ТЕПЛОВОЙ ПОТОК. ВЕКТОРНАЯ И СКАЛЯРНАЯ ФОРМЫ ЗАКОНА ФУРЬЕ

Математическое исследование благодаря своей универсальности применяется в областях, весьма далеких от математики. Это объясняется тем, что любое положение, правило или закон, записанные на математическом языке, становятся инструментом предсказания (прогнозирования), являющегося важнейшей задачей каждого научного исследования.

Основой традиционной (классической) математики является система аксиом, из которых методом дедукции получают результаты, представляемые в виде лемм, теорем и т. п., которые должны быть, безусловно, однозначными и определенными. Получаемые на их основе (на основе традиционной (классической) математики) аналитические решения в пределе являются точными. В рамках этих методов исследуются вопросы существования решений, их единственности, а также устойчивости и сходимости к абсолютно точным решениям при неограниченном возрастании числа их членов.

Разработка таких методов способствует развитию собственно математики (появлению новых ее разделов и направлений). Однако для решения многих прикладных задач они оказываются малоэффективными, т. к. для их использования необходимо вводить массу допущений, приводящих к тому, что математическая модель исследуемого процесса оказывается существенно отличающейся от реального физического процесса.

В связи с чем, в математике возникло ответвление, называемое прикладной математикой. Ее основное отличие от традиционной состоит в том, что здесь находится не точное, а приближенное решение с точностью, достаточной для инженерных приложений, но без учета тех допущений, которые принимаются в рамках классической математики. Оценка точности полученных решений выполняется путем сравнения с точными решениями каких - либо тестовых задач, либо с результатами экспериментальных исследований.

К методам прикладной математики относятся вариационные (Ритца, Треффтца, Л.В.Канторовича и др.), ортогональные методы взвешенных невязок (Бубнова-Галеркина, Л.В. Канторовича, коллокаций, моментов, наименьших квадратов и др.); вариационно-разностные методы (конечных элементов, граничных элементов, спектральный метод и др.).

Все они относятся к группе так называемых прямых методов − это такие приближенные аналитические методы решения задач математической физики, которые сводят решение дифференциальных и интегральных уравнений к решению систем алгебраических линейных уравнений.

Известно, что точные аналитические решения в настоящее время получены лишь для задач в упрощенной математической постановке, когда не учитываются многие важные характеристики процессов (нелинейность, переменность свойств и граничных условий и прочее). Все это приводит к существенному отклонению математических моделей от реальных физических процессов, протекающих в конкретных энергетических установках.К тому же точные решения выражаются сложными бесконечными функциональными рядами, которые в окрестностях граничных точек и при малых значениях временной координаты являются медленно сходящимися. Такие решения малопригодны для инженерных приложений и, особенно в случаях, когда решение температурной задачи является промежуточным этапом решения каких-либо других задач (задач термоупругости, обратных задач, задач управления и др.). В связи с чем, большой интерес представляют перечисленные выше методы прикладной математики, позволяющие получать решения, хотя и приближенные, но в аналитической форме, с точностью, во многих случаях достаточной для инженерных приложений. Эти методы позволяют значительно расширить круг задач, для которых могут быть получены аналитические решения по сравнению с классическими методами.

КРАТКО ПО ТЕОРИИ ТЕПЛООБМЕНА

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Основные понятия и определения

Теория теплообмена - представляет собой учение о самопроизвольных необратимых процессах распространения теплоты в пространстве с неоднородным полем температур , под которым понимается обмен внутренней энергией между отдельными элементами и между областями рассматриваемой среды, обусловленный разностью температур.

При этом теплота переходит от точек с более высокой к точкам с более низкой температурой, если процесс протекает в одном теле. При теплообмене между различными телами это положение также сохраняется, т. е. теплота переходит от более нагретых к более холодным телам. Таким образом, конечный результат теплообмена между ограниченными телами или частями одного и того же тела заключается в уравнивании их температур, после чего процесс прекращается, т.е. разность температур является необходимым условием передачи теплоты от одного тела к другому или от одной части тела к другой, что следует из 2-го закона термодинамики.

