Д) Полупроводники. Собственная и примесная проводимость

Полупроводниками называют вещества, по проводимости занимающие про­межуточное положение между проводниками и изоляторами. Концентрация свободных электронов в них в миллионы раз меньше, чем в металлах. Электро­проводность зависит от наличия примесей в материале полупроводника и от внешних условий - температуры и освещения. К полупроводникам относится огромное большинство веществ. Это ряд элементов (германий, кремний, бор и др.), большинство минералов, оксиды и др. химические соединения.

На Рис. 3.61а показана схема строения кремния. В кристалле каждый четырехвалентный атом связан с четырьмя такими же атомами четырьмя валентными электронами. Соседние атомы свя­заны между собой парой общих электронов. Такое взаимодействие между атомами называется ковалентной связью.

     

Рис. 3.61 Схема строения кремния

 

На Рис. 3.61б валентные электроны показаны в виде точек на прямых отрезках, соединяющих соседние атомы. При очень низких температурах все валентные электроны связаны с атомами и полупроводник является изолятором. При нагревании кристалла или его освещении некоторые электроны приобретают энергию, достаточную, чтобы покинуть атом. Такие электроны (один из них на Рис. 3.61б показан со знаком (-)) становятся свободными и могут при наличии электрического поля создавать ток. В той паре атомов, которую электрон покинул, остается свободное место – «дырка», имеющая положительный заряд. Это вакантное место может занять электрон из соседнего атома. Таким образом, «дырка» может блуждать по кристаллу, пока не встретит свободный электрон. При этом произойдет рекомбинация - нейтрализация свободных электрона и «дырки». За счет теплового движения или воздействия света в кристалле может образовываться большое число электронно-дырочных пар. При наличии электрического поля ток в полупроводнике будет создаваться электронами проводимости и дырками, движущимися в противоположных направлениях. Такая проводимость, существующая в чистых полупроводниках, называется собственной. Собственная проводимость полупроводников, в отличие от металлов, увеличивается с ростом температуры.

Проводимость полупроводников существенно зависит от наличия примесей. Предположим, что в четырехвалентный кремний введена небольшая примесь пятивалентного мышьяка (Рис. 3.62а). При этом четыре электрона мышьяка осуществляют химическую связь с атомами кремния. Пятый же электрон весьма слабо связан с атомом мышьяка и уже при невысокой температуре становится свободным электроном проводимости. В таких полупроводниках, называемых полупроводниками n-типа, основными носителями являются электроны проводимости, проводимость называется примесной, а примесь - донорной.

     

а                                б

Рис. 3.62 Схема строения полупроводников n-типа (а) и р-типа (б)

 

При введении в четырехвалентный кремний трехвалентной примеси, например бора (Рис. 3.62б), три его валентных электрона создают ковалентные связи с атомами кремния. С четвертым из соседних атомов связь не образована и может быть заполнена электроном ближайшего атома кремния. Тогда у этого атома остается незаполненная связь - дырка, которая таким образом может блуждать по кристаллу. Число дырок в кристалле равно числу атомов примеси. В таких примесных полупроводниках, называемых полупроводниками р-типа, основными носителями являются дырки. Примесь в этом случае называется акцепторной. Как в полупроводниках р-типа, так и n-типа существуют также неосновные носители, образующиеся за счет собственной проводимости при разрыве ковалентных связей.

Скорость движения носителей можно считать пропорциональной на­пря­женности поля только в слабых полях, поэтому закон Ома для полупроводников справедлив только в ограниченной области изменения поля.

Рассмотрим контакт двух полупроводников разных типов проводимости (Рис. 3.63).

Рис. 3.63 Электрический контакт двух полупроводников n-типа (а) и р-типа (б)

За счет теплового движения дырки в полупроводнике р-типа диффундируют в n-область, где будут рекомбинировать с дырками. Точно также электроны из полупроводника n-типа будут диффундировать в р-область. В результате вблизи области контакта образуется тонкий слой, обедненный носителями заряда, а за счет диффузии электронов и дырок через р-n переход проводник р-типа заряжается отрицательно, n-типа - положительно. Этот двойной слой зарядов, создающий контактную разность потенциалов, будет препятствовать дальнейшей диффузии электронов и дырок через р- n переход.

Если подать на полупроводник р-типа положительный потенциал от источника тока, а на n-типа - отрицательный, то электрическое поле будет перемещать электроны и дырки к области контакта, контактное поле р-n перехода уменьшится, обедненный слой d станет тоньше. Через контакт будет проходить заметный ток. Если подать на полупроводник р-типа отрицательный потенциал, а на n-типа - положительный, то толщина обедненного слоя d увеличится, так как электрическое поле будет оттягивать электроны и дырки от области контакта. При этом сопротивление обедненного слоя значительно возрастает и через контакт будет протекать очень слабый ток, обусловленный наличием в полупроводниках малого числа неосновных носителей, для которых р-n переход будет открытым.

Способность р-n перехода пропускать электрический ток в одном направлении используется в полупроводниковых диодах для выпрямления переменного тока и для детектирования сигнала в приемных устройствах.

Полупроводниковые структуры типа n-p-n и p-n-p называются биполярными транзисторами. Транзисторы подобно вакуумным диодам способны усиливать электрические сигналы и широко применяются в технике связи, автоматике и компьютерной технике.

Вопросы

1. Какова основная причина, по которой напряженность электрического поля в диэлектрике меньше напряженности внешнего поля? Обоснуйте ответ с молекулярной точки зрения.

2. Назовите два типа молекул диэлектрика. В чем различие их электрических свойств?

3. Чем связанные заряды на поверхности диэлектрика отличаются от свободных зарядов на поверхности проводника? Почему заряды не проявляются в объеме диэлектрика?

4. Запишите формулу для вычисления напряженности поля, создаваемого связанными зарядами на поверхностях диэлектрической пластины.

5. Какая величина характеризует поляризацию диэлектрика? В каких единицах она измеряется? Как она связана с поверхностной плотностью связанных зарядов и напряженностью поля в диэлектрике?

