Значения относительной диэлектрической

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.

 

Лекция 3.1 Электростатика. Электрическое поле в вакууме (6 часов)

 

3.1.1 Электрический заряд и его свойства

Слово электричество происходит от греческого слова «янтарь» (электрон). Если потереть янтарь куском ткани, то он будет притягивать легкие предметы или пыль. Это явление, которое мы сегодня называем статическим электричеством, можно наблюдать также, натерев бумагой стеклянную палочку или шерстяной тканью пластмассовую палочку. Эти предметы притягивают мелкие кусочки бумаги (Рис. 3.1). Разряды статического электричества можно наблюдать, расчесывая волосы или поглаживая кошку. Можно ощутить легкий электрический укол, прикоснувшись к металлической дверной ручке, выйдя из автомобиля или пройдясь по синтетическому ковру. Во всех этих случаях происходит электризация трением – тела приобретают заряды.

Рис. 3.1 Притягивание нарезанных кусочков бумаги

к натертой о бумагу пластмассовой палочке

Существует два вида электрических зарядов, что можно обнаружить из опыта. Если зарядить два легких тела, подвешенных на шелковых изолирующих нитях, прикоснувшись к ним стеклянной палочкой, потертой о бумагу, то оба тела будут отталкиваться (Рис. 3.2). То же наблюдается, если оба тела зарядить при помощи пластмассовой (эбонитовой) палочки, потертой о шерсть. Однако, если одно тело зарядить от стеклянной палочки, а другое – от эбонитовой, оба тела будут притягиваться друг к другу. Эбонитовая палочка, по-видимому, обладает зарядом иного вида, нежели стеклянная. Экспериментально установлено, что существуют два и только два вида зарядов, причем заряды одного и того же вида отталкиваются, а заряды разных видов притягиваются. Мы говорим, что одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягиваются. С легкой руки Б. Франклина (1706-1790) эти два вида зарядов называются положительным и отрицательным. Заряд, появляющийся на стеклянной палочке, считают положительным, а на эбонитовой палочке (или янтаре) – отрицательным.

 

Рис. 3.2 Взаимодействие одноименных и разноименных зарядов

 

Франклин утверждал, что, когда в результате какого-либо процесса в одном теле возникает некоторый заряд, в другом теле одновременно возникает такое же количество заряда противоположного вида. Названия «положительный» и «отрицательный» следует понимать в алгебраическом смысле, так что суммарный заряд, приобретаемый телами в каком-либо процессе, всегда равен нулю.

Например, когда стеклянную палочку натирают бумажной салфеткой, происходит разде­ление зарядов, но их сумма равна нулю. В многочисленных опытах твердо установлен закон сохранения электрического заряда,который гласит: В электрически изолированной системе алгебраическая сумма электрических зарядов тел не изменяется при любых процессах, происходящих в этой системе. Электрически изолированной называется такая система, в которой нет переноса электрического заряда через границы системы.

Лишь в  XIX столетии стало ясно, что причина существования электрического заряда кроется в самих атомах. По современным представлениям, атом состоит из положительно заряжен­ного ядра, окруженного одним или несколькими отри­цательно заряженными электронами. В нормальном со­стоянии положительный и отрицательный заряды в атоме равны по величине и атом в целом электрически нейтра­лен. Однако атом может терять или приобретать один или несколько электронов. Тогда его заряд будет по­ложительным или отрицательным, и такой атом назы­вают ионом.

Установлено, что электрон обладает отрицательным зарядом, равным е=1,6×10^-19 Кл. В природе нет свободных частиц, обладающих меньшим зарядом, поэтому заряд электрона называют элементарным. Наименьший положительный заряд равен по модулю заряду электрона. Таким зарядом обладает, например, протон – частица, входящая в состав атомных ядер. Таким образом, электрический заряд – свойство элементарных частиц.

3.1.2 Электризация тел. Проводники и изоляторы

Электриза­цию трением можно объяснить тем, что в различных веществах ядра удерживают электроны с различной си­лой. Когда эбонитовая палочка, которую натирают шерстяной тканью, приобретает отрицательный заряд, это означает, что электроны в ткани удер­живаются слабее, чем в эбоните, и часть их переходит с ткани на палочку. Положительный заряд ткани равен по величине отрицательному заряду, приобретен­ному палочкой.

Обычно предметы, наэлектризованные трением, в конце концов возвращаются в электрически нейтральное состояние. Ку­да исчезает заряд? Он «стекает» на содержащиеся в воздухе молекулы воды. Дело в том, что молекулы воды полярны: хотя в целом они электрически нейтральны, заряд в них распределен неоднородно. Поэтому лишние электроны с наэлектризованной эбонитовой палочки или другого отрицательно заряженного тела будут «стекать» в воздух, притягиваясь к положительно заряженной об­ласти молекулы воды. С другой стороны, положительно заряженные тела будут захватывать электроны, ко­торые слабо удерживаются молекулами воды в воздухе, и таким образом нейтрализоваться. В сухую погоду влияние статического электричества гораз­до заметнее: в воздухе содержится меньше молекул воды, и заряд стекает не так быстро.

Некоторые тела являются хорошими проводниками электричества. К ним относятся все металлы. Если соединить таким проводником два металлических шара, один из которых сильно заряжен, а другой электрически нейтрален, то неза­ряженный шар очень быстро приобретет электрический заряд. Электропроводность металлов объясняется тем, что часть электронов внутри металла находится в почти свободном состоянии, то есть может перемещаться внутри металла под действием очень малой силы. Большинство других веществ являются изоляторами. Если же мы одновременно коснемся обоих шаров пластмассовой палочкой или куском резины, то шар, не имевший заряда, останется незаряженным.

Свободные электроны довольно легко перемещаются внутри металла, однако обычно нелегко покидают его. Действи­тельно, натирая металлический предмет, редко удается получить статический заряд, как в случае изоляторов типа стекла или пластмассы.

Кроме электризации трением возможна электризация через влияние. Приблизим положительно заряженное тело к нейтральному металлическому стержню так, чтобы они не соприкасались. Хотя электроны не покинут металлического стержня, они, тем не менее, переместятся в направлении заряженного предмета; на противоположном конце стержня возникнет положительный заряд (Рис. 3.3). В таком случае говорят, что на концах металлического стержня индуцируется (или наводится) заряд. Никаких новых зарядов при этом не возникает – происходит просто разделение зарядов, в целом же стержень остается электрически нейтральным. Однако, если теперь разрезать стержень посредине, то получим два заряженных тела – одно с отрицательным зарядом, другое – с положительным.

 

Рис. 3.3 Электризация через влияние

Сообщить металлическому предмету заряд можно также, соединив его проводом с землей (или, например, с водопроводной трубой, уходящей в землю) в присутствии заряженного тела, как показано на Рис. 3.4. Благодаря своим огромным размерам земля принимает и отдает электроны; она действует как резервуар заряда. Если поднести близко к металлу заряженный положительно предмет, то свободные электроны металла будут притягиваться и часть электронов перейдет с земли на тело, скомпенсировав заряд правой части тела (Рис. 3.4). Тело окажется заряженным отрицательно. Если теперь в присутствии заряженного тела отсоединить провод, на металле останется отрицательный наведенный заряд.

 

Рис. 3.4 Индуцированный заряд

на предмете, соединенном с землей

 

Зарядить металлический предмет можно от другого заряженного металлического предмета. При соприкосновении этих тел свободные электроны нейтрального предмета притянутся к положительно заряженному, и часть их перейдет на него, поэтому ранее нейтральный предмет окажется положительно заряженным. Если заряженное тело имело отрицательный заряд, то часть избыточных электронов этого тела перейдет на нейтральный предмет и зарядит его отрицательно. Такой процесс называется электризацией за счет электропроводности.

3.1.3 Закон Кулона

Взаимодействие зарядов исследовал французский физик Шарль Кулон (1736-1806). Для измерения силы он использовал крутильные весы  (Рис. 3.5). Сила взаимодействия определялась по углу закручивания нити. Когда к шарику на конце стержня, подвешенного на нити, подносят заряд, стержень слегка отклоняется, нить закручивается, и угол закручивания нити пропорционален действующей между зарядами силе. В те времена еще не было приборов для точного определения величины заряда, но Кулон сумел определить соотношение зарядов. Заряженный проводящий шарик приводился в соприкосновение с точно таким же незаряженным шариком.

Рис. 3.5 Измерение силы взаимодействия с помощью

крутильных весов

 

При этом имевшийся на первом шарике заряд распределялся поровну между двумя шариками. Это дало возможность получать заряды, составлявшие 1/2, 1/4 и т.д. от первоначального. Кулон показал, что сила, с которой одно малое заряженное тело действует на другое малое заряженное тело, прямо пропорциональна произведению электрических зарядов каждого из них и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Под малыми заряженными телами подразумевают точечные заряды, то есть  такие заряженные тела, размерами которых по сравнению с расстоянием между ними можно пренебречь. Одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются, и сила направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды (Рис. 3.6):

Рис. 3.6 Направления сил взаимодействия зарядов

Заметим, что в соответствии с третьим законом Ньютона сила, с которой один заряд действует на другой, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой второй заряд действует на первый.

В современной записи закон Кулона выглядит следующим образом:

3.1

Справедливость закона подтверждена тщательными экспериментами, гораздо более точными, чем первоначальные трудно воспроизводимые опыты Кулона. Показатель степени 2 (r²) установлен в настоящее время с точностью 10^-16, то есть он равен 2±2×10^-16. Коэффициент k в формуле (3.1) зависит от выбора системы единиц. Можно подобрать такую единицу измерения электрического заряда, чтобы k равнялся единице. Такая единица заряда называется абсолютной электростатической единицей заряда и обозначается 1 СГСЭq. Теперь, однако, заряд чаще всего выражают в системе СИ, где его единицей является кулон (Кл). Она выражается через основную единицу СИ - ампер (А): 1 Кл = 1А×с. В системе СИ k имеет величину:

k = 8,988 ×10⁹ Н×м²/Кл² » 9,0 ×10⁹ Н×м²/Кл².

Для упрощения многих других формул электричества коэффициент k записывают в виде: , где e₀ = 8.85×10^-12 Кл²/Н×м² – электрическая постоянная (или абсолютная диэлектрическая проницаемость).

Важно понимать, что формула (3.1) определяет силу, действующую на данный заряд со стороны единственного заряда. Если система включает несколько (или много) заряженных тел, то результирую­щая сила, действующая на данный заряд, будет равно­действующей (векторной суммой) сил, действующих со стороны остальных зарядов.

 

3.1.4 Электрическое поле. Напряженность электрического поля

Электрические заряды не действуют друг на друга непосредственно. Каждый из них создает в окружающем пространстве электрическое поле. Электрическое поле -вид материи, посредством которой осуществляется взаимодействие электрических зарядов.Если электрические заряды неподвижны, то поле является электростатическим. Поле, создаваемое одним или несколькими зарядами, можно исследовать с помощью небольшого положительного пробного заряда, измеряя действующую на него силу. Под пробным зарядом понимается достаточно малый по величине точечный заряд, собственное поле которого не меняет существенно распределения остальных зарядов, создающих исследуемое поле.

Напряженность поля - физическая величина, равная отношению силы, с которой поле действует на точечный положительный пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда:                     

3.2

Единица измерения напряженности в СИ - Н/Кл или В/м (вольт на метр).

Напряженность электрического поля  определяется через отношение F/q, чтобы исключить зависимость поля от величины пробного заряда q. Иначе говоря, поле  учитывает только те заряды, которые создают рассматриваемое в данной точке электрическое поле. Поскольку - векторная величина, электрическое поле является векторным noлeм.

Напряженность электростатического поля точечного заряда можно определить, если воспользоваться законом Кулона: , где Q - заряд, напряженность поля которого нужно определить, а q -пробный заряд. Подставив это выражение в (3.2), получим:                  

3.3

Для изображения поля используют линии напряженности (силовые линии), касательные к которым в каждой точке дают направление вектора напряженности. На Рис. 3.7 показаны силовые линии уединенных точечных зарядов. Силовые линии «выходят» из положительного заряда и «входят» в отрицательный заряд (это означает, что пробный положительный заряд будет притягиваться к отрицательному, создающему поле). Густота силовых линий больше вблизи зарядов, то есть там, где больше напряженность поля.

Рис. 3.7 Картины силовых линий уединенных точечных положительного и отрицательного зарядов

 

Каждый электрический заряд создает электрическое поле независимо от наличия других зарядов. Так как напряженность поля является силовой характеристикой, то, как и для сил, справедлив принцип суперпозиции:

            

3.4

- напряженность поля, созданного двумя и более зарядами, находится как векторная сумма полей, созданных каждым зарядом в отдельности.

Рис. 3.8 К определению напряженности поля двух

точечных зарядов

 

Используя принцип суперпозиции, можно рассчитать напряженность электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов. Пусть в точке А (Рис. 3.8) необходимо найти напряженность поля, создаваемого зарядами q₁ и q_2. Определяем напряженность поля, создаваемого в этой точке каждым зарядом в отдельности: , . Результирующее поле определится как векторная сумма: . Модуль результирующего поля может быть найден методами тригонометрии. В частном случае, когда точка лежит на перпендикуляре, восстановленном из середины отрезка, соединяющего одинаковые разноименные заряды, результирующее поле направлено параллельно этому отрезку (как на Рис. 3.8).

Если расстояние l между одинаковыми разноименными зарядами q много меньше расстояния до точек, в которых определяется поле, то такая система называется электрическим диполем. Диполь характеризуется дипольным моментом . Вектор  направлен по оси диполя от отрицательного заряда к положительному.

