Пример расчета плоской фермы матричным методом
Для пояснения алгоритма расчета стержневых систем по методу МКЭ в матричной форме выполним расчет простейшей трехстержневой фермы, показанной на рис.3.52.
Рис.3.52. Схема плоской фермы
Построим структурную матрицу фермы (рис. 3.52) по ранее приведенной форме:
В построенной матрице:
строки – узлы фермы;
столбцы – стержни фермы.
Запишем матрицы – столбцы координат узлов фермы:
В матрице 
цифра 3 обозначает координату узла 3 по оси Х (Х=3), вторая цифра 0 дает значение узла 3 по направлению оси Y (Y=0).
Транспонированная матрица 
путем замены строк столбцами при сохранении их нумерации будет иметь вид:
3-й узел
2-й узел
1-й узел
Матрица проекций длин элементов фермы по формуле (3.51):
.
Длины стержней вычисляются по выражению (3.53):
;
;
.
Векторы направляющих косинусов стержней по формуле (3.54):
;
;
.
Вектор внешних нагрузок по выражению (3.56):
.
Для получения из структурной матрицы 
матрицы 
произведем замену в матрице значащих элементов 1 на соответствующие векторы направляющих косинусов (если элемент имеет значение (-1), то соответствующие векторы ставить с обратным знаком):
|
|
|
3-й стержень с заменой 1 на 
2-й стержень с заменой 1 на 
1-й стержень с заменой 1 на 
Для построения матрицы-вектора 
из вектора внешних нагрузок 
удаляем первые две строки, т.к. узел 1 имеет закрепление (опору) по направлению Х (первая строка) и по направлению Y (вторая строка), а также удаляем строку 6 как закрепление узла 3 по направлению Y. В результате получим матрицу-вектор следующего вида:
Для построения матрицы 
из матрицы аналогично построению матрицы-вектора Q удаляем первую, вторую и шестую строки:
= 
.
Решение уравнений (3.59) и (3.60) в матричной форме дает следующий результат:
,
где N1, N2 и N3 
усилия в стержнях 1, 2 и 3 [Tc].
Программа анализа напряженно-деформированного состояния стержневых систем
|
|
|
Общие сведения
Программа предназначена для анализа напряженно-деформированного состояния стержневых систем [26]. Анализируемые системы могут быть плоскими и объемными, статически определимыми и статически неопределимыми. Принято, что элементы системы соединены в узлах идеальными шарнирами.
В программе принята система координат, изображенная на рис. 3.53.
Рис. 3.53. Система координат, принятая в программе
Единицы измерения в программе не ограничиваются, важно правильно их согласовать.
Выполнение программы
Для выполнения программы необходимо запустить исполняемый файл OCKAL.exe, после чего на экране появится окно программы, изображенное на рис. 3.54.
Рис. 3.54. Основное окно программы
Координаты узлов конструкции заносятся в таблицу «Сведения об узлах» (графы «X», «Y», «Z»). Туда же заносятся сведения о приложенной нагрузке (проекции сил на координатные оси для каждого из узлов; графы «Сила X», «Сила Y», «Сила Z») и условия закрепления (присутствие закрепления по координатным осям для каждого из узлов обозначается 1; графы «Опора X», «Опора Y», «Опора Z»).
В таблицу «Сведения о связи элементов» заносятся номера узлов, образующих каждый из стержней конструкции (графы «Узел 1», «Узел 2»). Также указываются площадь поперечного сечения и модуль упругости каждого из стержней.
|
|
|
Добавление узлов (стержней) в таблицы «Сведения об узлах» и «Сведения о связи элементов» осуществляется посредством всплывающих меню, вызываемых правой кнопкой мыши, и последующим указанием количества узлов (стержней), которое необходимо добавить в соответствующую таблицу. Аналогично производиться и удаление узлов (стержней).
Отмеченный пункт «Заполнить нулями пустые ячейки» приведет к тому, что значения пустых ячеек при попытке произвести расчет будут автоматически приравнены к нулю. Это может быть удобно при большом количестве нулевых значений, однако возможно возникновение ошибок, связанных с тем, что могут быть упущены из виду ячейки, значения которых не должны быть нулевыми. Во избежание этого можно произвести проверку на предмет наличия не заполненных ячеек. Для этого необходимо отметить пункт «Найти пустые ячейки» и нажать кнопку «Выполнить проверку». Программа проверит внесенные данные и при обнаружении пустой ячейки выдаст сообщение об этом.