6. Что показывает диэлектрическая восприимчивость диэлектрика? Как она связана с диэлектрической проницаемостью?

7. По каким причинам диэлектрическая проницаемость веществ зависит от температуры? Как проявляется эта зависимость?

8. Какова основная причина, по которой магнитная индукция в веществе отличается от индукции внешнего поля? Обоснуйте ответ с молекулярной точки зрения.

9. Назовите два типа молекул слабомагнитных веществ. В чем различие их магнитных свойств?

10. Существует ли диамагнитный эффект в веществах, являющихся парамагнетиками?

11. Как зависят магнитные свойства парамагнетиков от температуры?

12. Какая величина характеризует намагниченность вещества? В каких единицах она измеряется?

13. Что показывает магнитная восприимчивость? Как она связана с относительной магнитной проницаемостью?

14. Каковы значения магнитной проницаемости ферромагнетиков? Является ли магнитная проницаемость постоянной для данного ферромагнетика величиной?

15. Каковы главные отличия свойств ферромагнетиков от свойств слабомагнитных веществ?

16. Может ли ферромагнетик стать парамагнетиком?

17. Как объяснить различный ход намагниченности и магнитной индукции в ферромагнетике при возрастании внешнего поля в области насыщения (Рис. 3.53а и Рис. 3.53б)?

18. Что такое гистерезис и как объяснить его с точки зрения особенностей структуры ферромагнетика?

19. Из каких основных этапов состоит процесс намагничивания ферромагнетика?

20. Какое предположение о свойствах электронов в металлах лежит в основе классической электронной теории?

21. Почему на среднюю длину свободного пробега электронов в металле не влияет скорость упорядоченного движения под действием поля?

22. На основе какого закона определяется ускорение электрона в промежутках между соударениями с ионами решетки?

23. Как зависит удельная электропроводность металлов от температуры и какая зависимость получается в классической электронной теории?

24. Каковы другие недостатки классической электронной теории?

25. Что такое сверхпроводимость?

26. Какие частицы являются носителями заряда в электролитах?

27. Чем существенным отличается процесс протекания тока через электролит от тока в металлах?

28. Покажите, что электрохимический эквивалент обратно пропорционален валентности и объясните почему. Нужно вспомнить, что такое валентность.

29. Что такое электролиз и где он применяется?

30. При каких условиях возможно протекание тока в газах?

31. Какие частицы являются носителями заряда в газах?

32. При каких условиях в газах выполняется закон Ома?

33. Каковы необходимые условия для возникновения несамостоятельного газового разряда? Какие процессы протекают при этом в газе?

34. Назовите основные типы самостоятельного газового разряда и поясните, за счет каких процессов в каждом из них происходит образование носителей тока.

35. При каких условиях возможно протекание тока в вакууме?

36. Какие частицы являются носителями заряда в вакууме?

37. Выполняется ли закон Ома для тока в вакууме?

38. Как объяснить состояние насыщения, когда ток не меняется при увеличении разности потенциалов?

39. В каких устройствах применяются электронные пучки в вакууме?

40. Как осуществляется формирование узкого пучка электронов в электронно-лучевой трубке?

41. Каким образом осуществляется отклонение пучка движущихся электронов в электронно-лучевой трубке? Какие поля, кроме электростатического, могут быть использованы для этой цели?

42. Какие вещества называются полупроводниками?

43. В результате каких процессов образуются носители заряда в чистых полупроводниках?

44. Как влияют примеси на величину электропроводности?

45. Какие примеси нужно вносить в полупроводник, чтобы обеспечить электронную проводимость? Какие примеси нужно вносить, чтобы обеспечить дырочную проводимость?

46. Существуют ли дырки в электронном полупроводнике и наоборот - электроны в дырочном полупроводнике? Объясните.

47. Может ли однородный образец полупроводника проводить ток только в одном направлении? Какие устройства обладают таким свойством?

48. Как объяснить существование обратного тока через р-n переход?

 

Лекция 3.6 Переменный ток (2 часа)

3.6.1 Переменный электрический ток. Генератор переменного тока

Переменный ток - это ток, периодически меняющийся по величине и направлению. Рассмотрим принцип действия генератора переменного тока на примере вращения рамки из проводника в однородном магнитном поле (Рис. 3.64).

Пусть рамка имеет площадь S и первоначально расположена в однородном магнитном поле так, что нормаль к плоскости рамки составляет угол a=0 с направлением вектора индукции .

 

Рис. 3.64 Вращающаяся рамка в магнитном поле

 

При вращении рамки с угловой скоростью w угол a изменяется по закону , a магнитный поток Ф, пронизывающий рамку, - по закону: . Так как , где Т - период, то

.

Изменения магнитного потока возбуждают в рамке ЭДС индук­ции, согласно закону электромагнитной индукции, равную производной от потока по времени (строчными буквами мы будем обозначать мгновенные значения):

.

Последнее выражение можно переписать в виде: , где  - амплитуда ЭДС индукции.

С помощью контактных колец и скользящих по ним щеток концы рамки соединяют с электрической цепью, в которой под действием ЭДС индукции, изменяющейся со временем по гар­моническому закону, возникнет переменный ток такой же частоты. Напряжение на выходных зажимах генератора несколько меньше ЭДС (на величину напряжения на внутреннем сопротивлении:  и также изменяется по гармоническому закону и=U_msin(wt). Мгновенное значение силы тока в цепи будет равно: , где I_m, - амплитуда колебаний тока, j - разность фаз между колебаниями тока и напряжения. Амплитуда тока и разность фаз зависят от характера сопротивления цепи.

 

3.6.2 Активное, емкостное, индуктивное сопротивление

Активным называется сопротивление, в котором выделяется энергия тока. Таким сопротивлением обладает обычный проводник – резистор. Пусть через резистор (Рис. 3.65), подключенный к генератору переменного тока (изображен символом ), протекает ток, изменяющийся по закону . Применим к участку цепи 1,2 закон Ома для мгновенных значений тока и напряжения в виде: . Получаем выражение: , из которого следует, что колебания напряжения на активном сопротивлении совпадают с колебаниями тока по фазе (Рис. 3.65), так как j = 0. Выражение , стоящее перед знаком синуса, есть амплитуда напряжения .

