Тема 2.2. Численное решение двумерных задач стационарной теплопроводности методом итераций



Метод итераций заключается в следующем:

1) во всех внутренних точках области L задаются произвольные значения температур ti,j – эту систему значений обозначают системой №1;

2) во всех внутренних точках области L образуются в соответствии с (5) среднеарифметические значения системы №1, полученную систему обозначают №2 (граничные значения температур на контуре всегда остаются заданными);

3) из системы №2 аналогичным образом получается система №3 и т.д.

4)

Процесс итераций считается законченным тогда, когда в пределах заранее заданной точности система № (n+1) совпадает с системой № n.

В курсах высшей математики показывается, что описанный процесс итераций в данном случае будет сходиться к решению дифференциального уравнения Лапласа (1) с заданными условиями.

Постановка задачи

Найти температурное поле в угле печи (здания) (рис.3), используя метод конечных разностей, если на поверхностях ДС и ДЕ задана температура tw2, на поверхностях АВ и АF – температура tw1. На ВС и FE имеют место линейные законы распределения температур.

Расчет на ЭВМ производить с точностью δt. Результаты решения представить в виде сетки изотерм с шагом Δt. Построить графики распределения температур в двух сечениях исследуемой области (по указанию преподавателя).

Рис.3. Сеточная область угла здания

Тема 2.3. Численное решение одномерных задач нестационарной теплопроводности методом конечных разностей по явной и неявной схемам.

На практике часто можно встречаются случаи, когда изменение температуры происходит только по одной координате (направлению) и по времени. Например, охлаждение или нагревание плоской неограниченной пластины; стержня, заизолированного с боковой поверхности и др. Одним из наиболее простых методов решения таких одномерных задач нестационарной теплопроводности является метод конечных разностей, реализуемый по, так называемой, явной схеме, т.е. когда температуру для последующего момента времени можно выразить через температуры для предыдущего момента времени, причем по очень простой формуле.

 

Изложение численного метода

Дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности в случае одномерной задачи имеет вид

.                                                 (1)

Для численного решения этого уравнения воспользуемся методом конечных разностей или методом сеток.

В соответствии с этим методом на пространственно-временную область АВСD одномерной задачи (рис.1) наносится сеточная область с шагом сетки по оси х - ∆х и по времени τ - ∆τ.

Рис.1. Пространственно-временная область

одномерной задачи теплопроводности

 

Затем уравнение (1) заменяют конечно-разностной аппроксимацией (приближением). Конечно-разностное уравнение (1) может быть сделано по различным схемам.

Для уравнения теплопроводности различают два типа разностных схем: явнуюинеявную.

Явную схему мы получим, если возьмем разностное представление производной по времени в (1) «вперед»

.                                      (2)

(Здесь выражение для второй производной по координате также представлено конечно-разностной аппроксимацией . (см. тему2.1)).

Отсюда

.                                    (3)

В частности, при

                                                  (4)

формула (3) приобретает особенно простой вид

,                                                (5)

т.е. температура в данном узле для момента времени k+1 равна среднеарифметическому из значений температур в соседних узлах для момента времени k.

Из формул (3) и (5) видно, что температура для последующего момента времени k+1 явным образом выражается через температуры для предыдущего момента времени k, поэтому схема и называется явной.

Таким образом, начиная с какого-то начального момента времени k, можно последовательно вычислить все температуры для моментов k+1, k+2, k+3,…, k+n.

Исследования показали, что данная схема будет устойчивой, т.е. ошибки неточного задания краевых условий и округления не будут возрастать при увеличении τ, если выполняется условие

,                                                 (6)

откуда

.                                                (7)

 

 

Постановка задачи

 

Найти температурное поле в теплоизолированном с боковой поверхности ограниченном стержне, т.е. решить уравнение (1) при следующих краевых условиях:

1) в начальный момент времени τ=0, t=t0;

2) при х=0, t=tw1=const;

3) при х=l, где l – длина стержня, t=tw2=const.