При наличии разности температур в теле или при соприкосновении нескольких тел, имеющих различную температуру, происходит обмен кинетической энергией между движущимися структурными частицами (молекулами, атомами, свободными электронами), вследствие чего интенсивность движения частиц тела с меньшей температурой увеличивается, а частиц тела с большей температурой – уменьшается. Такой энергетический обмен между взаимодействующими телами или их отдельными частями с неодинаковой температурой называется теплообменом или теплопередачей.

Понятие «теплообмен» охватывает совокупность всех явлений, при которых имеет место передача теплоты из одной части пространства в другую в твердых телах, а также в жидких и газообразных средах. Эти процессы по своей физико-механической природе весьма многообразны, отличаются большой сложностью и обычно протекают в виде целого комплекса разнородных явлений. Для удобства принято делить перенос теплоты на простейшие виды: теплопроводность, конвекцию, теплообмен излучением или радиацией.

Существуют три основных вида теплообмена:

· теплопроводность,

· конвекция,

· тепловое излучение.

Теплопроводность — это молекулярный перенос теплоты между непосредственно соприкасающимися телами или частицами одного тела с различной температурой, при котором происходит обмен энергией движения структурных частиц (молекул, атомов, свободных электронов). Теплопроводность (кондукция) характеризуется тем, что ее действие связано с наличием вещественной среды и что теплообмен может происходить только между такими частицами тела (молекулами и атомами), которые находятся в непосредственной близости друг от друга. При этом сами частицы не перемещаются. В связи с чем, в твердых телах теплота передается только теплопроводностью.

Конвекция осуществляется путем перемещения в пространстве не­равномерно нагретых объемов среды. При этом перенос теплоты не­разрывно связан с переносом самой среды.

Конвекция наблюдается тогда, когда материальные частицы какой-нибудь среды изменяют свое положение в пространстве и при этом передают теплоту от более нагретых объемов среды к менее нагретым. Это явление имеет место в жидкостях и газах и всегда сопровождается теплопроводностью, т. е. передачей теплоты от одной частицы к соседней, если только во всей текущей массе нет полного равенства температур. Рассматривая области, расположенные внутри потока, обе формы переноса теплоты можно охарактеризовать одним понятием – теплопроводность в движущихся средах. Если учесть, кроме этого, влияние ограничивающих твердых стенок, то будет наблюдаться более общий случай теплообмена между стенками и движущейся жидкостью, который называется теплоотдачей.

Тепловое излучение характеризуется переносом энергии от одного тела к другому электромагнитными волнами.

Теплообмен излучением характеризуется отсутствием контакта между телами, обменивающимися теплотой. Примером может служить передача теплоты от Солнца к Земле через космическое пространство. Явление теплового излучения возникает у поверхности или внутри тела в результате сложных молекулярных и атомных возмущений. При этом некоторая часть внутренней энергии тела преобразуется в электромагнитные волны (или в другом представлении в фотоны – кванты энергии) и уже в такой форме передается через пространство.

Особый вид теплообмена наблюдается в тех случаях, когда на границе между стенкой и потоком происходит изменение агрегатного состояния тела. Это имеет место при переходе теплоты от поверхности нагрева к испаряющейся жидкости, от конденсирующихся паров к поверхностям охлаждения, при плавлении и кристаллизации. Соответствующие этому процессу математические модели относятся к числу наиболее сложных моделей, описываемых дифференциальными уравнениями математической физики.

Часто все способы переноса теплоты осуществляются совместно. Например, конвекция всегда сопровождается теплопроводностью, так как при этом неизбежно соприкосновение частиц, имеющих различные температуры.