Если заряженное тело настолько велико, что его нельзя рассматривать как точечный заряд, то в этом случае необходимо знать распределение зарядов внутри тела. При этом заряженное тело можно разбить на такие части, заряд каждой из которых можно считать точечным, и определить напряженность поля как векторную сумму полей, создаваемых каждой частью тела.

Во многих случаях распределение заряда можно считать непрерывным. Это означает, что распределенные заряды можно представить в виде набора бесконечно малых элементов dq, каждый из которых создает на расстоянии r электрическое поле напряженностью . Значение напряженности электрического поля в любой точке можно получить, просуммировав вклады всех бесконечно малых элементов, то  есть,  взяв интеграл . Заметим, что - вектор, так что интегрирование может оказаться непростым. Аналитический расчет возможен только для простых случаев. Во многих случаях применяются методы численного интегрирования.

В качестве примера рассмотрим поле кольца, по которому равномерно распределен заряд Q (Рис. 3.9). Напряженность поля, созданного элементом кольца dl в т. А,  лежащей на оси кольца, равна , где dQ = Q(dl/2pa), поскольку заряд рав­номерно распределен по длине кольца 2pа. Отсюда .

Рис. 3.9 К расчету поля равномерно заряженного тонкого кольца

 

Вектор  имеет компоненты dE_x вдоль оси х и dE_у - в перпендику­лярном направлении. Ин­тегрируя по всему кольцу, заметим, что каждому элементу dl кольца соответству­ет диаметрально противоположный эле­мент равной длины такой, что перпенди­кулярные компоненты напряженности электрического поля этих двух элементов взаимно компенсируются. Это справедли­во для всех элементов кольца, так что в итоге вектор  направлен вдоль оси х и нам остается проинтегрировать толь­ко компоненты dE_x. Тогда полная напряженность электрического поля рав­на

.

Учитывая, что , получаем  

3.5

На больших расстояниях (х>>а) получен­ное выражение сводится к Е=Q/4pe₀x². Этого следовало ожидать, так как на больших расстояниях кольцо подобно то­чечному заряду.

3.1.5 Работа сил поля при перемещении заряда. Потенциал и разность потенциалов

На электрический заряд, находящийся в поле, действует сила, поэтому при перемещении заряда q на расстояние dl в электрическом поле с напряженностью  совершается работа:

3.6

где a - угол между векторами  и  dr=dlcosa - проекция перемещения на направление силовой линии (Рис. 3.10). Работа по перемещению заряда в электростатическом поле не зависит от формы траектории. Действительно, при перемещении заряда q между точками 1 и 2 в поле точечного заряда Q совершается работа

,

3.7

которая определяется только положениями начальной и конечной точек (расстояниями r₁ и r₂ до заряда Q). Из выражения (3.7) видно, что при перемещении заряда по замкнутой траектории (то есть когда начальная и конечная точки совпадают и r₁=r₂) работа равна нулю.

Рис. 3.10 Перемещение заряда в электростатическом поле

Запишем выражение для работы в виде: , где E_l=Еcosa - проекция вектора напряженности на направление перемещения. Равенство нулю работы по замкнутой траектории означает равенство нулю интеграла в последнем выражении. Этот интеграл называют циркуляцией вектора . Поскольку любое заряженное тело можно представить как совокупность точечных зарядов, циркуляция будет равной нулю в полях неподвижных зарядов любой конфигурации. Итак, в электростатическом поле циркуляция вектора напряженности равна нулю

 

,

3.8

 (кружок на знаке интеграла означает, что интегрирование ведется по замкнутому пути). Силовые поля с такими свойствами называются потенциальными, или консервативными.

В разделе «Механика» показано, что работа в потенциальном поле равна изменению потенциальной энергии системы, взятой с противоположным знаком:   

,

3.9

где W₁, W₂ - значения потенциальной энергии в начальной и конечной точках.

Поскольку энергия заряда в поле, как и работа по перемещению заряда между двумя точками, пропорциональна заряду, то отношение энергии к величине заряда есть величина, характеризующая только поле. Эта величина называется потенциалом поля в данной точке:                 

,

3.10

При этом выражение (Рис. 3.9) можно переписать в виде:

                                           

,

3.11

где  

,

3.12

- разность потенциалов между двумя точками, которая численно равна разности потенциальных энергий заряда в этих точках, отнесенной к величине заряда. Сопоставляя с выражением для работы в поле точечного заряда (Рис. 3.7), получаем, что потенциал точечного зарядаобратно пропорционален первой степени расстояния до заряда.

,

3.13

Как и потенциальная энергия, потенциал определяется с точностью до некоторой постоянной. Реальные тела имеют конечные размеры, но на очень большом расстоянии поле этих тел может рассматриваться как поле точечных зарядов. Тогда, как следует из (3.13), на бесконечно большом расстоянии от заряженного тела потенциал поля равен нулю[1]. Если положить в выражении (3.13) W₂ и j₂ равными нулю, то можно сказать, что потенциал некоторой точки поля численно равен работе по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля на бесконечность: 

.

Потенциал и разность потенциалов измеряются в вольтах. 1В=1Дж/Кл.

В отличие от напряженности поля, являющейся силовой характеристикой поля, потенциал – его энергетическая характеристика. Связь межу этими величинами можно найти из выражений для работы. Для поля любой конфигурации , где dj - изменение потенциала при перемещении вдоль силовой линии на расстояние dr. Знак (-) в правой части отражает связь работы с изменением потенциальной энергии. Сокращая на q, получаем связь между напряженностью электрического поля и изменением потенциала:

,

3.14

Знак (-) означает, что напряженность поля направлена в сторону убыли потенциала. Из последнего выражения видно, что напряженность электрического поля измеряют в вольтах на метр: 1В/м=1Н/Кл.

В векторном анализе градиентом некоторой скалярной величины j называют вектор, направление которого совпадает с направлением быстрейшего увеличения величины j . По определению

,
где - орты (единичные векторы, направленные вдоль осей координат). Значок grad подразумевает, что в левой части этого выражения стоит векторная величина.

Напряженность электрического поля можно выразить следующим образом:

,

3.15

Из (3.13) получаем , где E_l - проекция вектора напряженности на направление dl. Проинтегрировав данное выражение, найдем разность потенциалов между точками 1 и 2:    

,

3.16

 

Рис. 3.11 Эквипотенциальные линии (штриховые) и силовые линии электрического поля (сплошные линии) двух разноименных зарядов

 

Геометрическое место точек одинакового потенциала называют эквипотенциальной поверхностью. При перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности работа не совершается, так как потенциальная энергия заряда не меняется. Это означает, что заряд перемещается перпендикулярно действующей силе. Таким образом, эквипотенциальные поверхности ориентированы перпендикулярно линиям напряженности электростатического поля. Пересекаясь с плоскостью чертежа, эквипотенциальные поверхности дают эквипотенциальные линии (Рис. 3.11). Так как напряженность поля направлена в сторону убыли потенциала, то j₁ >j₂> j₃. Эквипотенциальные линии, как и линии напряженности, гуще там, где напряженность поля выше (вблизи зарядов).

 

3.1.6 Теорема Остроградского-Гаусса

Введем понятие потока вектора напряженности. Рассмотрим произвольную поверхность S в электрическом поле (Рис. 3.12). Выберем на ней элемент dS бесконечно малой площади. Ввиду ее малости площадку dS можно считать плоской, а поле в ее пределах однородным, то есть одинаковым по величине и направлению.

 

 

Рис. 3.12 К определению понятия потока вектора напряженности

Элементарный поток вектора напряженности сквозь площадку dS по определению равен скалярному произведению:

, где - вектор элемента поверхности (  - единичный векторнормали к площадке dS), Е_n - проекция вектора на направление нормали.

 

Рис. 3.13 Уединенный точечный заряд, окруженный сферической поверхностью А1 и поверхностью формы А2

Полный поток вектора напряженности через поверхность площадью S определится через интеграл

,

3.17

Заметим, что интеграл по поверхности на практике не всегда легко вычисляется, однако необходимость в этом возникает не часто, за исключением самых простых си­туаций, которые мы рассмотрим ниже.

Если графически изображать поле так, что напряженность будет численно равной числу силовых линий, пронизывающих единичную площадку в перпендикулярном к ее поверхности направлении, то поток вектора напряженности через любую площадку можно представить как число силовых линий, пронизывающих эту площадку.

Теорема Остроградского-Гаусса устанавливает точное соотношение между потоком вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность и суммарным зарядом, находящимся внутри этой поверхности:

3.18

Нетрудно показать справедливость этой теоремы для одного точечного заряда Q, если охватывающая его поверхность является сферой (А₁ на Рис. 3.13), в центре которой находится этот заряд. Линии напряженности направлены по радиусам и в каждой точке сферы перпендикулярны ей, следовательно, Е_n = Е. В точках на поверхности напряженность поля одинакова, поэтому величину Е можно вынести из-под знака интеграла в выражении (3.17). Подставив вместо Е напряженность поля точечного заряда из, а вместо полной площади – площадь сферы S=4pr², получим, что .

Рис. 3.14 К определению потока через складчатую поверхность

 

Если выбрать поверхность неправильной формы, например поверхности А₂ на Рис. 3.13, то теорема будет справедлива и для этой поверхности, так как через эту поверхность проходит то же число силовых линий, что и через сферу A₁, следовательно, поток через А₂ равен потоку через А₁. Таким образом, формула (3.17) справедлива для любой замкнутой поверхности, окружа­ющей точечный заряд, даже если эта поверхность имеет складки и некоторые силовые линии пересекают ее не один а, скажем, три раза (3.14). В таком случае каждая из площадок dS', dS",dS'" внесет в общий поток одинаковый по абсолютной величине вклад, но вклад площадки dS" будет отрицательным (отрицательным будет косинус угла между векторами и ), поэтому вклад этих площадок в общий поток будет таким же, как у одной площадки dS'.

Из сказанного ясно также, почему заряды, находящиеся вне замкнутой поверхности, не изменяют общего потока – их силовые линии будут пересекать замкнутую поверхность дважды и давать в одном случае отрицательный вклад в общий поток, во втором – положительный.

Рассмотрим, наконец, случай, когда внутри поверх­ности находятся N точечных зарядов q₁, q₂, … q_N. В силу принципа суперпозиции полная напряженность электрического поля Е есть векторная сумма напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Поэтому

Каждый из интегралов, стоящих под знаком суммы, равен q_i/e₀. Следовательно,

Закон Кулона и теорема Остроградского-Гаусса отражают одно и то же свойство электрического поля – напряженность электрического поля неподвижного точечного заряда убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от заряда.

 

3.1.7 Применение теоремы Остроградского-Гаусса к расчету полей заряженных тел простой формы

С по­мощью теоремы Остроградского-Гаусса удается легко найти напряженность поля в случаях, когда распределение зарядов оказывается достаточно простым и симметричным. При этом стремятся выбрать замкнутую по­верхность, окружающую заряды так, чтобы напряженность электрического поля Е была постоянна по всей поверхности или, по крайней мере, на определенных ее участках.

Рис. 3.15 К расчету поля бесконечной однородно заряженной плоскости

 

Рассмотрим бесконечную плоскость (Рис. 3.15), равномерно заряженную с поверхностной плотностью заряда . Здесь Dq - заряд, распределенный по площади DS. Вследствие симметрии линии напряженности имеют вид прямых линий, перпендикулярных заряженной плоскости. В качестве замкнутой поверхности выберем поверхность прямого цилиндра, основания которого параллельны заряженной плоскости и имеют площадь S. Так как силовые линии не пронизывают боковую поверхность цилиндра (они скользят вдоль поверхности), поток вектора напряженности через нее равен нулю. Полный поток, следовательно, равен потоку через два основания: . Внутри цилиндра находятся заряды, распределенные на участке заряженной поверхности, вырезанной цилиндром. Площадь этого участка равна площади основания. Поэтому суммарный заряд внутри цилиндра равен: . Используя теорему (3.17), получаем выражение для напряженности поля бесконечной заряженной плоскости:

,

3.19

Напряженность поля не зависит от расстояния:  силовые линии параллельны, их густота одинакова на любом расстоянии от заряженной поверхности. Это утверждение и формула (3.18) справедливы для бесконечной плоскости. Для реальных тел в виде плоскости конечных размеров эта формула справедлива только вблизи поверхности, причем для точек, не лежащих вблизи ее края.

Зная связь между напряженностью и потенциалом, легко найти выражение для разности потенциалов двух точек в поле заряженной плоскости. Используя формулу (3.15) и то обстоятельство, что напряженность поля во всех точках имеет одинаковое значение, получим:

,

3.20

Здесь r₁ и r₂ - кратчайшие расстояния точек до заряженной поверхности (вдоль силовой линии).

Однородно заряженный шар. Электрический заряд Q равномерно распределен по объему непроводящего шара радиусом R (Рис. 3.16). Объемная плотность заряда шара , где

DV – малый объем, Dq – заряд, распределенный по этому объему. Поскольку заряд распределен внутри шара равномерно, электрическое поле также должно быть симметричным. Напряженность поля Е зависит только от r и направлена вдоль радиуса наружу (или внутрь, если заряд шара отрицателен).

