Шаг 1 – Пишем условие дифференцируемости

Теория:

Практика:

Замечание:Сведения из теории нам особо не потребуются, так как разложение напрямую по формуле очень громоздко. Вместо этого нужно пользоваться готовыми разложениями в ряд некоторых функций.

Вот основные разложения вряд Маклорена:

Задание:

, точка

Шаг 1 – Ищем в fтакую подфункцию, которую мы могли бы разложить в ряд

В данном случае есть

Шаг 2 – Приводим нашу функцию к удобному виду для разложения

Точка у нас , это значит, что просто так разложить в ряд Маклорена не удастся (так как там разложение происходит в нуле). Приведем к такому виду, чтобы можно было разложить (как бы) в нуле:

Теперь если x-1 заменить на u, у нас получится разложить в ряд Маклорена, в (u, y) = (0, 0) = (x-1, y), иначе говоря (u, y) = (0,0), при (x,y) = (1,0).

Пользуемся разложением экспоненты:

–это можно уже назвать ответом. Осталось только раскрыть скобки, что сделать рекомендуется.

№4 – Исследовать на экстремум функцию

Теория:

Практика:

Задание:

Шаг 1 – Ищем стационарные точки

Это такие точки, в которых частные производныеz равны нулю, то есть:

Решаем систему из двух уравнений и находим корни.

Учитывая, что знаменатель не равен нулю и логарифм берется от чисел больше нуля, у нас получаются следующие стационарные точки:

Шаг 2 – Смотрим чем являются стационарные точки. Точками минимума или максимума.

Для этого нужно вычислить второй дифференциал zв стационарных точках:

Итак,

Теперь рассмотрим все точки. Подставим каждую из них в получившееся равенство:

в (1; 0) =

У нас получилась квадратичная форма. Составим для нее матрицу:

, если все главные миноры положительны, то форма положительно определена, а значит в этой точке у функции точка минимума. Если же знак главных миноров чередуется, начиная с «-», то форма отрицательно определена иу функции в этой точке точка максимума.

Аналогично с другими точками.

№5 – Найти дифференциал в точке M функции заданной неявно

Практика:

Задание:

Создадим новую функцию уже от трех переменных

Вычислим полный дифференциал :

Так как нужно вычислить дифференциал в точке M, то подставим её:

Так как нужно вычислить именно , товыразим его из формулы выше:

Это ответ.

№6 – Преобразовать уравнение, заменив независимые переменные

Практика:

Задание:

Шаг 1 – Получим uи v

Мы поможем в написании ваших работ!