В чистом виде процесс теплопроводности наблюдается в твердых телах, для которых к настоящему времени наиболее полно разработана и аналитическая теория (т. е. теория, описывающая процесс в терминах дифференциальных уравнений математической физики). В данном курсе мы как раз рассматриваем отдельно явление теплопроводности и математические уравнения, описывающие эти процессы.

Понятия температурного поля

Процесс теплопроводности, как и другие виды теплообмена, может иметь место только при условии, что в различных точках тела температура неодинакова.

Аналитическое исследование теплопроводности сводиться к изучению его пространственно - временного изменения температуры, т.е. его температурного поля. Под температурным полем понимается совокупность значений температуры во всех точках рассматриваемого объема в каждый фиксированный момент времени.

 Температуре, характиризующей степень нагретости любой точки тела, нельзя приписать какое-либо направление и поэтому она является скалярной величиной. Математическим выражением распределения температуры в теле является выражение, содержащее в качестве независимых переменных пространственные координаты и время.

В общем случае уравнение температурного поля имеет вид:         

                                             (1)

где t — температура тела; х, у, z — координаты точки;  τ — время. Такое температурное поле называется нестационарным и отвечает неустановившемуся режиму теплопроводности.

Температурное поле бывает нестационарным и стационарным.

Если температура тела не изменяется с течением времени, то температурное поле называется стационарным и описывается уравнением:

                       (2)

Температура может быть функцией одной, двух и трех координат, соответственно температурное поле будет одно-, дву- и трехмерным.

 Наиболее простой вид имеет уравнение одномерного стационарного температурного поля:

            (3)        

В теле, имеющем температуру , можно выделить поверхность, во всех точках которой в некоторый момент времени температура одинакова, т.е., если соединить все точки тела с одинаковой температурой, то получим поверхность равных температур, называемую изотермической.

Такая поверхность называется изотермической поверхностью или поверхностью уровня. Уравнение поверхности уровня имеет следующий вид:

 где .

Изотермические поверхности характеризуются следующими основными свойствами:

а) две изотермические поверхности, имеющие различные температуры, никогда не пересекаются друг с другом, так как в одной и той же точке тела одновременно не может быть двух различных температур;

б) изотермические поверхности не имеют границ внутри тела. Они или заканчиваются на поверхности, или замыкаются на себя, располагаясь внутри рассматриваемого объема;

в) теплота не распространяется вдоль изотермической поверхности, а направляется от одной изотермической поверхности к другой. Это следует из положения о том, что теплота распространяется от более нагретого участка тела к менее нагретому.

Пересечение изотермических поверхностей плоскостью дает на этой плоскости семейство изотерм (линии, соответствующие одинаковой температуре). Они обладают теми же свойствами, что и изотермические поверхности, т. е. не пересекаются, не обрываются внутри тела, заканчиваются на поверхности либо замыкаются внутри тела.

 Так как в определенной точке тела в данный момент времени может быть только одна температура, изотермические поверхности не пересекаются; все они либо замыкаются на себя, либо заканчиваются на границе тела. Пересечение изотермных поверхностей плоскостью дает на ней семейство изотерм. Интенсивность изменения температуры в каком-либо направлении характеризуется производной , принимающей наибольшее значение в направлении нормали к изотермической поверхности

              (4)

Вектор называется температурным градиентом и является мерой интенсивности изменения температуры в направлении по нормали к изотермной поверхности. Направлен он в сторону возрастания температуры.

Рис. 1.1.  Температурное поле и градиент температуры

  Рис. 1.2 Изотермы в области квадратной Рис. 1.3 Изотермы в области

                                    формы                                   прямоугольной формы

ТЕМПЕРАТУРНЫЙ ГРАДИЕНТ

Рассмотрим две бесконечно близкие изотермические поверхности с температурами  и  и какую-либо точку , лежащую на одной из них (рис. 1.4). Перемещаясь из точки  вдоль любых направлений, можно обнаружить, что интенсивность изменения температуры по различным направлениям неодинакова. При перемещении по изотермической поверхности температура не изменяется. Если же перемещаться вдоль какого-либо направления , пересекающего изотермические поверхности, то наблюдается изменение температуры.