Рис. 3.16 Сплошной шар с однородной объемной плотностью заряда

Выберем в качестве поверхности интегрирования сферу радиусом r (r < R) (А₂ на Рис. 3.16). Внутри этой сферы находится заряд . Теорема Остроградского-Гаусса для этой поверхности запишется следующим образом:

 Мы учли, что на одинаковом расстоянии от центра шара напряженность поля по модулю одинакова и по направлению совпадает с нормалью к сфере в каждой ее поверхности. Из последнего выражения, заменив r через его значение, получаем, что внутри шара напряженность поля зависит от расстояния до центра сферы следующим образом:  

,(r < R)

3.21

Внутри шара напряженность поля с увеличением расстояния от центра растет линейно (Рис. 3.17). Это объясняется тем, что при возрастании радиуса сферы, сквозь которую вычисляется поток, увеличивается и заряд, находящийся внутри сферы. Если же сфера интегрирования имеет радиус больше, чем радиус шара (А₁ на Рис. 3.16), то заряд внутри ее будет постоянным, равным Q. Применение теоремы Остроградского-Гаусса дает следующее выражение:

,

откуда получим зависимость для напряженности поля такую же, как для точечного заряда:

,

3.22

Таким образом, с увеличением расстояния r от центра шара поле вначале линейно растет (до r = R), а затем при r>R убывает как 1/r² (Рис. 3.17).

Разность потенциалов между двумя точками внутри шара равна

,

3.23

В левой части последнего выражения изменен знак разности потенциалов, поэтому перед интегралом нет знака (-).

Разность потенциалов между двумя точками вне шара может быть найдена по формуле для потенциала точечного заряда (3.16).

 

Рис. 3.17 Зависимость напряженности электрического поля от расстояния r до центра однородно заряженного сплошного шара

 

Сферическая поверхность. Электрический заряд Q равномерно распределен по тонкой сферической поверхности радиу­сом R. Поскольку заряд распре­делен симметрично, электрическое поле также должно быть симметричным. Вне заряженной сферы применение теоремы Остроградского-Гаусса дает такой же результат, как в предыдущем случае. Напряженность поля вне сферы определяется по формуле (3.21), где r – расстояние до центра сферы.

Внутри сферы поле также долж­но быть симметричным, поэтому напря­женность поля Е должна иметь одно и то же значение во всех точках сферической поверхности радиуса меньшего, чем R. Следовательно, Е мож­но вынести из-под знака интеграла, и мы получим , поскольку заряд внутри сферы равен нулю. Итак, внутри равномерно заряженной сферы

 

Е = 0          (r < R).

Рис. 3.18 Зависимость напряженности электрического поля от расстояния r до центра однородно заряженной сферы

 

График зависимости напряженности поля от рас­стояния до центра сферы приведен на Рис. 3.18. Разность потенциалов вне сферы определяется, как и в предыдущем случае, по формуле для потенциала точечного заряда (3.13):

,

3.24

Положив r₁=R, r₂=∞, найдем потенциал поверхности сферы: 

,

3.25

Разность потенциалов точек внутри сферы равна нулю (поле отсутствует, значит, нет градиента потенциала), что означает постоянство потенциала внутри сферы. Потенциал точек внутри сферы равен потенциалу поверхности (3.25).

 Бесконечный равномерно заряженный цилиндр с линейной плотностью заряда . В силу симметрии задачи электрическое поле должно быть направлено вдоль радиуса наружу (если заряд положителен) и зависеть только от расстояния до оси цилиндра в перпендикулярном к ней направлении. Выберем замкнутую поверхность в виде прямого кругового цилиндра радиуса r (Рис. 3.19).

Рис. 3.19 К расчету напряженности электрического поля, создаваемого длинным заряженным цилиндром

 

Благодаря цилиндрической симметрии напряженность электрического поля должна быть постоянна по поверхности цилиндра. Поток вектора напряженности через основания цилиндра равен нулю, поскольку вектор  параллелен этим поверхностям. Следовательно, полный поток по теореме Остроградского-Гаусса равен , где l - высота цилиндра, по поверхности которого проводится интегрирование, ll- суммарный заряд внутри замкнутой цилиндрической поверхности. Отсюда

,

3.26

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁ и r₂ от оси заряженного цилиндра равна:

,

3.27

 

3.1.8 Проводники в электрическом поле

Как уже отмечалось в разделе 3.1.2, металлы содержат большое число электронов, способных практически свободно перемещаться по его внутреннему объему. При внесении такого проводника в электростатическое поле наблюдается явление электростатической индукции - под действием поля часть электронов концентрируется в тонком слое вблизи одной из поверхностей (левой на Рис. 3.20). На противоположной поверхности в тонком слое располагается нескомпенсированный положительный заряд. Поле системы этих зарядов направлено против внешнего и полностью его уничтожает. Поскольку электроны в металле могут перемещаться под действием как угодно малой силы, даже весьма слабое поле приводит к перемещению зарядов до тех пор, пока суммарное поле не станет равным нулю. Поле внутри не изменится, если внутреннюю часть проводника удалить, оставив лишь тонкую оболочку. Этим пользуются для устройства электростатической защиты от внешних полей.

Рис. 3.20 Разделение зарядов в проводнике под действием внешнего поля

 

Отсутствие поля внутри проводника означает, что его потенциал одинаков во всех точках проводника, следовательно, поверхность проводника является эквипотенциальной, и вектор напряженности поля вблизи поверхности направлен перпендикулярно к ней (Рис. 3.21). Если проводник, вносимый во внешнее поле, имел заряд, то последний также перераспределяется, пока не выровняются потенциалы во всех точках проводника.

Рис. 3.21 Электрическое поле у поверхности проводника

 

Для определения напряженности поля вблизи поверхности воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса. В качестве замкнутой поверхности интегрирования выберем поверхность цилиндра малой высоты (на Рис. 3.21 изображен штриховыми линиями). Одно основание цилиндра едва возвышается над поверхностью проводника, другое находится под поверхностью, а боковая поверхность перпендикулярна проводнику. Поскольку электрическое поле внутри проводника отсутствует, поток напряженности проходит только через наружное основание цилиндра. Площадь S основания выберем достаточно малой, чтобы напряженность поля Е можно было считать в его пределах постоянной. Тогда по теореме Гаусса , откуда                                                   

                                             

,

3.28

где s - поверхностная плотность заряда.

Этот результат справедлив для проводников любой формы. Может возникнуть вопрос, почему поле у поверхности заряженной плоскости (формула (3.19)) имеет напряженность Е = s/2e₀, а у поверхности проводника Е = s/e₀. Различие обусловлено тем, что мы по-разному определяем поверхностную плотность заряда в этих случаях. В случае проводника мы учитываем заряд, сосредоточенный только на одной поверхности. Этот заряд составляет только половину полного заряда. На плоском тонком проводнике (заряженной плоскости) заряд располагается по обе стороны, поэтому поверхностная плотность заряда, учитываемая формулой (3.19), в два раза выше, чем поверхностная плотность в формуле (3.28). Таким образом, формулы (3.19) и (3.28) различаются только тем, что в них s определяется по-разному.

Поле внутри проводника равно нулю и потенциал всех точек одинаков в случаях, когда проводник имеет собственный заряд и когда он находится во внешнем электростатическом поле. Однако заряд на поверхности проводника может распределяться неравномерно. Рассмотрим заряженный проводник, образованный двумя шарами, соединенными проводником (Рис. 3.22). Учтем, что потенциалы шаров одинаковы, и применим формулу (3.25):

.

Рис. 3.22 Заряженный проводник, образованный двумя шарами

 

Здесь s = Q/(4pR²) – поверхностная плотность заряда. Из полученного выражения следует, что заряд каждого шара пропорционален его радиусу, а поверхностные плотности зарядов на шарах обратно пропорциональны радиусам: s₁/s₂=R₂/R₁, поэтому, как следует из формулы (3.28), напряженность поля вблизи поверхности с малым радиусом кривизны выше. Весьма малыми радиусами кривизны обладают острия. Вблизи острия наблюдается «стекание» зарядов из-за того, что в воздухе под действием сильного поля наблюдается ионизация. Обычно такая утечка нежелательна, поэтому в электроустановках избегают заостренных проводников. Заостренные проводники, соединенные с землей и возвышающиеся над защищаемым объектом, применяются в качестве молниеотводов. Они способствуют утечке зарядов с объекта и предотвращают удар молнии. Если же наведенный грозовой тучей заряд не успевает покинуть проводник, разряд молнии, как правило, происходит через молниеотвод, в области которого наиболее высока напряженность электрического поля.

 

3.1.9 Электроемкость.

С увеличением заряда уединенного проводника увеличивается и его потенциал (см., например, формулу (3.25)). Электроемкость проводника - величина, численно равная величине заряда q, вызвавшей повышение его потенциала j на единицу: . Отсюда . Чем больше электроемкость проводника, тем больший заряд ему можно передать при заданном увеличении потенциала. В СИ электроемкость измеряется в фарадах. 1Ф=1Кл/В. Один фарад – очень большая величина. На практике используют доли этой величины: 1мкФ = 10­^-6Ф, 1пФ = 10­^-12Ф.

Рис. 3.23 Плоский конденсатор

Конденсатор - система, состоящая из двух разделенных диэлектриком проводников (об­кла­док), на которых могут накапливаться заряды противоположных знаков (Рис. 3.23). Электроемкость конденсатора определяется по формуле

,

3.29

где Dj – разность потенциалов между обкладками.

Электроемкость зависит от его формы, размеров и от свойств среды, находящейся между обкладками. Пусть емкость конденсатора, между обкладками которого вакуум (или, что почти то же самое, воздух), равна С₀. Пусть С – емкость того же конденсатора, если пространство между обкладками заполнено однородным изолятором. Отношение

С/С0 = e

3.30

называют относительной диэлектрической проницаемостью изолятора (диэлектрика). Диэлектрическая проницаемость зависит от рода вещества и его состояния (температуры, давления и т.п.).

Конденсаторы могут накапливать значительный заряд и сохранять его достаточно длительное время. Новейшие, специально разработанные конденсаторы обладают энергией, достаточной для запуска двигателя автомобиля. Конденсаторы малой емкости широко применяются в электронике.

Электроемкостьплоского конденсатора может быть найдена с помощью выражений (3.20) и (3.29), если учесть, что напряженность поля внутри конденсатора создается двумя разноименно заряженными пластинами с одинаковой поверхностной плотностью заряда и поэтому равна: . Тогда разность потенциалов: , где d - расстояние между пластинами. Заряд на пластинах: , где S - площадь пластин. Подставив заряд и разность потенциалов в (3.29), получим: . Если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, формула для емкости плоского конденсатора будет иметь вид: 

                                 

,

3.31

Электроемкостьсферического конденсатора, обкладки которого образованы вставленными одна в другую проводящими сферами разного радиуса, может быть найдена с помощью выражений (3.24), (3.29) и (3.30):

,

3.32

Если радиус внешней сферы гораздо больше, чем внутренней, формула (3.32) упрощается: . Этот результат справедлив и в том случае, если внешняя обкладка имеет не сферическую, а какую угодно форму, при условии, что ее размеры много больше радиуса внутренней сферы. В этом случае можно говорить о емкости уединенного шара, имеющего радиус r₁. Расчет по этой формуле дает величину электроемкости земного шара, равную 7×10^-4Ф.

Если, наоборот, величина зазора между обкладками r₂ - r₁ = d много меньше радиусов сфер, то (1.30) можно представить в виде:

, где  - площадь поверхности обкладок. Мы видим, что при малой величине зазора емкости сферического и плоского конденсаторов совпадают.

Аналогичным образом можно найти и электроемкостьцилиндрического конденсатора:

,

3.33

где l – длина цилиндрических обкладок. Если разность радиусов обкладок r₂ - r₁ = d мала, то формула (3.33) переходит в формулу (3.31).

Соединение конденсаторов. Параллельное соединение конденсаторов показано на Рис. 3.24. (На принципиаль­ных схемах конденсатор обозначается символом —ê÷—).

     

 

Рис. 3.24 Параллельное и последовательное соединение конденсаторов

Общий заряд системы , а разность потенциалов на всех конденсаторах одинакова (все обкладки соединены между собой проводником), ее же можно считать разностью потенциалов общей емкости: . Применяя формулу (3.29), получаем:

,

3.34

При последовательном соединении (Рис. 3.24) подача зарядов на крайние обкладки приводит к тому, что в результате электростатической индукции происходит разделение зарядов на внутренних проводниках системы, и все обкладки приобретают одинаковый по модулю заряд, то есть . Разность же потенциалов между крайними обкладками равна сумме разностей потенциалов на обкладках каждого конденсатора: . Это нетрудно понять, если вспомнить, что разность потенциалов измеряется работой по переносу единичного положительного заряда из одной точки в другую.

Применяя формулу (3.29), получаем:

                                    

,

3.35

3.1.10 Энергия электрического поля

Энергия взаимодействия системы зарядов. Уединенный заряд не обладает энергией. Для того чтобы система могла совершать работу, необходимо, чтобы она содержала, как минимум, два заряда. Из формул (3.10) и (3.13) следует, что энергия одного точечного заряда (q₂) в поле другого точечного заряда (q₁) может быть найдена из выражения . Фактически это взаимная энергия, то есть энергия системы двух зарядов, поэтому формулу, определяющую эту энергию, логично переписать в следующем виде: . Здесь j₁ – потенциал в той точке поле, где находится заряд q₂ и наоборот. Для большего удобства в последней формуле изменим индексацию. Обозначим через j₂ потенциал поля, созданного зарядом q₁, в той точке поля, где находится заряд q₂, и наоборот, через j₁ – потенциал поля, созданного зарядом q₂ в той точке поля, где находится заряд q₁. Тогда формула для взаимной энергии двух зарядов примет вид: . Можно показать, что аналогичная формула имеет место для энергии любого числа N взаимодействующих зарядов:                

   

,

3.36

Здесь j_i – потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме q_i, в той точке, где находится заряд q_i.