Возможно также произвести проверку на повторение номеров узлов, образующих какой-либо стержень. Для этого необходимо отметить пункт «Найти повторы номеров узлов» нажать кнопку «Выполнить проверку». При обнаружении совпадений программа выдаст соответствующее сообщение.
|
|
|
Изображение конструкции можно увидеть на соответствующей вкладке (рис. 3.55). Способ отображения конструкции выбирается кнопками:
XZ, XZ - проекции конструкции на плоскость XZ; виды, соответственно, спереди (главный) и сзади.
XY, XY - проекции конструкции на плоскость XY; виды, соответственно, снизу и сверху.
YZ, YZ - проекции конструкции на плоскость YZ; виды, соответственно, слева и справа.
D - диметрия. Вращение изображения в этом режиме осуществляется кнопкой.
Рис. 3.55. Вкладка «Изображение конструкции»
Чтобы произвести расчет, необходимо выбрать соответствующий пункт в главном меню («Сервис» - «Расчет»), либо воспользоваться «горячей» клавишей F9, либо кнопкой «Р!» панели инструментов.
Результаты расчета находятся на соответствующей вкладке (рис. 3.56). В первом окне выведены на экран длины стержней и смещения (перемещения) узловых точек по направлению координатных осей X, Y и Z. Во втором окне показаны результаты расчета опорных реакций и реакции (усилия) в элементах (стержнях) решетчатой системы. Все эти результаты могут быть сохранены в файл («Файл» - «Сохранить»).
Рис. 3.56. Результаты расчета
Сообщения оператору
Все элементы окон при необходимости снабжены соответствующими подсказками, поясняющими их назначение. Кроме того, существуют сообщения об ошибках и запросы на подтверждение каких-либо действий.
Если при заполнении таблиц пользователь пытается ввести недопустимый символ, то появляется сообщение об этом (рис. 3.57).
Рис. 3.57. Сообщения об ошибках
При появлении такого сообщения необходимо нажать кнопку «ОК» и ввести верные данные.
Если введенных данных недостаточно для выполнения расчета, то появляется сообщение, показанное на рис. 3.58.
Рис. 3.58. Сообщение о недостатке данных
В этом случае следует ввести недостающие данные и повторить попытку расчета.
В случае возникновения ошибок при выполнении программы выдается соответствующее сообщение. Ошибка может быть связана с некорректностью данных либо с иной причиной, которую нужно выяснить и устранить.
Если файл был изменен, и пользователь пытается выйти из него каким-либо способом, то появляется запрос о необходимости сохранения данных (рис. 3.59).
Рис. 3.59. Запрос на сохранение данных
Можно сохранить данные («Да»), не сохранять их («Нет») или закрыть окно сообщения и продолжить работу с программой («Отмена»).
Пример расчета
В качестве примера использования программы рассмотрим анализ напряженно-деформированного состояния плоской и объемной ферм.
Подготовка исходных данных
Для подготовки исходных данных необходимо составить модель системы, для чего реальная конструкция разбивается на конечное число элементов (стержней), каждый из которых образован двумя узловыми точками, после чего определяются координаты этих точек. В каждую точку возможно приложить нагрузку, которая представляется в виде проекций на координатные оси. Всю распределенную нагрузку необходимо привести к узловой.
Также необходимо указать условия закрепления каждой узловой точки (есть закрепление, нет закрепления, - по каждой из осей).
Далее указываются все стержни конструкции с номерами узлов крепления каждого стержня, причем первым указывается узел с меньшим номером а также площадь поперечного сечения и модуль упругости материала каждого из стержней. В первом приближении принимаем площадь стержней 10 см2, модуль упругости - 2100000 кгс/см2.
Расчет стержневых конструкций рассмотрен на примере плоской и объемной ферм.
Расчет плоской фермы
Структура фермы представлена на рис. 3.60, исходные данные - в табл. 3.2 и 3.3 (координаты представлены в метрах, усилия - в кН).
Рис. 3.60. Схема плоской фермы
Таблица 3.2
Данные об узлах
| № | X | Y | Z | Сила X | Сила Y | Сила Z | Опора X | ОпораY | Опора Z |
| 1 | 0 | 0 | 4,5 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 0 | 1,5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 2 | 0 | 0 | 60 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | -20 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 8 | 0 | 1,5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 6 | 8 | 0 | 4,5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 7 | 4 | 0 | 4,5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Таблица 3.3
Данные о связи элементов
| № стержня | Узел 1 | Узел 2 | Площадь | Модуль упругости |
| 1 | 1 | 2 | 10 | 2100000 |
| 2 | 1 | 4 | 10 | 2100000 |
| 3 | 1 | 7 | 10 | 2100000 |
| 4 | 2 | 3 | 10 | 2100000 |
| 5 | 2 | 7 | 10 | 2100000 |
| 6 | 3 | 4 | 10 | 2100000 |
| 7 | 3 | 6 | 10 | 2100000 |
| 8 | 4 | 5 | 10 | 2100000 |
| 9 | 5 | 6 | 10 | 2100000 |
| 10 | 5 | 7 | 10 | 2100000 |
| 11 | 6 | 7 | 10 | 2100000 |
При расчете с помощью программы получены результаты, приведенные в табл.3.4.
