Подставив числовые значения, получим
Ответ: 
Пример 3. Электрон обладает кинетической энергией 
МэВ. Во сколько раз изменится длина волны де Бройля, если кинетическая энергия электрона уменьшится вдвое?
Дано: 
МэВ = 1,63 
Дж; 
МэВ =
= 8,16 
Дж; 
кг; 
м/с.
Найти: 
.
Решение. Длина волны де Бройля для микрочастицы определяется по формуле
,
где h – постоянная Планка; p – импульс микрочастицы.
Пусть р1 – импульс электрона в начальном состоянии, р2 – импульс электрона в конечном состоянии. Тогда
, 
, а 
.
Найдем энергию покоя электрона
,
где m0 – масса покоя электрона; с – скорость света в вакууме.
Так как кинетическая энергия соизмерима с энергией покоя электрона, то при решении задачи необходимо учитывать релятивистские эффекты. В этом случае связь импульса с кинетической энергией частицы определяется формулой
.
Импульсы электрона в начальном и конечном состояниях равны соответственно
и 
.
Вычисления показали, что практически 
. Учитывая это, найдем отношение длин волн де Бройля
.
Анализ размерности полученного выражения показывает, что отношение величина безразмерная, и убеждает в правдоподобности ответа.
Выполним вычисления
.
Ответ: 
.
Пример 4. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальную энергию электрона 
, находящегося в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l = 5 
.
Дано: 
м; 
; кг.
Найти: .
Решение. Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса в случае одномерной задачи 
позволяет оценить неопределенность импульса электрона
|
|
|
, (1)
где 
неопределенность импульса; 
неопределенность координаты; 
постоянная Планка h, деленная на 2 
.
Так как ширина «потенциальной ямы» равна l, и электрон находится в этой «яме», то неопределенность его координаты равна 
(рис. 2). Потенциальная энергия электрона 
внутри «ямы» равна нулю, следовательно, его полная механическая энергия Е равна кинетической 
. За пределами «ямы», ограниченной бесконечно высокими «стенками», 
.
Связь импульса p с кинетической энергией электрона для нерелятивистского случая имеет вид (учитываем, что по условию задачи 
)
,
где m0 – масса покоя электрона.
Выразим полную энергию Е в виде
.
Из этого уравнения видно, что энергия электрона тем меньше, чем меньше его импульс. Неопределенность значения импульса равна 
. Минимальное значение импульса электрона 
должно быть не меньше , то есть 
. Учитывая это, можем записать
.
Сделав подстановку из уравнения (1) с учетом того, что , придем к уравнению
.
Следовательно, минимальная энергия электрона
|
|
|
.
Анализ размерности убеждает, что ответ правдоподобен, так как энергия действительно измеряется в джоулях:
.
Подставим числовые значения в конечную формулу и выполним вычисления (оцениваем лишь порядок вычисляемой величины)
.
Ответ: 
.
Пример 5. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с непроницаемыми «стенками». Ширина «ямы» l = 37,8 эВ. Определить, на каком энергетическом уровне находится электрон. Чему равна плотность вероятности обнаружения электрона в середине «ямы»?
Дано: 
; 
; 
; 
.
Найти: n; w.
Решение: Запишем уравнение Шредингера для стационарных состояний. Для рассматриваемой одномерной задачи это уравнение имеет вид
,
где 
координатная часть волновой функции, зависящая только от x; Е – полная энергия электрона; U – потенциальная энергия электрона; постоянная Планка h, деленная на 2π.
Электрон находится в «яме», где его потенциальная энергия
(рис. 3). За пределами «ямы», ограниченной бесконечно высокими «стенками», 
. Электрон не может проникнуть за пределы «ямы», поэтому вероятность его обнаружения (а, следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. Из условия непрерывности волновой функции следует, что 
должна быть равна нулю и на границах «ямы»:
|
|
|
.
В пределах «ямы» 
уравнение Шредингера имеет вид
. (1)
Это уравнение, описывающее дви-жение электрона в одномерной «потенциальной яме», удовлетворяется при ди-скретных значениях энергии электрона
,
где n – квантовые числа, определяющие энергетические уровни электрона.
Выразим из этой формулы n:
.
Анализ размерности правой части полученного выражения показывает, что n – величина безразмерная, и это соответствует действительности.
После подстановки числовых значений, данных в условии задачи, получим
.
Решение дифференциального уравнения (1) для рассматриваемой задачи имеет вид
.
Коэффициент А находим из условия нормировки
.
В результате интегрирования получаем 
, следовательно:
.
Плотность вероятности обнаружения электрона на различных расстояниях x от стенок «ямы» для рассматриваемой задачи равна
.
Выполним анализ размерности (выражение под знаком sin безразмерное):
.
Полученная единица соответствует искомой величине.
Вычислим значение w при n = 2 для
x = l/2:
.
Такой результат означает, что в состоянии с n = 2 электрон не может находиться в середине «ямы». Зависимость плотности вероятности обнаружения электрона на различных расстояниях от стенок «ямы» приведена на рис. 4.
|
|
|
Ответ: n = 2; w = 0.