Энергия заряженного проводника. Заряд q, находящийся на проводнике, можно рассматривать как совокупность точечных зарядов q_i. Применим формулу (3.36) к данной системе, учитывая, что поверхность проводника является эквипотенциальной и потенциалы тех точек, где находятся заряды q_i, одинаковы и равны потенциалу проводника j. Получим: . Учитывая, что электроемкость проводника C=q/j, можем записать:

,

3.37

Энергия заряженного конденсатора. В заряженном конденсаторе накопле­на электрическая энергия, которую можно определить как работу, совершаемую при зарядке конденсатора. Процесс зарядки конденсатора состоит, по сути, в том, что заряд с одной пластины переносится на другую. Сначала, когда конденсатор не заряжен, для переноса первой порции заряда не требуется работы. Но, когда на каждой из пластин уже имеется заряд, для пополнения его приходится совершать работу против сил электрического отталкивания. Чем больше накопленный пластинами заряд, тем большую работу необходимо совершить для его увеличения. Если на пластинах сущест­вует разность потенциалов, работа по переносу элемен­та заряда dq равна dА=Djdq. Поскольку Dj=q/C (см. (3.29)), энергия конденсатора определится как

,

3.38

С учетом  формулы (1.27) можно получить эквивалентные выражения для энергии:

,

3.39

Энергия и плотность энергии электрического поля. Энергию заряженного конденсатора можно выразить через напряженность электрического поля. Сделаем это для плоского конденсатора. Ранее мы показали, что в таком конденсаторе напряженность элек­трического поля Е связана с раз­ностью потенциалов соотношением , где d - рас­стояние между пластинами. Кроме того, согласно (3.21), емкость плоского конденсатора равна С = ee₀S/d. 

Тогда        

,

3.40

где V= Sd  – объем, занимаемый элек­трическим полем Е.

Полученная формула связывает энергию конденсатора с напряженностью поля, а формула (3.40) – с зарядом на его обкладках. Что же является носителем энергии – заряды или поле? В рамках электростатики ответить на этот вопрос невозможно, поскольку электростатическое поле неразрывно связано с зарядом. Как мы увидим позже, переменные поля могут существовать независимо от породивших их зарядов. Логично поэтому связывать энергию с полем.

Разделив обе части формулы (3.40) на объем, получим выражение для энергии, запасенной в единице объема, или плотности энергии:

,

3.41

Плотность энергии электрического поля, запасенной в лю­бой части пространства, пропорциональна квадрату напря­женности электрического поля в этой области. Выраже­ние (3.41) получено для частного случая плоского конден­сатора. Можно показать, однако, что оно справедливо для любой области пространства, в которой существует электрическое поле.

Вопросы

1. Перечислите свойства электрического заряда.

2. Можно ли каким-либо образом произвести заряды одного знака?

3. Заряд какого знака появляется на эбонитовой палочке, потертой о шерсть? На стеклянной палочке, потертой о бумагу?

4. Как взаимодействуют положительные заряды? отрицательные? разноименные?

5. Какая система называется электрически изолированной?

6. Назовите способы электризации тел и объясните механизмы электризации.

7. Откуда могут появиться дополнительные заряды при электризации через влияние?

8. Объясните, почему легкие незаряженные предметы притягиваются к заряженному телу.

9. Отрицательно заряженная палочка притя­гивает подвешенный на нитке предмет. Обязательно ли предмет имеет по­ложительный заряд? Если предмет отталкива­ется, то значит ли это, что он заряжен отрица­тельно?

10. Чем проводники отличаются от изоляторов?

11. Может ли индуцироваться заряд на изоля­торе так же, как и на проводнике (Рис. 3.3 и Рис. 3.4)?

12. Почему во влажную погоду заряды на телах долго не сохраняются?

13. Для чего к автомоби­лям, перевозящим огнеопасные жидкости, при­крепляют цепь, которая волочится по земле?

14. Каким образом Кулону в своих опытах удалось оценивать величину взаимодействующих зарядов?

15.  С помощью какого устройства Кулон измерял силу взаимодействия зарядов? Опишите принцип действия этого устройства.

16. Математическая запись закона Кулона очень напоминает закон всемирного тяготения Ньютона. В чем различие этих законов? Срав­ните гравитационную массу и электрический заряд.

17.  С какой целью коэффициент в формуле (3.1) записывают в более сложном виде?

18. Обычно мы не замечаем электрического или гравитационного взаимодействия между телами. Приведите примеры, когда такие взаимодействия наблюдаются. Объясните, в чем причина в каждом из этих случаев.

19. Какое поле называется электростатическим?

20.  Почему при определении напряженности электрического поля используется малый проб­ный заряд?

21.  При определении напряженности электри­ческого поля обязательно ли пользоваться по­ложительным пробным зарядом или можно воспользоваться отрицательным зарядом? Объясните ответ.

22.  Объясните, почему для электрического по­ля справедлив принцип суперпозиции.

23.  Как определить напряженность поля, создаваемого многими точечными зарядами?

24.  Как поступают при определении напряженности поля заряженных тел, размеры которых не являются малыми?

25.  Каковы величина и направление поля в точке А, если по кольцу (Рис. 3.9) равномерно распределен отрицательный заряд Q?

26. Зависит ли работа по перемещению заряда в электростатическом поле от формы траектории? Чему равна работа перемещения заряда по замкнутому пути?

27.  Какими свойствами обладают потенциальные поля?

28.  Что такое потенциал и разность потенциалов? Как можно определить работу по перемещению заряда между точками, разность потенциалов между которыми известна?

29.  Как можно найти разность потенциалов двух точек через напряженность поля?

30.  Как найти напряженность поля, зная зависимость потенциала от координат?

31.  Две точки имеют одинаковый потенциал. Значит ли это, что при перемещении пробного заряда из одной точки в другую не совершается работа? Верно ли, что для перемещения заряда не надо прикладывать силу?

32.  Куда будет двигаться первоначально покоящийся отрицательный заряд: в направлении более высокого или более низ­кого потенциала? А положительный заряд? Как меняется потенциальная энергия заряда в каж­дом случае?

33.  Может ли частица перемещаться из области с более низким потенциалом в область с более высоким потенциалом так, чтобы при этом ее электростатическая потенциальная энергия уменьшалась? Объясните.

34.  Если в некоторой точке пространства потенциал j равен нулю, то обязательно ли в этой точке и напряженность поля Е =0? Если в некоторой точке Е=0, то всегда ли и j=0 в этой точке? Проиллюстрируйте ответ при­мерами.   

35. Что такое поток вектора напряженности электрического поля? Как определить его для бесконечно малой площадки, для площадки конечных размеров? Как зависит его величина от ориентации площадки относительно линий напряженности?

36. Как определить поток вектора напряженности графически?

37. Если поток напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен нулю, означает ли это, что напряженность электрического поля равна нулю во всех точках поверхности? Справедливо ли обратное, если  Е = 0 во всех точках поверхности, то поток через поверхность равен нулю?

38. Точечный заряд окружен сферической по­верхностью радиусом r. Изменится ли значение Ф_е, если сферу заменить кубом со стороной 2r ?

39. Что можно сказать о потоке напряжен­ности электрического поля через замкнутую поверхность, окружающую электрический ди­поль?

40. Напряженность электрического поля Е рав­на нулю во всех точках замкнутой поверхности. Значит ли это, что внутри нет зарядов?

41. Если суммарный заряд внутри замкнутой поверх­ности равен нулю, то обязательно ли равна нулю напряженность электрического поля во всех точках поверхности?

42. Из каких соображений выбирается форма замкнутой поверхности для вычисления напряженности поля заряженных тел с помощью теоремы Остроградского-Гаусса?

43.  Почему предполагается, что вектор напряженности ориентирован перпендикулярно поверхности заряженных тел?

44.  Можно ли применить теорему Остроградского-Гаусса для определения напряженности поля электрического поля диполя?

45.  Почему для точек поля бесконечной заряженной поверхности нельзя определить потенциал, а только разность потенциалов (см. формулу (3.20))?

46.  Как объяснить, что потенциал точек внутри заряженной сферы не равен нулю, хотя напряженность поля равна нулю?

47. Почему напряженность электростатического поля внутри проводника равна нулю? От чего зависит его потенциал? Может ли он быть равным нулю?

48.  Можно ли, считая Землю проводником, принимать ее потенциал равным нулю?

49.  Как ориентированы линии напряженности поля вблизи поверхности проводника?

50.  У какой части заряженного проводника конической формы напряженность поля будет выше?

51.  Предположим, что поле внешних зарядов изображалось параллельными линиями. Как изменится форма силовых линий после внесения в это поле незаряженного проводника?

52. Дайте определение электроемкости. Поясните это понятие по аналогии с емкостью сосуда для хранения жидкости.

53. В каком случае получается большая электроемкость – у одного проводника или у системы из двух проводников? Поясните на примере сферического конденсатора.

54. Предложите простой способ измерения относительной диэлектрической проницаемости с помощью конденсатора.

55.  Какими способами можно увеличивать электроемкость конденсаторов, не увеличивая их размеров?

56.  Объясните, почему при параллельном соединении разность потенциалов между обкладками у всех конденсаторов одна и та же.

57.  Объясните, почему при последовательном соединении обкладки внутренних конденсаторов приобретают такой же заряд, как и обкладки внешних.

58.  Имеется набор конденсаторов различной емкости. Как соотносится емкость, получаемая при их параллельном соединении, с наибольшей (наименьшей) емкостью из набора?

59. Как соотносится емкость, получаемая при последовательном соединении нескольких конденсаторов, с наибольшей (наименьшей) емкостью из набора?

60. Энергию системы двух зарядов можно определить, считая, что один заряд создает поле, в котором находится второй заряд. Есть ли разница, какой из зарядов считать создающим поле и как определить общую энергию взаимодействующих зарядов?

61. Из трех одинаковых конденсаторов собирают батарею. При каком соединении конденсаторов: параллельном или последовательном - батарея будет аккумулировать больше энергии, если она заряжается до одинаковой разности потенциалов?

62. Если у заряженного плоского конденсатора раздвинуть пластины, то как при этом изменится энергия конденсатора и почему? Считать, что заряд пластин остается неизменным.

63. Если к заряженному конденсатору параллельно присоединить такой же незаряженный, то как изменится общая энергия системы двух конденсаторов? 

64. Почему энергию заряженных проводников лучше связывать с полем?

65. Что такое плотность энергии электрического поля и от чего она зависит?

 

Лекция 3.2 Постоянный ток (2часа)

До 1800 г. разделение электрических зарядов производилось с помощью трения. Были построены ма­шины, позволяющие достигать таким способом довольно высоких потенциалов. Спомощью этих машин удавалось получать силь­ные разряды, но практического значения они не имели. Только в XVIII в. стала ясной электрическая природа таких природных явлений, как молнии или огни св. Эльма. Наконец, в 1800 г. произошло событие огромного прак­тического значения. Алессандро Вольта (1745-1827) изо­брел электрическую батарею и впервые получил с ее помощью постоянный электрический ток. Это открытие знаменовало начало новой эпохи, полностью преобразившей нашу цивилизацию: вся современная электротехника основана на использовании электрического тока.

 

3.2.1 Электрический ток. Сила тока. Электродвижущая сила.

Электрический ток - это упорядоченное движение электрических зарядов. Для существования тока необходимо наличие в данной среде (теле) носителей тока – заряженных частиц, способных перемещаться в пределах всего тела. В металлах носителями тока являются электроны, в электролитах - ионы, в газах - ионы и электроны. Ток возникает при условии, что внутри тела существует электрическое поле.

Силой токаназывается физическая величина, равная отношению заряда, переносимому через поперечное сечение проводника за некоторый промежуток времени к длительности этого промежутка:  

,

3.42

Если ток не является постоянным, силу тока определяют следующим образом:     

,

3.43

За положительное направление тока принимают направление движения положительных зарядов. Силу тока в СИ измеряют в амперах. Один ампер - это основная единица в СИ, она определяется по силе магнитного взаимодействия токов. За единицу принимают силу такого неизменного тока, который, протекая по двум параллельным проводникам ничтожно малого кругового сечения, находящимся на расстоянии 1 м друг относительно друга в вакууме, вызывает взаимодействие между ними с силой 2×10^-7 Н на каждый метр длины. Через единицу силы тока определяются другие электрические единицы, например 1 Кл = 1А×с.

Электрический ток может быть распределен по сечению проводника неравномерно. Плотность тока в любой точке сечения проводника определяется как отношение силы тока dI через расположенную в окрестности этой точки перпендикулярно направлению тока площадку к величине этой площадки:

 

,

3.44

Вектор плотности тока совпадает с направлением движения положительных носителей.

Для поддержания тока в замкнутой цепи необходимо наличие сил неэлектростатической природы (сторонних сил), способных совершать работу по переносу заряда в замкнутой цепи. Известно, что электрическое поле неподвижных зарядов не может заставить заряд перемещаться по замкнутому пути (см. раздел 3.1.5). Сторонние силы действуют обычно лишь на части замкнутой цепи - в источнике тока. Происхождение этих сил в разных источниках различно. В гальванических элементах и аккумуляторах эти силы имеют химическую природу, в фотоэлементах разделение зарядов происходит в результате действия света на полупроводник, в генераторах - за счет движения проводников в магнитном поле. Чем больший заряд перемещается по проводнику, тем большая работа совершается.  

Электродвижущая сила (ЭДС) источника - физическая величина, численно равная работе, которую совершают сторонние силы при перемещении единого положительного заряда по замкнутому контуру:

.