 

 

Рис. 3.65 Резистор в цепи переменного тока. Ток и напряжение колеблются в одинаковой фазе

Отсюда следует закон Ома для амплитудных значений:

.

3.112

Мощность, выделяемая в резисторе, равна: . Это мгновенная мощность, зависящая от времени. Она положительна, поскольку в нее входит . Среднее значение  равно ½, поэтому средняя мощность (за период) выразится как:

                    .

Действующим (эффективным) значением силы тока называют величину постоянного тока, который на активном сопротивлении за то же время выделяет такое же количество теплоты, как и данный переменный ток. Действующее значение силы тока связано с амплитудным значением соотношением: . Аналогично определяется действующее значение напряжения: . Использование действующих значений приводит полученные выше формулы для мощности к виду (3.59) - такому же, как для постоянного тока. Отметим, что в законе Ома для амплитуд (3.112) можно использовать и действующие значения тока и напряжения (естественно, одновременно).

Рассмотрим конденсатор в цепи переменного тока (Рис. 3.66). Постоянный ток не протекает через конденсатор, поскольку тот фактически разрывает цепь постоянного тока. Однако при возникновении колебаний напряжения на конденсаторе происходит его перезарядка и в подводящих проводах возникают колебания тока. Пусть заряд на конденсаторе меняется по гармоническому закону: .

Рис. 3.66 Конденсатор в цепи переменного тока. Колебания тока опережают колебания напряжения на угол p/2 (четверть периода)

 

Сила тока является производной заряда по времени:

.

Следовательно, колебания силы тока опережают колебания напряжения на конденсаторе на p/2. Амплитуда силы тока равна . Если ввести емкостное сопротивление , то из последнего выражения можно получить закон Ома для амплитуд:         

.

3.113

Если вместо амплитудных значений использовать действующие, то получим закон Ома для действующих значений:

                                       .

Индуктивность в цепи переменного тока (Рис. 3.67) тоже влияет на величину тока, так как возникает ЭДС самоиндукции. Если активным сопротивлением катушки можно пренебречь, то разность потенциалов на катушке равна . Если ток в цепи меняется по закону , то

Колебания силы тока в катушке  отстают от колебаний напряжения на p/2.Амплитуда напряжения . Амплитудные (и действующие) значения тока и напряжения также связаны между собой законом Ома:                    

 

Рис. 3.67 Индуктивность в цепи переменного тока. Ток отстает от напряжения на угол p/2

                                               

,

3.114

где - индуктивное сопротивление.

 Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений силы тока и напряжения:

              .

Мгновенная мощность колеблется с удвоенной частотой, принимая как положительные, так и отрицательные значения. В эти моменты (когда мощность отрицательна) цепь отдает мощность внешнему источнику. Практический интерес представляет среднее за период значение мощности:

.

3.115

или через действующие значения тока и напряжения:

.

3.116

Косинус угла сдвига фаз между током и напряжением называют коэффициентом мощности.

Если в электрической цепи не совершается работа, средняя мощность выделяется в активном сопротивлении в виде тепла. Чем меньше cosj, тем при большем токе выделится заданная мощность. Большие значения тока приводят к бесполезной потере мощности в соединительных проводах, поэтому на практике стараются увеличить коэффициент мощности нагрузки.

При сдвиге фаз j=p/2 (как в конденсаторе или катушке индуктивности без активного сопротивления) средняя выделяемая мощность равна нулю. Поэтому сопротивления X_С, X_L называются реактивными.

 

3.6.3 Векторные диаграммы

Во многих случаях удобно пользоваться векторным (гео­метр­и­ческим) представлением колебаний. Обратимся к Рис. 3.68. Проекция вектора  на ось x равна x = Аcosj, где j - угол между вектором и осью. Если вектор равно­мерно вращается с угловой скоростью w, то ки­нематическое уравнение для углового перемещения имеет вид j = wt+j₀, при этом проекция вектора изменяется по гармоническому закону с угловой частотой w:

,

где j₀ - начальный угол в момент t=0 (начальная фаза).

Рис. 3.68 Изображение колебаний с помощью проекции

вращающегося вектора

 

Таким образом, гармоническое колебание геометрически изобра­жается в виде проекции вектора , имеющего модуль, равный амплитуде колебаний, и вращающегося с угловой скоростью w, равной круговой частоте колебаний.

а            б              в

Рис. 3.69 Векторные диаграммы колебаний тока и

напряжения для резистора (а), конденсатора (б),  индуктивности (в)

 

Если в цепи существуют несколько колебаний, то каждое изображается соответствующим вектором. Обычно эти векторы изображают в момент времени t=0. В качестве примера на рис. 6.6 изображены векторные диаграммы для колебаний тока и напряжения в цепях, содержащих активное сопротивление (а), емкость (б), индуктивность (в). Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на 90°, поэтому соответствующий вектор повернут по часовой стрелке на такой же угол.

 

3.6.4 Переменный ток в RCL- цепи. Резонанс

Амплитуду колебаний напряжения в цепи переменного тока, содержащей последовательно соединенные резистор, конденсатор и катушку индуктивности (Рис. 3.70а), можно выразить через амплитудные значения напряжения на от­дельных ее элементах, воспользовавшись методом векторных диаграмм.

При построении векторной диаграммы необходимо учиты­вать, что колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями силы тока, поэтому вектор, изображающий ам­плитуду напряжения , совпадает по направлению с вектором, изображающим амплитуду силы тока . Колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на p/2 от колебаний силы тока, поэтому вектор напряжения на конденсаторе  повернут относительно вектора тока на угол -90°. Коле­бания напряжения на катушке опережают колебания силы тока по фазе на p/2, поэтому вектор  повернут относительно вектор  на угол 90° (Рис. 3.70а).