Рис. 1.4 Схема к определению теплового потока

Наибольшая разность температур на единицу длины вектора перемещения  наблюдается в направлении нормали  к изотермической поверхности (рис. 1.4). В соответствии с (1.3) максимальная скорость изменения температуры при этом равна пределу отношения изменения температуры  к расстоянию между изотермическими поверхностями по нормали , когда  стремится к нулю:

.             (1.4)

Таким образом, в любой точке  изотермической поверхности можно построить некоторый вектор, направленный по нормали к этой поверхности в сторону увеличения температуры. Абсолютная величина этого вектора равна изменению температуры на единице длины перемещения в рассматриваемом направлении – скорости возрастания температуры (т. е. производной от температурной функции  по направлению нормали ). Такой вектор называют градиентом температуры в точке  или градиентом температурного поля и записывают в виде символа :

Для обозначения вектора (1.5) в теории поля иногда применяют символ .

Согласно сказанному выше, можно записать:

,                                    (1.8)

т. е. длина вектора  равна скорости возрастания температуры в этом направлении.

Производная от функции  по направлению нормали  и вектор  связаны соотношением:

.                   (1.9)

ТЕПЛОВОЙ ПОТОК. ВЕКТОРНАЯ И СКАЛЯРНАЯ ФОРМЫ ЗАКОНА ФУРЬЕ

В теле, не находящемся в полном тепловом равновесии (т. е. обладающим неравномерным распределением температуры), всегда происходит перенос теплоты. Отсюда следует, что для передачи теплоты теплопроводностью необходимо неравенство нулю температурного градиента. В этом смысле температурный градиент является основным физическим параметром, определяющим условие возникновения теплового процесса. Следовательно, соотношение  является необходимым условием возникновения внутри тела теплового потока. Тепловой поток в отличие от температуры (величины скалярной) имеет вполне определенное направление, а именно: от точек тела с более высокой к точкам с более низкой температурой. Таким образом, тепловой поток можно рассматривать как вектор, направленный в сторону уменьшения температуры, а поле тепловых потоков – векторным.

Абсолютная величина этого вектора выражает тепловой поток, измеряемый количеством теплоты, проходящей в единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной направлению потока в рассматриваемой точке. Обозначим через  количество теплоты, проходящее через изотермическую поверхность площади  за время . Тогда абсолютное значение вектора плотности теплового потока можно записать в виде:

.                                    (1.10)

Формула (1.10) характеризует плотность теплового потока единичного элемента изотермической поверхности.

Идея о существовании органической связи между вектором плотности теплового потока и температурным градиентом легла в основу учения, созданного Фурье. Сущность гипотезы Фурье состоит в том, что тепловой поток через элемент изотермической поверхности вполне определяется значением температурного градиента в рассматриваемой точке . Действительный смысл этой связи заключается в том, что тепловые потоки в среде всегда
определенно направлены. Возникновение тепловых потоков вдоль изотермических поверхностей невозможно, так как по всей изотермической поверхности составляющая градиента температуры равна нулю. Следовательно, векторы плотности теплового потока  и  направлены по нормали к изотермической поверхности, но в противоположные стороны (рис. 1.5).

С увеличением перепада температур, т. е. с возрастанием температурного градиента, увеличивается и плотность теплового потока. закон Фурье в векторном виде записывается следующим образом:

.                   (1.11)

Рис. 1.5 Направление векторов плотности теплового потока и градиента температуры

Коэффициент пропорциональности  называется теплопроводностью и является физической константой, характеризующей теплопроводящие свойства материала данного тела.

---

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 832; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

1234567Следующая ⇒

---

Мы поможем в написании ваших работ!