Таблица 3.4
Значения усилий в стержнях
| Обозначение стстержня | Усилие, кН |
| 12 | 32.5 |
| 14 | -6.25 |
| 17 | 65.00 |
| 23 | 27.08 |
| 27 | -27.08 |
| 34 | -16.67 |
| 36 | -27.08 |
| 45 | -27.08 |
| 56 | -32.5 |
| 57 | 27.08 |
| 67 | 21.67 |
Таблица 3.5
Значения опорных реакций
| Номер узла | Реакция по X, кН | Реакция по Y, кН |
| 1 | 60 | -28,75 |
| 6 | 0 | 48,75 |
Таблица 3.6
Значения перемещения узловых точек
| Номер узла | Смещение по X, м | Смещение по Y, м |
| 1 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | -0,97 |
| 3 | 0 | 0,13 |
| 4 | 0,43 | 0 |
| 5 | 0,77 | 0 |
| 6 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | -0,35 |
Расчет объемной фермы
Схема фермы представлена на рисунке 3.61, исходные данные - в табл. 3.7 и 3.8 (координаты представлены в метрах, усилия - в кН).
Рис. 3.61. Схема объемной фермы
Таблица 3.7
Данные об узлах
| № | X | Y | Z | Сила X | Сила Y | Сила Z | ОпораX | ОпораY | ОпораZ |
| 1 | 4 | 10 | 3,5 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 0 | 10 | 3,5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 3 | 6 | 10 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 4 | 4 | 5 | 3,5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 5 | 3,5 | 0 | 0 | -15 | 0 | 0 | 0 |
| 6 | 6 | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 4 | 0 | 3,5 | 18 | 24 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 8 | 0 | 0 | 3,5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 9 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 12 | 0 | 0 | 0 |
Таблица 3.8
Данные о связи элементов
| № стержня | Узел 1 | Узел 2 | Площадь | Модуль уругости |
| 1 | 1 | 2 | 10 | 2100000 |
| 2 | 1 | 3 | 10 | 2100000 |
| 3 | 1 | 4 | 10 | 2100000 |
| 4 | 2 | 3 | 10 | 2100000 |
| 5 | 2 | 4 | 10 | 2100000 |
| 6 | 2 | 5 | 10 | 2100000 |
| 7 | 3 | 4 | 10 | 2100000 |
| 8 | 3 | 5 | 10 | 2100000 |
| 9 | 3 | 6 | 10 | 2100000 |
| 10 | 4 | 5 | 10 | 2100000 |
| 11 | 4 | 6 | 10 | 2100000 |
| 12 | 4 | 7 | 10 | 2100000 |
| 13 | 5 | 6 | 10 | 2100000 |
| 14 | 5 | 7 | 10 | 2100000 |
| 15 | 5 | 8 | 10 | 2100000 |
| 16 | 6 | 7 | 10 | 2100000 |
| 17 | 6 | 8 | 10 | 2100000 |
| 18 | 6 | 9 | 10 | 2100000 |
| 19 | 7 | 8 | 10 | 2100000 |
| 20 | 7 | 9 | 10 | 2100000 |
| 21 | 8 | 9 | 10 | 2100000 |
При расчете с помощью программы получены следующие результаты.
Таблица 3.9
Значения усилий в стержнях
| Обозначение стержня | Усилие, кН |
| 12 | -28,9 |
| 13 | -20,73 |
| 14 | -88,28 |
| 23 | 41,68 |
| 24 | -12,35 |
| 25 | 61,07 |
| 34 | 33,03 |
| 35 | -51,35 |
| 36 | 17,14 |
| 45 | 7,71 |
| 46 | -20,73 |
| 47 | -72,21 |
| 56 | 11,91 |
| 57 | 28,81 |
| 58 | 8,57 |
| 67 | 33,03 |
| 68 | -14,67 |
| 69 | 0 |
| 78 | 0 |
| 79 | -20,73 |
| 89 | 11,91 |
Таблица 3.10
Значения опорных реакций
| Номер узла | Реакция по X,кН | Реакция по Y,кН | Реакция по Z,кН |
| 1 | 18 | 88.28 | 18 |
| 2 | 0 | -51.43 | -21 |
| 3 | 0 | -12.86 | 0 |
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 1248; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!