3.45

Стороннюю силу F*, действующую на заряд q, можно представить в виде . Векторную величину  называют напряженностью поля сторонних сил. Работа сторонних сил по перемещению заряда q на участке цепи 1-2 равна . Разделив эту работу на заряд, получим выражение для ЭДС, действующей на участке 1-2: 

,

3.46

Аналогичный интеграл, вычисленный по замкнутому контуру, даст ЭДС, действующую в этой замкнутой цепи:      

,

3.47

Таким образом, ЭДС, действующая в замкнутой цепи, может быть определена как циркуляция вектора напряженности поля сторонних сил.

При движении заряда по проводнику на него могут действовать как силы электростатического происхождения F_E, так и сторонние силы. Результирующая сила, действующая на заряд, равна  Полная работа по перемещению единичного положительного заряда на участке 1-2 под действием этой силы:               

Величина, численно равная работе, совершаемой электростатическими и сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется напряжением U на данном участке цепи:

,

3.48

Напряжение, как и ЭДС и разность потенциалов, измеряется в вольтах.

Рассмотрим частные случаи, вытекающие из (3.48). Если на участке цепи отсутствуют источники ЭДС: , то напряжение равно разности потенциалов на концах участка цепи. Если ток равен нулю (цепь разомкнута), то разность потенциалов на концах участка цепи равна ЭДС с обратным знаком.

 

3.2.2 Закон Ома. Сопротивление. Последовательное и параллельное соединение проводников

Немецкий физик Георг Симон Ом (1787-1854) экспериментально доказал, что сила электри­ческого тока в металлическом проводнике прямо пропорциональна напряжению на участке цепи 1-2 и обратно пропорциональна сопротивлению этого участка:   

                                            

,

3.49

где U_1,2 определяется из формулы (3.48).

Это утверждение называют законом Ома. Обнаруженная Омом зако­но­мер­ность, строго говоря, состоит в утверждении, что сила тока в металли­ческом проводнике пропорциональна на­пряжению. Это утверждение в об­щем случае несправедливо применительно к таким вещест­вам, как газы, электролиты, полупроводники и т. п. Закон Ома поэтому не относится к таким фундаментальным законам природы, как законы Ньюто­на, начала термодинамики или закон Кулона. Он лишь характеризует определенные материалы - металлические и подобные им проводники.

Закон Ома для однородного участка цепи. Если участок цепи не содержит ЭДС, выражение для закона Ома упрощается:

,

3.50

Сопротивление проводника - физическая величина, характеризующая электрические свойства проводника. Сопротивление проводника может быть определено экспериментально с помощью закона Ома через значения тока и напряжения: . Сопротивление измеряют в омах. 1Ом =1В/А. Сопротивление однородного проводника цилиндрической формы:

,

3.51

где l - длина, S - площадь поперечного сечения проводника,      

r -удельное сопротивление проводника  (сопротивление однородного цилиндрического проводника, изготовленного из данного материала, имеющего единичную длину и единичную площадь поперечного сечения).

Удельное сопротивление зависит от рода вещества, а также от внешних условий, например, температуры.

Закон Ома в дифференциальной форме. Найдем связь между векторами плотности тока  и напряженности поля в среде . В изотропной среде упорядоченное движение носителей происходит в направлении вектора , поэтому направления векторов и  совпадают. Мысленно выделим в окрестности некоторой точки элементарный цилиндрический объем с образующими, параллельными вектору (Рис. 3.25).

Рис. 3.25 К выводу связи между и

Через поперечное сечение цилиндра течет ток jdS, напряжение на концах цилиндра EdL, сопротивление цилиндра rdL/S. Подставив эти значения в формулу (3.49), получим:  или . Здесь s =1/r - электропроводность среды. Учитывая направления векторов, можно записать                          

                                             

,

3.52

Последовательное соединение проводников (Рис. 3.26). При таком соединении сила тока в каждом из проводников одна и та же  разность потенциалов на концах цепи равна сумме разностей потенциалов на каждом из проводников: . Применяя закон Ома (3.50), получаем: ,

откуда следует, что      

,

3.53

Рис. 3.26 Последовательное соединение проводников

 

При параллельном соединении проводников (Рис. 3.27) ток через эту цепь равен сумме токов, протекающих по каждому проводнику в отдельности: , а разность потенциалов на каждом проводнике одна и та же: . Выражая общий ток и токи в проводниках из закона Ома, получаем: . Учитывая равенство разностей потенциалов, имеем:

,

3.54

Рис. 3.27 Параллельное соединение проводников

Закон Ома для неоднородного участка цепи (участка, содержащего ЭДС) получим, если в формулу (3.49) подставим выражение для напряжения (3.48)

,

3.55

Знаки входящих в это выражение величин определяются следующим правилом. Ток считается положительным, если протекает от точки с потенциалом j₁ к точке с потенциалом j₂. ЭДС принимается положительной, если поддерживает ток в том же направлении. На Рис. 3.28, где показана часть цепи, по которой протекает ток, источник ЭДС изображается символом -êl-, причем вывод, имеющий положительный потенциал, изображается более тонкой линией. Источник E₁ поддерживает ток в направлении от точки с потенциалом j₁ к точке с потенциалом j₂, поэтому ЭДС E₁ берется со знаком (+). Источник E₂ включен в обратном направлении, поэтому ЭДС E₂ берется со знаком (-).

Рис. 3.28 Применение закона Ома для неоднородного участка цепи

Проиллюстрируем применение закона Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, на примере схемы Рис. 3.28.

Дано: R=3 Ом, r₁=1 Ом, r₂=2 Ом , E₁=1,5 В, E₁=4,5 В, j₁ - j₂ = -3В. Необходимо определить ток I.

Произвольно выбираем направление тока от точки с потенциалом j₁ к точке с потенциалом j₂. Подставляем данные нам значения в формулу (3.55), учитывая, что полное сопротивление участка равно сумме последовательно соединенных сопротивлений:

                     .

Из этого уравнения находим величину тока: I = -1 A. Полученный нами знак минус, означает, что на самом деле ток направлен противоположно выбранному нами направлению.

Закон Ома для замкнутой цепи. На Рис. 3.29 приведена схема простой замкнутой цепи, содержащей источник тока с ЭДС E с внутренним сопротивлением r (на схеме источник изображен участком цепи между двумя зажимами), нагруженный на внешнее сопротивление R. Данную цепь можно рассматривать как некий вариант цепи, изображенной на Рис. 3.28, у которой концы соединены в одной точке. Разность потенциалов, соединенных в одной точке проводников будет равна нулю, и из формулы (3.55) следует:                                 

,

3.56

Рис. 3.29 Простая замкнутая цепь

Поскольку в левой части выражения (3.56) стоит напряжение, полученный результат можно сформулировать следующим образом: ЭДС, действующая в замкнутой проводящей цепи, равна сумме напряжений во внешней части цепи и внутри источника тока.

 

3.2.3 Работа и мощность тока. КПД источника

Перенос заряда сопровождается совершением работы электростатическими и сторонними силами. Из определения напряжения (2.6) следует, что эта работа, которую называют работой тока, равна:    

                                                

,

3.57

Мощность постоянного тока численно равна работе, совершаемой в единицу времени. Мощность, развиваемая током на некотором участке 1-2, равна:

,

3.58

Эта мощность может расходоваться на совершение работы над внешними телами (при механическом перемещении проводника), на протекание химических реакций, на нагревание данного участка цепи. Формула (3.58) так же, как и закон Ома (3.47), может применяться и к однородному участку цепи и к замкнутой цепи. В частности, мощность, выделяемая на участке цепи, не содержащей ЭДС, определится как

,

3.59

В случае, когда проводник неподвижен и в нем не совершается химических реакций, работа тока (3.57) затрачивается на увеличение внутренней энергии проводника, то есть на его нагрев. Количество теплоты, выделяемое током в проводнике, определяется законом Джоуля-Ленца:

,

3.60

Если сила тока изменяется со временем, то выделяющееся за время t количество теплоты определяется по формуле: 

,

3.61

С точки зрения практики важен вопрос об использовании энергии источника тока. Рассмотрим замкнутую цепь (Рис. 3.29). Используя формулы (3.59) и (3.56), найдем мощность, выделяемую во внешней цепи (на сопротивлении R): . Для того чтобы найти сопротивление R, при котором во внешней цепи выделяется максимальная мощность, найдем производную dP₁₂/dR и приравняем ее нулю: . При положительных R и r это возможно при               

R = r.

3.62

Мощность, выделяемая во внешней цепи, достигает наибольшего значения, если сопротивление внешней цепи равно внутреннему сопротивлению источника. При этом ток в цепи I_m= E /2r, а максимальное значение мощности равно

.

Важно знать также коэффициент полезного действия источника. Ток, протекающий внутри источника, приводит к бесполезному нагреву источника. Внутри источника выделяется мощность P_i=I²r. Коэффициент полезного действия (КПД) определится как отношение мощности, выделяемой во внешней цепи, к полной мощности:          .

Высокий КПД возможен только при больших R (R>>r). В режиме максимальной мощности, выделяемой во внешней цепи, (R=r)КПД равен ½.

Можно найти выражение, характеризующее выделение тепла в различных местах проводника. Мысленно выделим в окрестности некоторой точки проводника элементарный цилиндрический объем (Рис. 3.25). Согласно закону Джоуля-Ленца за время dt в этом объеме выделится количество теплоты:

, где dV=dSdl – объем выделенного цилиндра. Отсюда найдем количество теплоты, выделяющееся в единице объема в единицу времени: 

,

3.63

Эта величина называется удельной тепловой мощностью тока.

 

3.2.4 Правила Кирхгофа

Применяя закон Ома, можно рассчи­тать силу тока в относительно простых цепях. Для анализа сложных цепей пользуются правилами Кирхгофа. Немецкий физик Густав Кирхгоф (1824-1887) сформулировал их в середине позапрошлого века. В сложных разветвленных цепях выделяют узлы - точки, в которых сходится не менее трех проводников (точки А, B на схеме Рис. 3.30) и ветви - участки цепи между двумя соседними узлами. Во всей ветви ток один и тот же.

Рис. 3.30 Применение правил Кирхгофа

 

На Рис. 3.30 ветвь ACB содержит источник тока с ЭДС E₁ и резистор R₁. Ток, протекающий по этой ветви, I₁. Если направления токов в ветвях неизвестны, их выбирают произвольно.

Первое правило (правило узлов)отражает сохранение заряда. Весь входящий в узел заряд должен выходить из него. Заряды не должны накапливаться в узловой точке, поскольку потенциал ее со временем не меняется. Правило утверждает, что для любого узла цепи сумма токов, втекающих в узел, должна быть равна сумме токов, вытекающих из узла,или: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

.

Считая токи, входящие в узел, положительными, а выходящие отрицательными, получаем для узла А следующее уравнение:

.

Уравнения, составляемые для каждого следующего узла, будут независимыми, если в узел входит хотя бы один новый ток. В узел В на Рис. 3.30 входят те же токи, что и в узел А, поэтому для этой цепи на основании первого правила Кирхгофа можно составить только одно независимое уравнение.

Второе правило (правило контуров): в любом выделенном в разветвленной цепи замкнутом контуре алгебраическая сумма произведений токов на сопротивление равна алгебраической сумме ЭДС:

.

Для составления уравнений по второму правилу Кирхгофа в разветвленной цепи необходимо выбрать замкнутый контур, например, контур ACBD на Рис. 3.30, и произвольно направление его обхода, например, против часовой стрелки. Если направление обхода контура совпадает с направлением тока в ветви, то соответствующее произведение  включаем со знаком плюс, в противном случае - со знаком минус. Если направление обхода контура совпадает с направлением ЭДС (направление ЭДС совпадает с направлением тока, который этот источник поддерживает во внешней цепи, на Рис. 3.30 оказано стрелкой у E₁ ), эта ЭДС считается положительной и наоборот.

 Для выбранного направления обхода контура ADBC получаем следующее уравнение: 

.

Каждый следующий контур выбираем так, чтобы в него входила хотя бы одна новая ветвь. Для цепи (Рис. 3.30) можно выбрать еще только один контур, включающий нижнюю ветвь.

Задача может быть решена, если число составленных на основании правил Кирхгофа уравнений не меньше, чем число неизвестных. Если в результате решения будет получено отрицательное значение для какого-либо тока, это означает, что в действительности ток имеет направление, противоположное выбранному.

 

Вопросы

1. В каких единицах в СИ измеряются сила тока, ЭДС, напряжение?

2.  Почему электрическое поле неподвижных зарядов не может создать тока в замкнутой цепи?

3.  Чем напряжение отличается от разности потенциалов? В каком случае эти величины одинаковы?

4.  Если для существования тока в проводнике необходимо наличие поля, то будут ли разные точки проводника иметь одинаковый потенциал?

5.  Во внешней цепи электроны движутся от отрицательного полюса к положительному. Внутри же гальванического элемента электроны движутся к отрицательному электроду. Как это объяснить?

6.  Электродвижущая сила – это силовая характеристика источника тока или энергетическая?

7.  Как можно просто измерить ЭДС элемента, имея прибор для измерения разности потенциалов (вольтметр)? Какие требования предъявляются в этом случае к вольтметру?

8. Что такое сопротивление проводника и в каких единицах оно измеряется?

9. Могут ли медный и алюминиевый провода одной длины иметь одинаковое сопротивле­ние? Объясните.

10. В чем особенности применения закона Ома для однородного и неоднородного участков цепи?

11. Как определяется общее сопротивление при последовательном и параллельном соединении нескольких проводников?

12. Имеется набор проводников различных сопротивлений. Как соотносится сопротивление, получаемое при их параллельном соединении, с наибольшим (наименьшим) сопротивлением из набора?