Пример 5. Пси-функция некоторой частицы имеет вид 
, где r – расстояние частицы от силового центра, 
0 
м – константа. Найти значение коэффициента А и наиболее вероятное расстояние rвер частицы от центра.
Дано: 
; а = 1,0 м.
Найти: А; rвер.
Решение. Движение микрочастицы в центральном силовом поле (например, движение электрона в поле положительно заряженного ядра) описывается уравнением Шредингера в сферических координатах. По условию задачи функция 
зависит только от r и не зависит от углов 
и 
. В этом случае уравнение Шредингера для стационарных состояний принимает вид
где r – расстояние микрочастицы от силового центра; m0 – масса покоя микрочастицы; 
– постоянная Планка h , деленная на 2 
; Е – полная энергия микрочастицы; U – потенциальная энергия микрочастицы.
Перепишем уравнение Шредингера, выполнив дифференцирование в первом слагаемом:
.
Решение этого дифференциального уравнения по условию задачи имеет вид
.
Коэффициент А найдем из условия нормировки пси-функции, которое для рассматриваемой задачи запишем в виде
,
где dV - элемент объема в сферических координатах 
.
Интеграл в полученном выражении равен 
(табл. 6 приложения), следовательно:
и 
.
Выполним анализ размерности полученного выражения
.
Анализ размерности подтверждает правдоподобность ответа. Действительно, квадрат модуля волновой функции имеет смысл плотности вероятности обнаружения микрочастицы
,
где dW – вероятность нахождения частицы в элементе объема 
.
Так как размерность 
, то размерность 
.
Выполним вычисления
Вероятность нахождения микрочастицы на расстоянии между r и r+dr от силового центра в любом направлении определяется формулой
Следовательно, плотность вероятности
.
Из формулы видно, что плотность вероятности 
обращается в нуль при r = 0 и асимптотически стремится к нулю при 
. Наиболее вероятное расстояние rвер частицы от силового центра найдем из условия, что при r = rвер плотность вероятности должна быть максимальна. Для этого исследуем функцию 
на экстремум. Найдем первую производную 
и приравняем ее к нулю
; 
.
Это равенство выполняется при r = 0; ; r = a. Первые два решения соответствуют минимумам функции . Следовательно, наиболее вероятное расстояние микрочастицы от силового центра 
.
Ответ: 
; rвер = 1,0 
.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ
И ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
1. Распределение свободных электронов в металле по состояниям с различной энергией при Т = 0 К
,
где dnE – количество свободных электронов в единице объема металла (концентрация электронов), энергии которых заключены в пределах от Е до E + dE; m0 – масса покоя электрона.
2. Энергия Ферми в металле при Т = 0 К
,
где n – концентрация электронов проводимости в металле.
3. Температура вырождения (температура Ферми)
,
где 
энергия Ферми при Т = 0 К; k – постоянная Больцмана.
Температурой вырождения ТF называют температуру, ниже которой проявляются квантовые свойства электронного газа. Если T >> 
, то поведение системы частиц подчиняется классической статистике.
4. Температурная зависимость удельной электрической проводимости собственных полупроводников
,
где 
множитель, мало изменяющийся с изменением температуры; 
ширина запрещенной зоны.
Пример 7. Определить отношение концентраций свободных электронов при Т = 0 К в литии n1 и цезии n2 , если известно, что уровни Ферми в этих металлах соответственно равны 
и 
Дано: 
; 
.
Найти: n1/n2.
Решение. Уровень Ферми при абсолютном нуле определяется выражением
,
где постоянная Планка h, деленная на 2π ; 
масса покоя электрона; 
количество свободных электронов в единице объема металла.
Используя эту формулу, запишем соотношения, определяющие концентрации n1 и n2 свободных электронов в литии и цезии:
; 
.
Выполним анализ размерности
Полученный результат соответствует действительности.
Найдем отношение концентраций свободных электронов
.
Подставим в это выражение числовые значения и выполним вычисления
.
Ответ: 
Пример 8. Найти относительное количество ΔN/N свободных электронов в металле, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более, чем на η = 2,0%. Температура металла Т = 0 К.
Дано: Т = 0 К; η = 0,02 (2,0%).
Найти: ∆N/N.
Решение. Распределение свободных электронов в металле по состояниям с различной энергией при Т = 0 К имеет вид
,
где dnE – концентрация свободных электронов, энергии которых заключены в пределах от Е до Е + dE; m0 – масса покоя электрона; ħ – постоянная Планка h, деленная на 2π.
Концентрацию свободных электронов в металле найдем путем интегрирования
,
где энергия Ферми при Т = 0 К; 
.
Если образец металла имеет объем 
, то количество свободных электронов в этом образце
.
Концентрация свободных электронов, энергии которых отличаются от энергии Ферми не более, чем на 2%, равна
.
Количество таких электронов в образце металла объемом
.
Найдем относительное количество свободных электронов, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более, чем на 2%:
.
Произведя вычисления, получим
.
Ответ: 
(или 3%).
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 608; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!