 

   

а                                  б

Рис. 3.70 Последовательная RCL цепь (а) и векторная диаграмма тока и напряжений (б)

 

На векторной диаграмме мгновенные значения напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке определяются проекциями на горизонтальную ось векторов , , , вращающихся с одинаковой угловой скоростью w против часовой стрелки. Мгно­венное значение напряжения на всей цепи равно сумме мгновен­ных напряжений u_R, u_C, u_L на отдельных элементах цепи, т. е. сумме проекций векторов , ,  на горизонтальную ось. Так как сумма проекций векторов на произвольную ось равна проекции суммы этих векторов на ту же ось, то амплитуду полного напряжения можно найти как модуль суммы векторов:  

Из Рис. 3.70б видно, что амплитуда напряжения на всей цепи равна:

, или ,

где R - активное сопротивление, X_C,=1/wС и X_L =wL - емкостное и индуктивное сопротивление контура соответственно.

Отсюда ток в контуре          

.

3.117

Это выражение есть закон Ома для амплитуд в цепи переменного тока.

Сдвиг фаз между током и напряжением определится из соотношения (см. Рис. 3.70б): 

 или

.

3.118

Ток в контуре зависит не только от параметров цепи, но и от частоты переменного тока. При частоте , определяемой из соотношения , полное сопротивление цепи минимально, активно и равно R, и ток в цепи достигает максимального значения . Это явление называется резонансом, а частота - резонансной. Из формулы следует, что при резонансе сдвиг фаз между током и напряжением на концах цепи равен нулю.

Явление увеличения амплитуды колебаний при настройке контура в резонанс с источником колебаний широко используют в радиотехнике: в схемах радиоприемников, уси­лителей, генераторов высокочастотных колебаний.

 

3.6.5 Электрический колебательный контур

Электрическим колебательным контуром называют замкнутую цепь, состоящую из конденсатора С и катушки индуктивности L (Рис. 3.71).

Периодически повторяющиеся изменения силы тока в катушке и напряжения на конденсаторе при отсутствии внешних воздействий называются свободными колебаниями.

Рис. 3.71 . Колебания тока, заряда конденсатора и превращения энергии в колебательном контуре в течение одного периода колебаний

При подключении к обкладкам заряженного конденсатора (Рис. 3.71а) катушки индуктивности в ней возникает ток. Если электрическое сопротивление катушки пренебрежимо мало, то энергия электрического поля W_е заряженного конденсатора начинает превращаеться в энергию магнитного поля W_м. Мгновенной раз­рядке конденсатора препятствует ЭДС самоиндукции, сдер­живающая процесс возрастания силы тока в катушке. В тот мо­мент, когда конденсатор полностью разрядится, сила тока в катушке и энергия магнитного поля достигнут максимальных (амплитудных) значений (Рис. 3.71б). После разрядки конденсатора ток в катушке убывает, но это приводит к уменьшению магнитного потока, что вызывает появ­ление в катушке ЭДС самоиндукции и индукционного тока. Сейчас на­правление индукционного тока таково, что он препятствует умень­шению магнитного потока. Конденсатор заряжается индукционным током катушки. Когда ток исчезнет, конденсатор окажется заряженным до первоначального значения заряда, но противоположного знака (Рис. 3.71в). После этого происходит следующий процесс перезарядки конденсатора током, протекающим в противоположном направлении (Рис. 3.71г), и возврат в исходное состояние после совершения одного полного колебания (Рис. 3.71д). В верхней части рисунка показаны значения времени соответ­ству­ющих состояний, выраженные в долях периода.

Из закона сохранения энергии следует, что при отсутствии в контуре сопротивления максимальное значение энергии W_e электрического поля заряжен­ного конденсатора равно максимальному значению энергии магнитного поля W_м катушки: , откуда можно получить связь амплитудных значений тока в катушке и напряжения на конденсаторе: . Это отношение имеет размерность сопротивления, поэтому величину  называют волновым или характеристическим сопротивлением контура.

В реальном электрическом контуре из-за потерь энергии на нагревание проводников и диэлектриков энергия магнитного и электрического полей по­степенно превращается во внутреннюю энергию. Свободные электромагнитные колебания в контуре оказываются затухающими.

Рис. 3.72 Реальный колебательный контур

 

Потери энергии в контуре можно учесть путем введения активного сопротивления (Рис. 3.72). Поскольку потери в диэлектрике конденсатора малы, это сопротивление практически равно активному сопротивлению катушки индуктивности. Считая направление тока, заряжающего конденсатор, положительным, запишем закон Ома для участка цепи от отрицательно заряженной обкладки конденсатора 1 до положительно заряженной 2. В соответствии с формулой (3.55) получаем: .

Направление обхода контура от точки 1 к точке 2 совпадает с направлением тока, поэтому произведение iR положительно. ЭДС самоиндукции по правилу Ленца отрицательна. Так как потенциал отрицательно заряженной пластины меньше, чем потенциал положительной, разность потенциалов (j₁- j₂) отрицательна:

,

где q – заряд на конденсаторе. Изменение заряда конденсатора вызывается током, поэтому

.

С учетом вышеизложенного закон Ома можно записать в виде:

                                 ,  

или в виде:   

.

3.119

где b=R/2L – коэффициент затухания, - собственная частота.

Дифференциальное уравнение (3.119) подобно уравнению, полученному для механического пружинного маятника (см. раздел «Механика»). Решение данного уравнения имеет вид:

.

3.120

где q₀ - амплитуда тока в начальный момент времени,

.

3.121

- частота затухающих колебаний. Из (3.120) следует, что уменьшение амплитуды со временем происходит по экспоненциальному закону. Частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний w₀. Из (3.121) следует, что при большом затухании (b ³ w₀) частота становится мнимой величиной. Это означает, что колебательного процесса не происходит и заряд конденсатора уменьшается до нуля без перезарядки. Такой процесс называется апериодическим.