13. Замкнутая цепь содержит несколько источников тока. В чем особенность применения закона Ома для этого случая?

14. Пользуясь законом Ома, определите, как зависит разность потенциалов на внеш­нем участке цепи от величины его сопротивления R.

15. На что расходуется работа, совершаемая при перемещении зарядов в проводнике?

16. Используя выражение (3.58), найдите мощность, выделяемую в замкнутой цепи. В каких частях простой цепи выделяется эта мощность? Определите мощность во внешнем и внутреннем участках цепи и сопоставьте полученные выражения с выражением для мощности во всей замкнутой цепи.

17. Мощность можно выразить как I²R, так и U²/R. Так как же мощность зависит от R? Нет ли здесь противоречия?

18. В какой из двух ламп мощностью 100 Вт и 75 Вт протекает больший ток?

19. Если две лампы мощностью 100 Вт и 75 Вт соединить последовательно, то в какой будет выделяться большая мощность?

20. Дайте определения узла и ветви для разветвленной цепи.

21. Объясните, почему первое правило Кирхгофа (правило узлов) эквивалентно закону сохране­ния электрического заряда.

22. Объясните, почему второе правило Кирхго­фа (правило контуров) является следствием закона сохранения энергии. На что расходуется работа, совершаемая при перемещении зарядов в проводнике?

23. Как используется правило знаков при составлении уравнений по первому и второму правилам Кирхгофа? Зависит ли знак, с которым ЭДС источника войдет в уравнение при применении второго правила Кирхгофа, от направления тока через источник?

 

Лекция 3.3 Магнитное поле в вакууме (2 часа)

История магне­тизма уходит корнями в глубокую древность, к античным цивилизациям Малой Азии. Именно на территории Малой Азии, в Магнезии, находили горную породу, образцы которой притягивали друг друга. По названию местности такие образцы и стали называть «магнитами». До 1820г. учения об электричестве и магнетизме развивались раздельно. И если к этому моменту электричество действительно было наукой: изучено взаимодействие неподвижных зарядов, созданы конденсаторы – лейденские банки, определен электрический характер молнии, созданы источники тока и обнаружено его тепловое действие, то магнетизм фактически наукой не был. Природа магнетизма не была выяснена, и этим широко пользовались всякого рода шарлатаны.

Сегодня нам совершенно ясно, что между магнетизмом и электричеством существует тесная связь, впервые ее обнаружили в позапрошлом веке.

 

3.3.1 Опыт Эрстеда. Магнитное взаимодействие токов  

В 1820 г. Эрстед обнаружил действие проводника с током на магнитную стрелку, ориентирующее стрелку в определенном направлении. Магнитная стрелка, как известно, отклоняется магнитным полем. Таким образом, Эрстед обнаружил, что электрический ток создает магнитное поле, и установил существование связи между электричеством и магнетизмом.

Вблизи прямолинейного проводника с током магнитная стрелка устанавливается по касательной к окружности, мысленно очерченной вокруг проводника (Рис. 3.31). Иными словами, силовые линии магнитного поля проводника с током имеют вид окружностей, в центре которых находится проводник. Направление силовых линий указывается северным полюсом магнитной стрелки, как на Рис. 3.31.

Рис. 3.31 Отклонение магнитной стрелки вблизи проводника с током

В том же 1820 г. Ампер экспериментально обнаружил, что параллельные проводники с одинаковым направлением токов притягиваются, а с противоположными направлениями токов отталкиваются (Рис. 3.32).

Рис. 3.32  Два проводника с противоположно направленными токами отталкиваются

Сила взаимодействия, приходящаяся на единицу длины каждого из проводников, пропорциональна произведению силы тока в каждом проводнике и обратно пропорциональна расстоянию между проводниками:     

,

3.64

В этом выражении коэффициент k' зависит от выбора системы единиц. В СИ записывают коэффициент k' = m₀/4p. Здесь m₀ – магнитная постоянная, или абсолютная магнитная проницаемость. Из закона взаимодействия токов (3.64) определяют основную единицу силы тока – ампер. Если по двум параллельным проводникам, находящимся в вакууме на расстоянии 1 м друг от друга, протекают токи по 1 А, то сила взаимодействия, отнесенная к единице длины проводника (1 м), равна 2×10^-7 Н/м. Подставим эти значения в формулу (3.64), чтобы найти значение магнитной постоянной: . Отсюда . Обычно размерность магнитной постоянной записывают иначе. Единицу силы, используя определение механической работы, расписывают как 1Дж/м, а единицу работы, в свою очередь, записывают через единицы электрических величин: 1 Дж= 1 В×А×с. Получим таким образом, что , где  - генри (единица измерения индуктивности). Итак, магнитная постоянная измеряется в генри на метр:  

,

3.65

 

3.3.2 Индукция магнитного поля.   Действие магнитного поля на проводникс током и движущийся заряд  

Магнитное поле создается постоянным магнитом, током или движущимся зарядом и обнаруживается по действию на магнитную стрелку, другой ток или движущийся заряд. Магнитное поле изображают с помощью магнитных силовых линий, имеющих направление, совпадающее с направлением от южного полюса к северному полюсу магнитной стрелки, свободно устанавливающейся в магнитном поле.

Сложность введения силовой характеристики магнитного поля заключается в том, что направление силы, действующей на ток или движущийся заряд, не совпадает с направлением магнитной силовой линии. Кроме этого, величина силы зависит не только от длины проводника, помещенного в поле, и силы тока в нем, но и от ориентации проводника (или от направления скорости движущегося заряда) относительно линий магнитной индукции. 

Если же выбирать ориентацию прямолинейного отрезка проводника такой, чтобы при прочих равных условиях сила, действующая на проводник, была бы максимальной, отношение этой силы к произведению длины проводника на силу тока в нем будет зависеть только от поля и может служить его характеристикой.

Такой характеристикой магнитного поля является магнитная индукция. Модуль вектора магнитной индукции определяется как отношение максимальной силы1, действующей со стороны магнитного поля на проводник с током, к произведению силы тока I на длину этого проводника l:

3.66

Таким образом, произведение силы тока на длину проводника в (3.66) играет роль пробного заряда при определении напряженности электрического поля (см. (3.1.2)).

Направлениевектора магнитной индукции совпадает с направлением, указываемым северным концом магнитной стрелки, помещенной в данную точку поля. Таким образом, магнитные силовые линии – это линии магнитной индукции.Единицей измерения магнитной индукции в СИ является тесла.

1Т=1 Н/(А×м).

Сейчас можно более детально рассмотреть действие магнитного поля на проводник с током. В результате исследований, проведенных Ампером, установлено, что элементарная сила, с которой магнитное поле индукцией В действует на малый элемент проводника dl с током I, определяется выражением

,

3.67

Эта сила называется силой Ампера. Направление вектора определяется по правилу векторного произведения. Если прямолинейный проводник имеет длину l, а магнитное поле однородно, интегрирование предыдущего выражения по длине проводника дает:     

,

3.68

где a - угол между вектором  и направлением тока в проводнике.

Для определения направления силы используют правило левой руки: руку располагают так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, четыре пальца направлены по току или по направлению движения положительного заряда (для отри­цательного в противоположную сторону), тогда отставленный в сторону боль­шой палец покажет направление силы (Рис. 3.33 Определение направления силы Ампера с помощью правила левой руки).

Рис. 3.33 Определение направления силы Ампера с помощью правила левой руки

Так как электрический ток - поток упорядоченно движущихся заряженных частиц, то сила со стороны магнитного поля должна действовать на каждую такую частицу. Исходя из уже известных нам фактов, можно рассчитать силу, действующую на движущийся электрический заряд. Если через данную точку за время t проходит n частиц с зарядом q каждая, то они создают ток силой I = nq/t.

Пусть t – время, за которое заряд q проходит расстояние l в магнитном поле с индукцией В; тогда l = ut, где u - скорость частицы. Согласно (3.68), сила, действующая на эти частицы, равна , а сила, действующая на одну из этих n частиц, равна F_L=F_A/n, или . Эта сила называется силой Лоренца. В векторной форме выражение для силы Лоренца имеет вид:                                          

,

3.69

Сила максимальна, когда частица движется перпендикулярно направлению`В (a= 90°) и равна нулю, когда частица движется вдоль силовых линий (a= 0°). Направление силы можно найти, как по правилу векторного произведения двух векторов, так и по правилу левой руки. Эквивалентный ток, создаваемый движением отрицательно заряженных частиц, направлен противоположно их скорости, поэтому направление сила Лоренца зависит от знака движущегося заряда (Рис. 3.34). Поле в данном случае создано постоянными магнитами.

Рис. 3.34 Отклонение движущихся заряжен­ных частиц в магнитном поле

Так как силы Лоренца перпендикулярна скорости, она не совершает работы и может изменять только направление скорости движущегося заряда, сообщая центростремительное ускорение. Радиус окружности, по которой будет двигаться частица, зависит от его заряда, массы, скорости и индукции магнитного поля. Это обстоятельство позволяет экспериментально определять отношение заряда частицы к его массе при движении ее в магнитном поле. Действие силы Лоренца используют в круговых циклических ускорителях заряженных частиц. Под действием силы Лоренца заряженные частицы в магнитосфере Земли двигаются по винтовым линиям, образуя радиационные пояса.

3.3.3 Закон Био-Савара-Лапласа. Магнитное поле проводников с током  

Био и Савар в 1820 г. провели исследования магнитных полей, создаваемых проводниками разной формы. Они установили, что магнитная индукция во всех случаях пропорциональна величине тока и сложным образом зависит от расположения проводников. Лаплас, обработав их данные, получил формулу, называемую законом Био-Савара-Лапласа:               

,

3.70

Здесь  - элемент тока (произведение силы тока на элемент длины проводника), совпадающий по направлению с током; - радиус-вектор, проведенный в ту точку поля, где определяется магнитная индукция (Рис. 3.35); m₀ - магнитная постоянная (см. раздел 3.3.1). Направление элементарной магнитной индукции  совпадает с направлением вектора, равного векторному произведению . Модуль определим, используя выражение для модуля векторного произведения:

,

3.71

Рис. 3.35 Магнитное поле, создаваемое элементом тока

Применим Закон Био-Савара-Лапласа для определения магнитной индукции в центре кольцевого проводника (витка) с током, находящегося в вакууме (Рис. 3.36 К определению магнитной индукции в центре витка). Выделим произвольный бесконечно малый элемент проводника dl и проведем радиус-вектор  в центр витка. Создаваемое элементом тока магнитное поле в центре витка будет иметь магнитную индукцию , направленную, в соответствии с (3.70), перпендикулярно плоскости витка. Нетрудно понять, что и другие элементы проводника будут создавать в центре витка поле, направленное так же. Поэтому полное поле (на Рис. 3.36 К определению магнитной индукции в центре витка оно изображено кружком с крестиком - хвост улетающей стрелы) в центре витка определится как интеграл от скалярного выражения (3.71):

,

3.72

Рис. 3.36 К определению магнитной индукции в центре витка

Магнитная индукция в центре витка пропорциональна току и обратно пропорциональна радиусу витка.

Аналогичным образом можно найти выражение для магнитной индукции поля, создаваемого прямолинейным проводником бесконечной длины:

,

3.73

Здесь b - кратчайшее расстояние до проводника. На Рис. 3.37 изображены магнитные силовые линии прямого проводника с током, имеющие вид концентрических окружностей. Для точки, находящейся на расстоянии b от проводника, показано направление вектора .

Рис. 3.37 Магнитное поле прямолинейного проводника с током

Направление магнитного поля, созданного проводником с током, можно найти с помощью правила буравчика. Дляпрямолинейного проводника правило применяется следующим образом: если вращать ручку буравчика так, чтобы его поступательное движение совпадало по направлению с током (на Рис. 3.37 - вверх), то направление движения ручки буравчика будет совпадать с направлением силовых линий. Для кольцевого проводника: если вращать ручку буравчика по направлению тока (по часовой стрелке на Рис. 3.36), то поступательное движение будет совпадать по направлению с магнитной индукцией в центре витка (на Рис. 3.36 - от нас).

 

3.3.4 Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.  Поле тороида и бесконечно длинного соленоида  

 В электростатическом поле циркуляция вектора напряженности равна нулю, и это поле потенциально. Определим циркуляцию вектора магнитной индукции. Для этого вначале рассмотрим магнитное поле бесконечного прямолинейного проводника с током (Рис. 3.37). Магнитные силовые линии прямолинейного тока представляют собой окружности, плоскости которых перпендикулярны к проводнику, а центры лежат на оси проводника. Вычислим циркуляцию вектора магнитной индукции этого поля вдоль произвольной силовой линии L – окружности радиусом b: . Поскольку контур интегрирования L совпадает с линией индукции магнитного поля, во всех точках контура B - const и a = 0. Вынося постоянные величины за знак интеграла и, воспользовавшись формулой для магнитного поля прямого тока (3.74), получаем

.

           

                                   а)                                                      б)

Рис. 3.38 Вид (а) и сечение тороида (б)

Эта формула справедлива для контура любой формы, охватывающего проводник с током. Можно показать также, что если контуром охватывается несколько токов, то циркуляция равна: 

,

3.74

Здесь под знаком суммы стоит алгебраическая сумма токов. Со знаком (+) берутся токи, направление которых связано с направлением обхода контура L правилом буравчика. Выражение (3.74) называют теоремой о циркуляции магнитной индукции (в зарубежной литературе – законом Ампера). Из формулы (3.74) можно сделать вывод, что магнитное поле токов – непотенциальное поле, так как циркуляция вектора  не равна нулю; такие поля принято называть вихревыми полями.