Применение метода конечных разностей по явной схеме, несмотря на его простоту, является не всегда оправданным. Как показывает практика, явная схема является неустойчивой, т.е. при неточном задании краевых условий и промежуточном округлении ошибки будут возрастать при увеличении шага по времени. Поэтому применяют метод конечных разностей, реализуемый по неявной схеме, т.е. когда температуры для последующего момента времени выражаются через одну известную температуру предыдущего момента времени. Данная схема является абсолютно устойчивой, но решается несколько сложнее, чем явная. Для реализации этого численного метода решения задач нестационарной теплопроводности на ЭВМ был разработан специальный метод прогонки.

 

Изложение численного метода

Дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности в случае одномерной задачи имеет вид

.                                        (1)

В лабораторной работе №2 был изложен способ решения дифференциального уравнения теплопроводности (1) методом конечных разностей по явной схеме. Как было указано, решение задач по явной схеме будет устойчивым, если выполняется условие

.                                                    (2)

Последнее условие весьма обременительно. Как показывают практические расчеты, при достаточно малых ∆х и конкретных значениях а величина ∆τ оказывается очень малой и приходится медленно продвигаться по времени, т.е. делать большое число шагов по времени τ. Все это чрезвычайно повышает трудоемкость решения.

Рассмотрим теперь принципиально другое сеточное уравнение. Если взять приближенное значение производной по времени «назад» (см.рис.1.),

Рис.1. Пространственно-временная область одномерной задачи теплопроводности

 

то получим следующее конечно-разностное соотношение:

.                                 (3)

Уравнение (3) решается труднее, поскольку в него входят три неизвестные температуры:  Поэтому в данном случае нужно решать сразу всю систему разностных уравнений типа (3) для всех точек i,k сетки. Здесь так же, как и при решении уравнения Лапласа методом сеток, можно применить метод итераций.

Неявные разностные уравнения решаются сложнее, чем явные, но они абсолютно устойчивы при любом шаге по времени. Это позволяет выбирать шаг ∆τ значительно большим, чем в явных схемах, и соответственно уменьшать общее время счета всей задачи. Для реализации численного метода решения задач теплопроводности на ЭВМ разработан специальный метод прогонки, более эффективный, чем метод итераций.

Изложим метод прогонки на примере предыдущей задачи, предложенной в лабораторной работе №2. Уравнение (3) можно, очевидно, записать еще и в виде

                                (4)

при начальных и граничных условиях:

в момент времени k=0

,                                                     (5)

и задана в точках: i=1,2,…,n-1;

                                               (6)

.                                              (7)

Уравнение (4) для удобства дальнейших выводов запишем в виде

,                                      (8)

где .

Представим чисто формально связь между  и  в виде

,                                          (9)

где  и  некоторые коэффициенты, подлежащие определению. Если они будут известны, то делая «прогонку» в направлении справа-налево, начиная с правого граничного условия , можно по (9) последовательно найти все температуры в (k+1)-м слое по времени. Из (9), заменяя i на i-1, имеем

.                                      (10)

Подставляя (10) в формулу (8), получим

.                  (11)

Отсюда

.                             (12)

Сравнивая (12) с (9), получим следующие рекуррентные формулы:

                                           (13)

При i=1 из (8) найдем

.                                    (14)

Или, используя граничное условие (6), из (14) получим

.                                                (15)

С другой стороны, из (9) найдем

.                                               (16)

Сравнивая (16) и (15), получим

                                                          (17)

Пользуясь формулами (А) и (В), производя «прогонку» слева-направо в прямом направлении, последовательно найдем все коэффициенты .

Затем, используя «обратный ход», т.е. прогонку справа-налево, начиная с , как уже было указано, по (9) найдем все температуры в (k+1) слое, если известно распределение температур в k-м слое. Таким образом, указан переход от k-го слоя по времени к (k+1) слою.

Следовательно, отправляясь от известного начального (нулевого) слоя, можно построить решение  во всех точках сетки i,k.

Лекция 3


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 1506; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!