Рис. 3.73 Колебания заряда на конденсаторе в контуре с потерями

 

Степень затухания колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затуханияl. Он равен логарифму натуральному двух соседних амплитуд. В разделе «Механика» показано, что , где Т=2p/w – период колебаний. Еще одной характеристикой контура является добротность. Она связана с логарифмическим декрементом затухания соотношением  и при малом затухании выражается через параметры колебательного контура следующим образом: , то есть равна отношению характеристического сопротивления контура к активному сопротивлению потерь.

Если в колебательный контур (Рис. 3.72) последовательно со всеми элементами цепи включить источник переменной ЭДС, то получится цепь, изображенная на Рис. 3.70а. Колебания, происходящие в таком контуре, называются вынужденными. Непосредственно после включения источника ЭДС в контуре будет наблюдаться наложение затухающих колебаний с частотой w' и колебаний с частотой w, то есть с частотой колебаний вынуждающей ЭДС. Через некоторое время затухающие колебания прекратятся и в контуре будут существовать колебания только с частотой w. Такие вынужденные колебания называются установившимися. Именно эти колебания описаны в предыдущем разделе. Явление резонанса используется для выделения колебаний заданной частоты, например в радиоприемниках. Если подать на контур колебания нескольких частот, то колебание, имеющее частоту, равную собственной частоте контура, будет иметь максимальную амплитуду.

 

Вопросы

1. Какое явление вызывает возникновение во вращающейся рамке переменной ЭДС?

2. Как должна вращаться рамка, чтобы ЭДС изменялась по гармоническому закону?

3. От чего зависит амплитуда ЭДС?

4. Чем активное сопротивление отличается от реактивного? Зависят ли эти сопротивления от частоты переменного тока?

5. Чем отличаются действующие и амплитудные значения тока и напряжения?

6. Каков сдвиг фаз между током и напряжением в цепи, содержащей резистор? конденсатор? катушку индуктивности?

7. Что такое коэффициент мощности?

8. С какой угловой скоростью должен вращаться вектор, изображающий гармоническое колебание? Чему должна быть равна длина вектора?

9. От каких параметров цепей зависят длины векторов на рис. 6.6?

10. Можно ли на векторной диаграмме указать начальную фазу колебаний?

11. Почему на векторной диаграмме (Рис. 3.70) вектор тока считается общим для всех элементов последовательной цепи?

12. Как определяются мгновенное и амплитудное значения напряжения на всей цепи через соответствующие значения напряжений на каждом из элементов?

13. Может ли вектор общего напряжения (Рис. 3.70) быть меньше, чем вектор напряжения на конденсаторе? на резисторе?

14. Чему равно общее напряжения при резонансе?

15. Может ли быть угол сдвига фаз в рассматриваемой цепи отрицательным?

16. От чего зависит коэффициент мощности в рассматриваемой цепи?

17. За счет чего ток в колебательном контуре существует в моменты времени, когда конденсатор разряжен?

18. В какие моменты времени вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе? в катушке индуктивности?

19. Из какого условия можно найти соотношение между амплитудами тока и напряжения на конденсаторе? Запишите это соотношение.

20. Каковы причины затухания колебаний в контуре?

21. На основании какого закона получается дифференциальное уравнение колебаний?

22. Какими характеристиками описывают степень затухания и какова связь между ними?

23. Какие колебания называются вынужденными? Чем вынужденные колебания отличатся от колебаний, описанных в разделе 3.6.4?

 

Лекция 3.7 Электромагнитное поле (2 часа)

В начале XIX в. Эрстед, Ампер и другие физики, развивая электромагнитную теорию, не пользовались кон­цепциями электрического и магнитного полей. Представ­ление о поле было введено несколько позднее Фарадеем. Однако эта концепция не находила широкого признания до тех пор, пока Максвелл не показал, что все электрические и магнитные явления могут быть описаны всего четырьмя уравнениями, содержащими электрическое и магнитное поля.

3.7.1 Вихревое электрическое поле. Первое уравнение Максвелла

При изучении электромагнитной индукции мы выяснили, что всякое изменение магнитного поля сопровождается возникновением в замкнутом проводнике индукционного тока за счет появления вихревого электрического поля. Анализируя это явление, Максвелл пришел к выводу, что вихревое электрическое поле появляется всякий раз, когда изменяется магнитное поле, не зависимо от того, имеются ли в данной области пространства проводники. Последние играют вспомогательную роль и являются всего лишь индикаторами возникновения вихревого электрического поля.

Запишем данный результат в математической форме. Для этого в формуле закона электромагнитной индукции (Ошибка! Источник ссылки не найден.) представим ЭДС как циркуляцию вектора напряженности электрического поля (3.47), а магнитный поток - в виде (3.77). Получим:

.

Поскольку операции дифференцирования и интегрирования в правой части уравнения проводятся по разным переменным, их можно поменять местами:        

.

3.122

Полученное уравнение называется первым уравнением Максвелла в интегральной форме. Проиллюстрируем это уравнение Рис. 3.74. Пусть в некоторой области пространства магнитная индукция направлена вверх и возрастает по величине: .

Рис. 3.74 Возникновение вихревого электрического поля под действием изменяющегося магнитного

 

Знак магнитного потока через площадку S, ограниченную контуром L, зависит от направления нормали  к площадке. Положительное направление нормали связано с направлением обхода контура правилом буравчика. В случае, показанном на Рис. 3.74, нормаль совпадает по направлению с вектором магнитной индукции , поэтому подынтегральное выражение в правой части формулы (3.122) будет положительным, а циркуляция вектора напряженности электрического поля - отрицательной. Это означает, что во всех точках контура L электрическое поле Е направлено противоположно направлению обхода. Отметим, что линии напряженности электрического поля расположены в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции. Аналогичным образом можно вычислить циркуляцию вдоль любого контура.

 

3.7.2 Ток смещения. Возникновение магнитного поля при изменении электрического поля.