С помощью теоремы о циркуляции вектора можно рассчитать магнитное поле токов в простых случаях. В качестве примера рассмотрим магнитное поле тороида. Тороидом называется кольцевая катушка, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора (Рис. 3.38). Справа показано сечение тороида плоскостью, проходящей через его осевую линию. Обозначим через R₁ и R₂ соответственно внешний и внутренний радиусы сечения тороида (размерами поперечного сечения провода, из которого сделана обмотка, пренебрегаем). Из условия симметрии следует, что силовые линии магнитного поля тороида должны иметь форму окружностей, центры которых лежат на прямой, проходящей через центр тороида и перпендикулярной к плоскости чертежа. Очевидно также, что во всех точках одной и той же силовой линии численные значения индукции должны быть одинаковыми. Поэтому циркуляция вектора вдоль окружности L₁ радиуса r равна

.

Обозначим число витков обмотки тороида через N, а ток в ней через I.

Если r < R₁, то внутри окружности интегрирования нет токов, поэтому циркуляция вектора равна нулю, следовательно, и . Если r > R₂, то окружность L₂ охватывает 2N проводников с током I. Однако, как видно из Рис. 3.38, в N из них ток I идет в одном направлении (во внутренних частях обмотки - от нас), а в остальных N проводниках - в обратном направлении (во внешних частях обмотки - к нам). Поэтому алгебраическая сумма токов во всех проводниках равна нулю, а из (3.74) следует, что или В=0.

Следовательно, вне тороида магнитного поля нет. Оно целиком локализовано внутри объема тороида (R₁ < r < R₂). Окружность радиусом r , лежащая внутри тороида, охватывает N проводников, токи в которых равны I и одинаково направлены. Поэтому , откуда следует, что  магнитная индукция внутри тороида равна:      

,

3.75

Таким образом, напряженность поля внутри тороида уменьшается по мере удаления от его центра. Индукция магнитного поля на осевой линии тороида (r=R_CР= (R₁+R₂)/2) равна: , где n - число витков на единицу длины средней линии тороида. Если неограниченно увеличивать средний радиус тороида, сохраняя неизменной густоту n витков его обмотки, то неоднородность поля внутри тороида будет уменьшаться. В пределе вместо тороида получим бесконечно длинный соленоид – прямую катушку. Поле внут­ри такого соленоида будет однородным, а магнитная индукция внутри равна:

.

3.76

    

3.3.5 Магнитный поток. Работа при перемещении проводника с током в магнитном поле  

Элементарным пото­ком вектора магнитной индукции, или магнитным потоком, сквозь малую площадку dS (Рис. 3.39) называется физическая величина, равная произведению величины этой площадки и проекции В_п вектора на направление нормали  к площадке dS:

,

3.77

 

Рис. 3.39 К определению магнитного потока

 

Полный поток через площадку S:

                                   .

Если поле однородное, а площадка S плоская то В_п = const и

Фм=BScosa.

3.78

Магнитный поток можно наглядно истолковать как величину, пропорциональную числу линий магнитной индукции, пронизывающих данную площадку. Формула (3.78) позволяет установить единицу измерения магнитного потока - вебер:   

                                          1Вб=1Т×м².

Для магнитного поля справедлива теорема Гаусса: Магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверх­ность равен нулю: . Эта теорема является следствием того, что в природе нет магнит­ных «зарядов» и линии индукции любого магнитного поля пред­ставляют собой замкнутые кривые.

Вычислим работу dA, совершаемую силой Ампера при перемещении элемента dl проводника с током I в магнитном поле индукцией . Для простоты предположим, что элемент проводника перемещается в направлении действующей на него силы dF (Рис. 3.40). В этом случае работа dA равна произведению силы dF и перемещения dx, то есть:

,

3.79

 

Рис. 3.40 Перемещение проводника с током в магнитном поле

 

Сила dF и перемещение dx направлены перпендикулярно к элементу проводника dl. Следовательно, произведение dl×dx = dS представляет собой площадь поверхности, описанной элементом проводника dl при его перемещении на расстояние dx. Из Рис. 3.40 видно, что

,

где В_п - проекция вектора на направление нормали  к пло­щадке dS. Следовательно, произведение B_ndS=Bdldx×sina равно магнитному потоку dФ_м сквозь поверхность dS. Поэтому форму­лу (3.79) можно переписать в виде:

3.80

Интегрируя это выражение и, полагая силу тока постоянной, получаем:

3.81

Работа, совершаемая силами Ампера при перемещении в магнит­ном поле проводника, ток в котором постоянен, равна произведению силы тока на величину магнитного потока сквозь поверхность, кото­рую описывает проводник при своем движении.

3.3.6 Замкнутый контур с током в магнитном поле  

Рассмотрим замкнутый прямоугольный контур (рамку) (Рис. 3.41) длиной а и шириной b. По рамке течет ток силой I; рамка расположена в горизонтальном однородном магнитном поле, вектор магнитной индукции которого составляет угол a с нормалью к плоскости рамки. Она может свободно вращаться относительно вертикальной оси.

Токоподводящие провода (в верхней части контура) расположены очень близко друг к другу и скручены, так что действующими на них со стороны магнитного поля силами можно пренебречь. Сила тока, втекающего в рамку, и сила тока, вытекающего из рамки, равны по величине и противоположны по направлению; оба подводящих проводника расположены очень близко друг к другу.

Рис. 3.41 К расчету вращающего момента, действующего на контур с током в магнитном поле

Силы, действующие на горизонтальные участки рамки (длиной b), равны по величине и противоположны по направлению (направлены вверх и вниз по вертикали); эти силы взаимно уравновешиваются и не создают ни результирующей силы, ни вращающего момента.

Силы , действующие на каждый из вертикальных участков рамки длиной а, согласно формуле (3.68), равны по модулю , поскольку эти участки перпендикулярны ; одна из сил направлена в плоскость чертежа, другая - из плоскости (по правилу правой руки; см. раздел 3.3.2) причем обе силы не лежат на одной прямой. Таким образом, эти силы создают вращающий момент. Плечо (кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения) каждой из сил равно , и результирующий вращающий момент двух сил

,

3.82

где S = ab - площадь рамки. В данном случае вращающий момент сил (см. раздел «Механика») направлен вниз. Произведение IS называется магнитным моментом витка с током и представляет собой вектор , направленный перпендикулярно плоскости витка (направление вектора связано с направлением тока в контуре правилом буравчика). Таким образом, вектор вращающего момента равен векторному произведению:  

3.83

Если рамка содержит N витков, то суммарный ток в каждом участке равен NI и вращающий момент . Эта формула, полученная здесь для прямоугольной рамки, справедлива для любой плоской катушки.

Найдем работу dA, совершаемую моментом сил Ампера по повороту контура на угол da. Работа при вращательном движении определяется как произведение (см. раздел «Механика»): . Знак (-) означает, что силы, действующие на виток в магнитном поле, стремятся уменьшить угол a между положительной нормалью к контуру, определяемой по правилу буравчика, и вектором магнитной индукции.

При повороте контура на конечный угол работа определится как интеграл:

.

Здесь использовано выражение (3.82) и учтено, что ток, индукция магнитного поля и площадь контура неизменны. Если учесть формулу (3.78), то последнее выражение можно представить в виде:   

,

3.84

Эта формула пригодна для расчета работы при любом перемещении контура, когда меняется пронизывающий его поток, а не только при повороте контура.

 

Вопросы

1. Почему действие тока на магнитную стрелку и взаимодействие проводников с токами было названо магнитным?

2. Изобразите силовые лини магнитного поля горизонтального проводника, ток в котором направлен влево.

3. С какой силой будут взаимодействовать два параллельных проводника длиной по два метра, расположенные на расстоянии 0,5 м, если по ним протекают токи по 1 А?

4. Нужно ли учитывать кулоновское взаимодействие при определении силы магнитного взаимодействия токов?

5. Запишите формулы, которые использовались для определения размерности магнитной постоянной (работа и ее связь с разностью потенциалов и зарядом).

6. Назовите источники магнитного поля.

7. Для определения напряженности электрического поля использовался точечный пробный заряд. Можно ли создать «точечный» элемент проводника с током для определения магнитной индукции?

8.  В каких единицах измеряется магнитная индукция?

9.  Совпадает ли касательная к магнитной силовой линии с направлением силы, действующей на элемент тока?

10.  В чем особенность применения правила правой руки для определения силы Лоренца?

11.  Примените правило правой руки для отрицательно и положительно заряженных частиц на рис. 3.4.

12.  Можно ли привести в движение покоящий­ся электрон с помощью магнитного поля? С помощью электрического поля?

13.  Заряженная частица движется в однород­ном магнитном поле по окружности. Опишите траекторию частицы после того, как в дополне­ние к магнитному полю включается электри­ческое поле, направленное в ту же сторону.

14. Как изменится направление вектора  на Рис. 3.35, если изменить направление тока на противоположное?

15. Почему все элементы витка (Рис. 3.36), в которых направление тока различно, создают в центре витка поле, направленное одинаково?

16. Чем существенным отличаются картины электростатического и магнитного полей, изображаемые с помощью силовых линий?

17. Если изображать на Рис. 3.37 магнитное поле с помощью большого числа силовых линий, то где линии должны проводиться гуще?

18. Как будет выглядеть картина силовых линий кольцевого тока вблизи проводника? Обратите внимание на Рис. 3.37.

19. Почему магнитное поле называют вихревым? Чем оно отличается от электростатического поля?

20. Почему токи, не охватываемые контуром интегрирования, не дают вклада в циркуляцию магнитного поля? Ведь они изменяют магнитное поле в точках, через которые проходит этот контур. Для ответа на этот вопрос вспомните, почему заряды, не лежащие внутри замкнутой поверхности, не дают вклада в общий поток через эту поверхность.

21. Почему внутреннее поле тороида неодинаково на разных расстояниях от его центра?

22. Что такое соленоид? Изобразите его внешний вид и сечение, как на Рис. 3.38 для тороида.

23. Что такое магнитный поток и в каких единицах он измеряется?

24. Как графически можно интерпретировать магнитный поток через некоторую площадку?

25. Чему будет равен поток магнитной индукции через замкнутую поверхность? Учтите, что магнитные силовые линии являются замкнутыми, поскольку магнитных зарядов не существует.

26. Как, используя понятие потока, можно определить работу по перемещению проводника с током в магнитном поле?

27. В какое положение магнитное поле стремится установить замкнутый контур с током?

28. Есть ли у замкнутого контура с током положения равновесия – устойчивое и неустойчивое?

29. Что такое магнитный момент витка и в каких единицах он измеряется?

30. Как определить направление магнитного момента витка?

31. Есть ли существенное различие в формулах (3.81) и (3.84), по которым определяется работа в контуре?

 

 

Лекция 3.4 Электромагнитная индукция (2 часа)

Рассмотренные выше магнитные явления были исследованы                    в 1820-1821 гг. Затем ученые задались вопросом, если электрический ток создает магнитное поле, то не может ли магнитное поле создавать электрический ток? Десять лет спустя Майкл Фарадей (1791-1867) обнаружил этот эффект1.

3.4.1 Опыты Фарадея. ЭДС индукции

а                             б Рис. 3.42 Схемы опытов Фарадея

В 1831 г. Фарадей открыл явление электромагнитной индукции, заключающееся в возникновении тока под действием переменного магнитного поля. Схема опытов Фарадея приведена на Рис. 3.42. Он установил, что ток в первой катушке возникает: при движении по­стоянного магнита относительно катушки (Рис. 3.42, а); при изменении тока во второй катушке (Рис. 3.42,б); при движении катушек относительно друг друга (во второй при этом существует постоянный ток). Чем быстрее движется магнит или вторая катушка, тем больше сила тока. Отсюда можно было сделать вывод:в замкнутом контуре возникает ток при изменении потока магнитной индукции, пронизывающего контур.

Это означает, что в контуре возникает ЭДС индукции: 

,

3.85

ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего контур (точнее, производной от потока по времени). Если в контуре имеется N витков с плотной намоткой, то индуцированные в каждом витке ЭДС будут складываться, и формула (3.85) при­нимает вид:

,	3.86
.	3.87

Знак (-) в правой части формул отражает правило Ленца: возникающий в замкнутом контуре ток своим магнитным полем противодействует тому изменению магнитного потока, которым он вызван (т.е. противодействует причине, его породившей). На  

Рис. 3.43 показан опыт с внесением магнита в замкнутое кольцо.

 

 

Рис. 3.43 Демонстрация правила Ленца

Возникающий в кольце индукционный ток создает магнитное поле, препятствующее внесению магнита, и отталкивает кольцо от магнита. При внесении магнита в разрезанное кольцо эффект отсутствует.

Посмотрим, что происходило бы, если бы правило Ленца не выполнялось. Индук­ционный ток в этой ситуации создавал бы магнитный поток, направление которого совпадало бы с исходным изменением; возрастающее изменение потока привело бы к еще большему увеличению индукционного тока, что сопровождалось бы еще большим изменением потока. В результате ток продолжал бы нарастать до бесконеч­ности, выделяя мощность (Р= I² R) даже после прекра­щения первоначального изменения. Это означало бы на­рушение закона сохранения энергии. Таким об­разом, правило Ленца является следствием закона сохранения энергии.

Поскольку ЭДС определяется как циркуляция напряженности электрического поля сторонних сил (см. раздел 3.2.1), возникновение ЭДС индукции можно трактовать как появление вихревого электрического поля, способного перемещать заряды в замкнутой цепи.

