, по-казанной на рис. 3.18.
4. В каком случае для определения усилия в стержне используется метод вырезания узла?
5. Cформулируйте общий принцип подбора уравнений статики при определении усилия в стержне методом сечений.
6. Покажите часть фермы (рис. 3.16), отсеченную для определения усилия в стержне 4-5. Запишите уравнение статики, из которого определя-ется это усилие в общем виде и в развернутом виде через d и F.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | F | 6 | 7 | |
F
| h |
| 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ||
| d | d | F | d | d | F | |
| d | d |
Рис. 3.16
7. Перечислите нулевые стержни в ферме, показанной на рис. 3.17.
| F | F | F | F | ||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
| 11 | |||||||
| 8 | 9 | 10 | 12 | 13 | 14 | ||
Рис. 3.17
8. 9. 10. Определите усилия в указанных стержнях фермы, изобра-
женной на рис. 3.18.
F F
| F | 3 | 4 | 8 | |||
| F | ||||||
| 1 | 2 | 9 | 10 | |||
| h/2 h/2 |
| 5 | 6 | 7 | 11 | 12 | 13 | |
| d | d | 2d | d | d |
Рис. 3.18
Примите следующие числовые данные: F = 12 кН, d=4 м, h=3 м.
50
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 610; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!