Второе уравнение Максвелла

Эрстед обнаружил, что электрический ток создает магнит­ное поле; математически этот факт выражается теоремой о циркуляции магнитной индукции (3.74), которую для поля в магнетике можно записать в виде : . Согласно гипотезе Максвелла, существует и другая причи­на возникновения магнитного поля. Коль скоро в соот­ветствии с законом электромагнитной индукции Фарадея изменение магнитного поля приводит к появлению электрического поля, то должно быть справедливо и обратное: изменение электрического поля должно сопровождаться возникновением магнитного поля.

Рис. 3.75 Применение теоремы о циркуляции к двум различным поверхностям, опирающимся на один и тот же замкнутый контур

 

Покажем справедливость гипотезы Максвелла. Применяя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции, мы считали, что ток пронизывает плоскую поверхность (S₁ на Рис. 3.75), ограниченную замкнутым контуром L. Но с таким же успехом можно было бы рассматривать поверхность S₂, опирающуюся на тот же контур интегрирования, поскольку эту поверхность пронизывает такой же ток I. Иначе говоря, любую поверхность, опирающуюся на контур интегрирования, пронизывает один и тот же ток. Значит, сила тока, входящего в объем, ограниченный поверхностями S₁ и S₂, равна силе тока, выходящего из этого объема. Это утверждение, по существу, эквивалентно первому правилу Кирхгофа.

Рис. 3.76 В цепь переменного тока включен конденсатор

 

Применим теперь теорему о циркуляции вектора  к цепи, в которой происходит разряд конденсатора (Рис. 3.76). Поместим поверхность S₁ между обкладками конденсатора. Кажется, что для поверхностей S₁ и S₂ циркуляция будет различной, так как через поверхность S₁ ток не протекает (I = 0). Однако эти две поверхности опираются на один и тот же контур, по которому и вычисляется циркуляция, которая должна быть одинаковой в обоих случаях. Максвелл разрешил проблему, связанную с отсутствием тока через поверхность S₁, пред­положив, что изменяющееся электрическое поле между обкладками конденсатора эквивалентноэлектрическому току, который он назвал током смещения. Ток смещениякак бы замыкает ток проводимости, существующий в подводящих проводниках. Исходя из равенства тока смещения через поверхность S₁ току проводимости через S₂, выразим силу тока смещения через напряженность изменяющегося электрического поля между обкладками конденсатора.

Изменение заряда конденсатора q вызывается током в проводниках, поэтому: , где s - поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора, S – площадь пластин конденсатора. При выводе была использована формула для напряженности поля E=s/ee₀. Плотность тока смещения будет равна . Справедливо также векторное соотношение:                               

.

3.123

 

 

Плотность тока смещения пропорциональна производной от напряженности электрического поля по времени.

В рассмотренном выше случае токи проводимости и смещения были разделены в пространстве, поэтому теорему о циркуляции (3.74) можно представить в виде: . Сумму токов, охватываемых контуром, мы заменили интегралом по поверхности S₁, сквозь которую протекает ток смещения, либо равным ему интегралом по поверхности S₂, сквозь которую протекает ток проводимости.

В общем случае внутри контура интегрирования могут быть как токи проводимости, так и токи смещения, поэтому теорема о циркуляции будет выглядеть следующим образом: 

.

3.124

в котором скалярное произведение  представлено в виде:

           ,

аналогично представлено скалярное произведение

.

Уравнение (3.124) называют вторым уравнением Максвелла в интегральной форме. Часто для описания электрического поля вводят еще одну величину – электрическую индукцию, которая равна: . Тогда (3.124) можно записать в виде:

.

3.125

Уравнения (3.124) и (3.125) выражают идею Максвелла о том, что магнитное поле создается токами проводимости и переменным электрическим полем.

Проиллюстрируем второе уравнение Максвелла. Пусть в некоторой области пространства, заполненной веществом, электрические и магнитные свойства которого одинаковы во всех точках, вектор напряженности электрического поля направлен вверх и возрастает по величине:  (Рис. 3.75). Если в этой области отсутствуют токи проводимости, уравнение (3.124) будет иметь вид: . Поскольку интегрирование и дифференцирование в правой части последнего выражения проводятся по разным переменным, эти операции можно поменять местами:

.

Интеграл  есть не что иное, как поток вектора напряженности электрического поля. Знак потока через площадку S, ограниченную контуром L, зависит от направления нормали  к площадке, а направление последней связано с направлением обхода контура правилом буравчика.

Рис. 3.77 Возникновение магнитного поля под  действием изменяющегося электрического

В случае, показанном на Рис. 3.77, знак потока будет положительным, производная от потока также положительна (поле возрастает), и знак циркуляция вектора магнитной индукции поля положителен. Это означает, что во всех точках контура L линия индукции магнитного поля В направлена по направлению обхода. Отметим, что линии магнитной индукции расположены в плоскости, перпендикулярной вектору напряженности электрического поля.

3.7.3 Система уравнений Максвелла

Дополнив основные экспериментально открытые факты установлением магнитного действия тока смещения, Максвелл написал систему фундаментальных уравнений электродинамики. Таких уравнений четыре. Первые два мы уже записали. Это уравнения (3.122) - закон электромагнитной индукции Фарадея и (3.124) (или (3.125)) - обобщенная Максвеллом теорема о циркуляции вектора магнитной индукции. Следующие два уравнения Максвелла - это теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля (раздел 3.1.6, фор­мула (3.18)) и теорема Гаусса для магнитного поля (разд. 3.4).

Поскольку заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности (см. формулу (3.18)), может быть распределен по объему произвольным образом, его можно представить в виде интеграла  или проще: , где r - объемная плотность заряда, V – объем, охватываемой замкнутой поверхностью.

В интегральной форме уравненияМаксвелла имеют вид:

             - первое уравнение;

 - второе уравнение;

εε₀                        - третье уравнение;

                          - четвертое уравнение;

К этим фундаментальным уравнениям необходимо также добавить уравнение, связывающее плотность тока в среде с напряженностью электрического поля – закон Ома: . Закон Ома не является всеобщим, а строго выполняется лишь в металлических проводниках. В других средах он выполняется лишь при определенных условиях (см. раздел 3.5.4).