3.4.2 Взаимная индукция

Рассмотрим опыты Фарадея более подробно. Если две катушки расположены поблизости друг от друга (Рис. 3.44.), то изменение тока под действием источника переменной ЭДС E₁ в одной из них приведет к появлению ЭДС индукции в другой. Это явление называют взаимной индукцией. Согласно закону Фарадея ЭДС индукции E₂ в катушке 2 пропорциональна скорости изменения пронизывающего магнитного потока. Магнитное поле, линии которого пронизывают катушку 2, создается током I₁. При этом каж­дый виток катушки 2 пронизывает магнитный поток Ф₂₁. Величина N₂Ф₂₁ называется потокосцеплением катушки 2, содержащей N₂ витков плотной намотки.

Рис. 3.44 К описанию явления взаимной индукции

Поскольку индукция магнитного поля, создаваемого током, всегда пропорциональна силе тока, потокосцепление катушки 2 также будет пропорционально силе тока I₁ в катушке 1:

                                        N₂Ф₂₁ ~ I₁.

Коэффициент пропорциональности называет­ся взаимной индуктивностью М₂₁ (коэффициентом взаим­ной индукции) катушек 1 и 2:

,

3.88

Единица измерения взаимной индуктивности в СИ – генри: 1Г=1Вб/А или с учетом формулы (3.85) связи потока с ЭДС: 

                                   1 Г=1 В×с/А= 1 Ом×с.

В соответствии с формулой (4.2), и с учетом формулы (3.87) ЭДС E₂,возбуждаемая в катушке 2 изменяющимся током в катушке 1, равна             .

Мы получили выражение, связывающее ЭДС индукции в катушке 2 с током в катушке 1. Взаимная индуктив­ность L₂₁ катушки 2 по отношению к катушке 1 зависит от размеров, формы, числа витков и взаимного расположения двух катушек, Например, чем бли­же катушки на Рис. 3.44 друг к другу, тем больше силовых линий пройдет через катушку 2 и тем больше будет коэффициент взаимной индукции L₂₁.

Рис. 3.45 К вычислению взаимной индуктивности двух катушек

 

Взаимная индуктив­ность зависит также от материала сердечника - железа или другого ферромагнетика. При заполнении поля такой средой взаимная индуктивность увеличивается в m раз, где m - относительная магнитная проницаемость вещества. Рассмотрим теперь обратный случай, когда изменяю­щийся под действием внешней переменной ЭДС ток в катушке 2 возбуждает ЭДС в катушке 1. В этом случае: , где L₁₂ - коэффициент взаимной индукции катушки 1 по отношению к катушке 2. Можно показать, что L₁₂ = L₂₁.

Найдем взаимную индуктивность длинного тонкого соленоида длиной l с площадью поперечного сечения S, содержащего N₁ витков плотной намотки и намотанной поверх него изолированным проводом катушки с числом витков N₂ (Рис. 3.45), считая, что весь магнитный поток соленоида (катушки 1) проходит через катушку 2.

Как следует из формулы (3.87), для этого необходимо найти поток Ф₂₁, пронизывающий плоскость каждого витка катушки 2. По определению поток равен Ф₂₁=B₁S, где  - индукция магнитного поля, созданного соленоидом, имеющим сердечник, выполненный из материала с относительной магнитной проницаемостью m. Подставив выражение для потока в формулу (3.87), получим:

,

3.89

Взаимная индук­ция используется в трансформаторах, а также во всех случаях, когда необходимо передать электрический сигнал на малое расстояние без использования гальванической (проводной) связи между цепями. 

Иногда, однако, из-за индуктивной связи возникают проблемы. Цепи переменного тока (линии передачи электроэнергии, трансформаторы) способны воз­буждать ЭДС в других цепях. Даже если взаимная индуктивность невелика, слабый сигнал частоты переменного тока 50 Гц (фон), наведенный на вход усилителя музыкального комплекса, может испортить впечатление от прослушивания музыкального произведения. Для ослабления наводок обычно при­меняют экранированные кабели, внутренний проводник в которых окружен заземленным цилиндрическим метал­лическим экраном, а также стремятся уменьшать длину защищаемой от наводок цепи с целью уменьшения взаимной индуктивности.

 

3.4.3 Явление самоиндукции. Ток при замыкании и размыкании цепи

Магнитный поток, создаваемый магнитным полем любого проводника, пропорционален силе тока в этом проводнике        

Ф_м  ~ I.

Коэффициент пропорциональности  называется индуктивностью проводника. Как и взаимная индуктивность, индуктивность измеряет­ся в генри. Значение индуктивности зависит от геометрии проводников и наличия ферромагнитного материала. Для увеличения индуктивности проводник наматывают в виде катушки, индуктивность которой зависит от числа витков и магнитной проницаемости сердечни­ка (если он помещен в катушку). В принципе, ин­дуктивность можно определить для любой цепи или ее части.

Найдем индуктивность длинного соленоида. Поток через один виток равен Ф_i=BS, где  - индукция магнитного поля, созданного соленоидом. Поток, пронизывающий все витки соленоида, равен Ф_м =NФ_i, тогда                  

,

3.90

где n=N/l – число витков на единицу длины соленоида, V=Sl – объем соленоида.

Явление возникновения ЭДС в проводнике с током при изменении собственного магнитного потока, создава­емого этим током, называется самоиндукцией. Возника­ющую при этом ЭДС называют ЭДС самоиндукции:

.

3.91

ЭДС самоиндукции возникает как при изменении тока, так и при изменении индуктивности. Если индуктивность не зависит от тока и является постоянной величиной, ЭДС самоиндукции определится как1:

.

3.92

Явление самоиндукции можно наблюдать на опыте (Рис. 3.46 Схема для демонстрации явления самоиндукции). При замыкании цепи лампа Л₂, включенная в цепь с катушкой индуктивности (индуктивность изображается символом ), загорается позже, чем лампа Л₁, включенная последовательно с резистором.

Рис. 3.46 Схема для демонстрации явления самоиндукции

В момент замыкания ключа, соединяющего цепь с источником тока, в цепи возникает нарастающий ток, вызывающий появление в катушке ЭДС самоиндукции, препятствующей увеличе­нию тока. Однако по мере возрастания силы тока напряжение на лампе Л₂ увеличивается, а на индуктивно­сти - уменьшается. Таким образом, ток в цепи постепенно нарастает и приближается к максималь­ному значению, примерно такому же, как в лампе Л₁. Резистор R, включенный последовательно этой лампе, как раз и служит для подбора одинакового тока в двух лампах.

Процесс нарастания тока в цепи можно описать математически, применив к цепи[2], изображенной на Рис. 3.47, правило Кирхгофа. Поскольку любая катушка индуктивности обладает электрическим сопротивлением, реальную катушку мы представили в виде последовательно соединенных индук­тивности L и резистора R. Сопротивление источника тока не учитываем.

Рис. 3.47 К выводу закона изменения тока при замыкании и размыкании цепи

В момент размыкания ключа К в замкнутой цепи появляется ЭДС источника E и при нарастании тока I в цепи возникает ЭДС самоиндукции катушки E_S = -L(dI/dt). На основании второго правила Кирхгофа (см. раздел 3.2.4) составляем уравнение:

.

Мы получили линейное дифференциальное уравнение, которое можно решить методом разделения переменных. Приведем его к виду:  и проинтегрируем левую и правую части:

, откуда .

Потенцируя данное выражение, получаем: . Приведем последнее к виду:

,

3.93

где I₀ =E /R – установившееся значение тока, t = L/R – постоянная времени цепи.

Значение t = t  есть время, за которое сила тока достигает величины

 I₀(1 - 1/е)= 0,63 I₀, или 63% от своего установившегося значения.

Если перебросить переключатель K (Рис. 3.47), в положение, при котором источник тока замыкается (выключается из цепи) в тот момент, когда сила тока в цепи была равной I₀, то ток в цепи начинает уменьшаться, и возникающая ЭДС индукции будет направлена так, чтобы замедлять его уменьшение. 

На основании второго правила Кирхгофа составим уравнение для этого случая: . Разделим переменные и проинтегрируем левую и правую части: , откуда   или  

.

3.94

Таким образом, ток экспоненциально убывает до нуля. При t = t  ток составляет I₀/е = 0,37 I₀.

Поскольку реальные цепи всегда обладают индуктивностью, пусть даже малой индуктивностью соединительных проводов, ток при включении цепи достигает максимального значения с некоторой задержкой. 

 

3.4.4 Энергия магнитного поля

Для создания в проводнике с индуктивностью L некоторого тока I источник тока должен совершить работу против ЭДС самоиндукции. Из закона сохранения энергии следует, что при этом энергия источника тока превращается в энергию, запасенную в катушке индуктивности. Эту энергию мы можем определить через работу, совершаемую уменьшающимся по величине током после выключения из цепи источника тока. Элементарная работа определится из выражения (см. раздел 3.2.3):

          .

Полная работа, совершенная до момента полного исчезновения тока, будет равна энергии магнитного поля с обратным знаком:

,

3.95

поскольку энергию, запасенную в катушке индуктивности, можно представлять как энергию ее магнитного поля.

Чтобы выразить энергию через индукцию магнитного поля, найдем энергию длинного соленоида. Индуктивность соленоида равна (см. 3.89) . Выражаем из этой формулы ток: I=B/mm₀n и подставляем вместе с выражением для индуктивности в (3.95). Получаем:

Эта энергия заключена внутри катушки объемом V. Тогда энергия единицы объема, или плотность энергиимагнитного поля, равна 

,

3.96

Формула (3.96), полученная нами для частного случая (магнитное поле внутри соленоида), справедлива в любой области пространства, где существует магнитное поле.

 

Вопросы

1. Опираясь на понятие магнитного потока, назовите способы, которыми можно изменять поток, пронизывающий контур.

2. Можно ли, вдвигая магнит в катушку и выдвигая его, получить в ней постоянный ток?

3. Выразите, используя формулу (3.85), единицу магнитного потока (вебер) через единицы напряжения и времени.

4. Какие преимущества в опытах Фарадея (Рис. 3.42) дает использование катушек с большим числом витков?

5. Имеется два проволочных витка (не соединенные между собой). В какой-то момент к первому витку подключается батарея и в нем возникает ток. Возникнет ли ток во втором витке? Если да, то в какой момент он возникнет? Когда он прекратится?

6. Действует ли между двумя витками (см. вопрос 5) сила? Если да, то в каком направлении?

7. Почему говорят, что правило Ленца есть следствие закона сохранения энергии?

8. Что такое потокосцепление? В каких единицах измеряется эта величина?

9. Что такое взаимная индуктивность двух катушек и как она зависит от расстояния между катушками?

10. Через какие единицы выражается единица измерения индуктивности?

11. Как следует расположить две круглые плос­кие катушки, чтобы их взаимная индуктив­ность была: а) максимальна; б) минимальна (не разнося их на большое расстояние)?

12. Какие меры принимают для ослабления нежелательных токов, наводимых через взаимную индуктивность?

13. Почему рассмотренное явление получило название самоиндукция?

14. Что такое индуктивность и в каких единицах она измеряется?

15. Подразумевает ли взаимная индуктивность наличие самоиндукции? Объясните.

16. Постройте графики экспоненциального возрастания и спада тока при включении и выключении источника тока. Покажите значения тока в моменты времени t = t .

17. При уменьшении или нарастании тока в цепи знаки ЭДС самоиндукции противоположны. Как это учитывается в формуле (3.92)?

18. Как изменяется во времени модуль ЭДС самоиндукции после включения или выключения источника тока? Остается ли он постоянным?

19. Влияет ли ЭДС источника на скорость возрастания тока? на установившееся значение тока?

20. Зависит ли установившееся значение тока от индуктивности цепи?

21. Как влияют индуктивность катушки и ее сопротивление на постоянную времени цепи?

22.  При размыкании цепи с большой индуктивностью могут возникнуть искра или даже электрическая дуга (при большой силе размыкаемого тока). По какой причине это происходит?

23. За счет какой энергии протекает ток в цепи после выключения источника тока? Из какого источника эта энергия возникает?

24. Почему энергию, запасенную в катушке индуктивности, связывают с магнитным полем? Для ответа на этот вопрос вернитесь к разделу 3.1.10.

 

Лекция 3.5 Электрические и магнитные свойства вещества (4 часа)

3.5.1 Диэлектрики в электростатическом поле. Поляризация диэлектриков

В большинстве конденсаторов между пластинами проло­жен изолирующий материал (диэлектрик).Этим достигается сразу несколько целей. Во-первых, диэлектрики лучше противо­стоят электрическому пробою, чем воздух, и к конденса­тору можно приложить более высокое напряжение без утечки заряда через зазор между обкладками. Во-вторых, при заполнении пространства между пласти­нами диэлектриком емкость конденсатора увеличивается в e раз.

Значения относительной диэлектрической проницаемости e для ряда диэлектриков приведены в табл. 3.5.1. Обрати­те внимание на то, что для воздуха при нормальном давлении e=1,0006, и поэтому емкость конденсатора с воздуш­ным зазором очень мало отличается от емкости этого конденсатора в вакууме.

Когда простран­ство между пластинами конденсатора заполнено диэлект­риком, на пластинах при том же напряжении накапливает­ся больший заряд, нежели когда между пласти­нами воздух. Если же диэлектрик вставляется в заряженный, но отключенный от источника конденсатор, разность потенциалов между пластинами уменьшается в e раз, поскольку во столько же раз увеличивается емкость, а заряд на пластинах при этих условиях остается неизменным. Напряженность электрического поля внутри диэлектрика также ослабляется в e раз, так как напряженность поля внутри плоского конденсатора пропорциональна разности потенциалов пластин.

Таблица 3.5.1

Значения относительной диэлектрической

---

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 349; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!