Уравнения Максвелла имеют следующий смысл: 1-е - изменение магнитного поля порождает вихревое электрическое поле (закон электромагнитной индукции); 2-е - магнитное поле создается электрическим током или изменяющимся электрическим полем (теорема о циркуляции вектора магнитной индукции); 3-е - обобщенный закон Кулона (теорема Остроградского-Гаусса), связывающий электрическое поле с его источниками - электрическими зарядами; 4-е - математическое выражение факта отсутствия изолиро­ванных магнитных зарядов: силовые линии магнитного поля непрерывны (замкнуты) в отличие от силовых линий электрического поля, которые начинаются или заканчи­ваются на электрических зарядах.

Уравнения Максвелла выражают основные законы электромагнетизма. Они столь же фундаментальны, как и три закона движения и закон всемирного тяготения Нью­тона в механике.

В предыдущих главах 1 и 3 мы изучали электрическое и магнитное поля по отдельности, не учитывая их взаимного влияния. Действительно, если поля не изменяются во времени, производные напряженности электрического поля и магнитной индукции равны нулю и уравнения Максвелла в этом случае выглядят следующим образом:

,     ,     ,

Видно, что магнитное поле создается только токами проводимости, а электрическое – только неподвижными зарядами, причем электрическое поле никак не связано с магнитным. Если же поля изменяются во времени, то по отдельности их рассмат­ривать уже нельзя: изменяющееся магнитное поле по­рождает электрическое поле, а изменение электрического поля приводит к возникновению магнитного поля. Важ­ным следствием этого оказывается возникновение элект­ромагнитных волн.

 

3.7.4 Элект­ромагнитные волны

Согласно Максвеллу, изменяющееся электрическое поле порождает в окружающем пространстве магнитное поле. Если электрическое поле будет изменяться, например, по гармоническому закону, то появляющееся магнитное поле также будет изменяться по гармоническому закону (производная от sin x равна cos x). Это изменение магнитного поля приведет в свою очередь к появлению изменяющегося электрического поля и т. д. Анализируя свои уравнения, Максвелл обнаружил, что конечным итогом подобной связи изменяющихся полей будет появление волны, ко­торая содержит электрическое и магнитное поля и способна распространяться в однородном пространстве.

Схематически этот процесс распространения электромагнитного поля изображен на Рис. 3.78. Перемен­ное магнитное поле с линиями индукции В (в центре рисунка) порождает вихревое элект­рическое поле с линиями напряженности Е. Это электрическое поле создает магнитное поле с линиями индукции B₁ и т. д. Возникающие вихри магнитного или электрического поля гасят поле в тех областях пространства, где они уже имелись, так как направления вновь появившихся полей противоположны направлениям полей, появлявшихся ранее (см. Рис. 3.78), но захва­тывают новые области пространства.

Рис. 3.78 Взаимные преобразования переменных электрического и магнитного полей

 

Векторы и  в электромагнитной волне перпендикулярны друг другу и перпендикулярны направлению распространения волны. Электромагнитная волна является поперечной.

Электромагнитное поле распространяется в пространстве в виде волны с очень боль­шой, но конечной скоростью. Значение скорости было найдено Максвеллом: , где - электрическая и магнитная постоянные, соответственно. В вакууме e =1 и m =1. Подстановка числовых величин электрической и магнитной постоянной дает значение скорости света в вакууме с =3×10⁸ м/с.Совпадение скорости электромагнитных волн с известной к тому времени скоростью света навело Максвелла на мысль, что свет – это электромагнитные волны.

Электромагнитная теория Максвелла была экспериментально подтверждена Герцем, который для излучения электромагнитных волн использовал вибратор - открытый колебательный контур. В экспериментах Герц наблюдал отражение волн от металлического листа и интерференцию, т.е. свойства, характерные для света, определил также длину электромагнитной волны и экспериментально подтвердил значение скорости ее распространения, предсказываемое теорией Максвелла.

Вопросы

1. Какое явление, открытое экспериментально, описывается первым уравнением Максвелла?

2. Как направлены линии напряженности возникающего вихревого электрического поля относительно направления вектора индукции изменяющегося магнитного поля?

3. Как изменится направление возникающего вихревого электрического поля (Рис. 3.74), если вызывающее его магнитное поле будет уменьшаться?

4. Что такое ток смещения? Есть ли в этом названии какой-либо физический смысл?

5. Как направлены силовые линии возникающего магнитного поля относительно направления вектора напряженности изменяющегося электрического поля?

6. Как изменится направление возникающего магнитного поля (Рис. 3.75), если вызывающее его электрическое поле будет уменьшаться?

7. Изменятся ли в случаях, указанных на Рис. 3.74 и Рис. 3.75, направления возникающих полей, если мы выберем противоположное направление обхода контура?

8. Почему возникающее под действием переменного магнитного поля электрическое поле называют вихревым, тогда как в отношении магнитного поля, возникающего под действием переменного электрического, такого уточнения не делают?

9. Каков физический смысл каждого из уравнений Максвелла?

10. Почему закон Ома не входит в систему фундаментальных уравнений?

11. Почему электрическое поле неподвижных зарядов и магнитное поле постоянного тока можно изучать раздельно?

12. Можно ли выбором закона изменения электрического поля во времени сделать так, чтобы возникающее магнитное поле было постоянным? Возникнут ли в этом случае электромагнитные волны?

13. Чему равна скорость распространения электромагнитных волн в вакууме?

14. Если волна распространяется в веществе, например в стекле, то скорость волны будет больше или меньше, чем в вакууме?

 

Заключение

1. В электростатическом поле работа по перемещению заряда по замкнутому пути равна нулю, следовательно, равна нулю и циркуляция вектора напряженности: . Электростатическое поле потенциально, поэтому каждую точку поля, кроме напряженности, можно характеризовать и потенциалом. Связь между этими величинами следующая: . Для электростатического поля справедлива теорема Остроградского-Гаусса: . В соответствии с законом Кулона напряженность поля точечного заряда убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Электрическое поле обладает энергией, объемная плотность которой определяется выражением: . Это выражение справедливо для любого электрического поля, а не только для электростатического.

2. Электростатическое поле не может поддерживать ток в замкнутой цепи. Для этого необходимы сторонние силы, которые характеризуются ЭДС, определяемой как циркуляция напряженности поля сторонних сил: . Для металлических проводников справедлив закон Ома: .

3. За счет энергии тока может совершаться механическая работа, могут протекать химические реакции. Если же проводник неподвижен и реакций не происходит, работа тока расходуется на нагрев проводника. В соответствии с законом Джоуля-Ленца выделяемая теплота пропорциональна квадрату силы тока: .

4. Магнитное поле создается движущимися зарядами. Силы, действующие в магнитном поле, не являются центральными – линии действия сил не проходят через центры взаимодействующих тел. Магнитное поле не потенциально – циркуляция вектора магнитной индукции не равна нулю: . Теорема Гаусса для магнитного поля гласит, что магнитный поток через замкнутую поверхность равен нулю: . Это является следствием отсутствия магнитных зарядов и замкнутости линий магнитной индукции.

5. Электрический ток в контуре возникает при изменении магнитного потока, пронизывающего контур. При этом возникает вихревое электрическое поле, циркуляция которого равна ЭДС индукции. Изменение магнитного потока может вызываться изменением силы тока в другой близко расположенной катушке (это явление называется взаимной индукцией) или изменением тока в самом контуре (самоиндукция). В обоих случаях в контуре наводится ЭДС, направленная так, чтобы противодействовать причине, ее порождающей.

6. Причиной изменения электрического поля в диэлектрике является поляризация диэлектрика и, как следствие, возникновение связанных зарядов на его границе. Чем больше диэлектрическая проницаемость вещества, тем больше поверхностная плотность связанных зарядов, тем меньше напряженность поля внутри диэлектрика.

7. Причиной изменения магнитного поля в магнетике является его намагничивание, которое можно трактовать как возникновение поверхностных токов, создающих собственное магнитное поле. В диамагнетиках индукция магнитного поля несколько меньше индукции поля в вакууме, а в парамагнетиках - несколько больше. Ферромагнетики обладают очень большой магнитной проницаемостью, поэтому магнитная индукция внутри во много раз больше, чем в вакууме. Однако это наблюдается лишь в сравнительно слабых полях. В очень сильных полях магнитная проницаемость близка к единице.

8. В металлах носителями зарядов являются электроны, потерявшие связь с атомами кристаллической решетки; в электролитах - положительные и отрицательные ионы, образовавшиеся при диссоциации молекул; в газах - ионы и электроны, образовавшиеся при ионизации; в вакууме - электроны, покинувшие поверхность металла вследствие термоэлектронной эмиссии, в полупроводниках - электроны и дырки, образовавшиеся при разрыве ковалентных связей при воздействии света, теплового движения или за счет примесей.

9. Закон Ома при всех возможных значениях напряженности поля и плотности тока выполняется только для металлов. В электролитах он выполняется вплоть до очень высоких значений напряженности поля E~10⁵ В/м, в газах - до значений плотности тока, существенно меньших, чем плотность тока насыщения, в однородных полупроводниках - только в слабых полях.

10. Колебания технического переменного тока, получаемые при вращении рамки (катушки) в магнитном поле, близки к синусоидальным. Амплитуда тока в цепи зависит от величины сопротивления. В активном сопротивлении колебания тока происходят в одинаковой фазе с колебаниями напряжения, поэтому в таком сопротивлении происходит выделение мощности тока – нагрев или совершение механической работы. В реактивных элементах (конденсатор, катушка индуктивности с пренебрежимо малым активным сопротивлением) ток сдвинут по фазе относительно напряжения на угол p/2 (в конденсаторе ток опережает, а в катушке отстает на этот угол), поэтому выделение мощности в среднем за период равно нулю. 

11. В последовательной RCL-цепи амплитуда колебаний зависит от соотношения частоты w источника переменной ЭДС и собственной частоты контура . При равенстве частот амплитуда колебаний тока становится максимальной, сопротивление цепи чисто активным, сдвиг фаз между колебаниями тока и напряжения равным нулю.

12. Анализируя опытные факты, Максвелл «на кончике пера» открыл явление возникновения магнитного поля под действием переменного электрического. Он создал теорию, из которой следовало, что переменное электромагнитное поля может существовать в виде волн, распространяющихся со скоростью света. Открытие Максвелла и экспериментальное исследование электромагнитных волн Герцем привело к открытию радио Г. Маркони (1874-1937) и А.С. Поповым (1859-1905).

 

 

[1] На практике считают равным нулю потенциал проводника, соединенного с землей.

1 Экспериментальное определение силы в рассматриваемом случае по ряду причин представляет собой непростую задачу

1 Имеются сведения, что Джозеф Генри (1797-1878) сделал открытие раньше Фарадея, но Фарадей первым опубликовал свои результаты и провел более детальные исследования.

 

1 Индуктивность катушки может зависеть от силы тока в ней, если имеется ферромагнитный сердечник.

[2] Использовать в практических целях данную схему не рекомендуется, так как замыкание ключом К источника тока приводит к выводу его из строя.

1 В плотных диэлектриках напряженность поля в точке, где находится молекула, лишь приближенно равна средней напряженности поля в диэлектрике.

[4] Магнетиками являются все вещества. Использование этого термина подчеркивает тот факт, что речь идет о магнитных свойствах.

[5] По современным представлениям, в атоме электронных орбит нет, тем не менее, значительная часть электронов атома обладает орбитальным магнитным моментом.

[6] Магнитные свойства вещества мы сейчас учитываем через магнитное поле молекулярных токов.

[7] Ферромагнетики с большой остаточной индукцией применяются как постоянные магниты.

---

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 483; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!