Операторный метод анализа переходных процессов
ЗАДАНИЯ
2.1. Провести анализ переходного процесса в цепи с одним энергоемким элементом операторным методом. Варианты схем и величины параметров элементов цепей приведены в табл. 1.
2.1.1. Определить заданный ток и напряжения на элементах цепи операторным методом.
2.1.2. Провести анализ полученных результатов, сравнить их с результатами расчета переходного процесса классическим методом.
2.2. Операторным методом провести анализ переходного процесса в цепи с двумя энергоемкими элементами, схема и величины параметров которой заданы в табл. 2.
2.2.1. Операторным методом рассчитать заданный ток в цепи с двумя энергоемкими элементами.
2.2.2. Провести анализ переходного процесса в цепи с двумя энергоемкими элементами и сравнить полученные результаты с результатами анализа классическим методом.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Порядок анализа переходных процессов операторным методом
Анализ цепи до коммутации и определение независимых начальных условий.
Составление операторной схемы замещения цепи после коммутации. Составление операторной схемы замещения цепи производится по схеме замещения цепи для мгновенных значений путем замены каждого идеализированного пассивного элемента его операторной схемой замещения и представления токов и напряжений идеализированных источников тока или напряжения их операторными изображениями.
Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме по операторной схеме замещения цепи любым методом.
|
|
|
Решение уравнений электрического равновесия цепи относительно изображений искомых токов или напряжений.
Определение оригиналов искомых токов и напряжений. Определение оригиналов искомых токов и напряжений производится по таблицам обратного преобразования Лапласа с учетом основных свойств преобразования Лапласа, либо используют теоремы разложения.
2.1. Анализ переходного процесса в цепи с одним энергоемким элементом операторным методом
2.1.1. Определим заданный ток и напряжения на элементах в переходном режиме при замыкании ключа S в цепи с одним энергоемким элементом (рис. 31).
Анализируя процессы в цепи до коммутации, определяем начальное значение тока индуктивности:
Независимое начальное значение тока индуктивности на основании первого закона коммутации также равно нулю: 
.
Составим операторную схему замещения цепи после коммутации (рис. 36).
Рис. 36
Для этого заменим идеализированные пассивные элементы их операторными схемами замещения, ЭДС идеализированного источника напряжения E – операторной ЭДС 
, мгновенные значения токов 
и напряжений 
ветвей – операторными токами 
и напряжениями 
соответственно.
|
|
|
Составим уравнения электрического равновесия цепи в операторной форме используя метод контурных токов:
Решение уравнений электрического равновесия цепи с помощью формул Крамера позволяет определить контурные токи:
Тогда операторные изображения токов ветвей цепи:
, 
, а искомый ток будет равен разности контурных токов:
Операторные изображения напряжений на резисторах 
и 
и катушки индуктивности можно записать на основании закона Ома в операторной форме:
Преобразуем полученные выражения к такому виду, при котором можно непосредственно воспользоваться таблицей обратного преобразования Лапласа (см. прил. 1):
Учитывая, что 
и 
, находим выражения для искомых тока и напряжений на элементах электрической цепи после замыкания ключа S:
2.1.2. Анализ полученных соотношений показывает, что в начальный момент времени ток индуктивности равен нулю, поскольку до коммутации ключ S в цепи (рис. 17) разомкнут, а затем плавно возрастает достигая 2 А. Величину тока индуктивности ограничивает резистор . Ток второй ветви после коммутации скачком изменяется до 3 А, а затем плавно уменьшается до 2 А.
|
|
|
Ток 
после замыкания ключа S скачком достигает значения 
. С ростом тока индуктивности, ток 
начинает увеличиваться, поскольку к резистору 
параллельно подключается ветвь с резистором и индуктивностью 
и при 
, ток 
достигает максимального значения. Так как сопротивление резисторов и равны, то в установившемся режиме токи второй и третьей ветвей равны 2 А, при этом сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю.
Напряжение на индуктивности в начальный момент времени скачком изменяется от нуля до 
=60В, а затем по экспоненте стремится к нулю. Индуктивность в цепи ведет себя подобно идеализированному источнику тока, в начальный момент ток этого источника равен нулю и в этом случае третью ветвь можно считать разомкнутой.
Результаты полученные операторным методом полностью совпадают с результатами расчета цепи классическим методом.
2.2. Анализ переходного процесса в цепи с двумя энергоемкими элементами операторным методом
2.2.1. Операторным методом рассчитаем ток второй ветви 
цепи (рис. 17) при замыкании ключа S. Величины параметров элементов и искомая реакция цепи приведены в таблице 5.
Проведем анализ цепи до коммутации и определим независимые начальные условия: ток индуктивности 
и напряжение на конденсаторе 
.
|
|
|
Изобразим операторную схему замещения цепи после коммутации (рис. 37), для этого заменим идеализированные пассивные элементы их операторными схемами замещения, ЭДС идеализированного источника напряжения 
- операторной ЭДС , мгновенные значения токов и напряжений ветвей их операторными изображениями и соответственно.
Рис. 37
Составим уравнение электрического равновесия цепи в операторной форме методом двух узлов:
Определим операторный ток второй ветви
(14)
Изображение тока второй ветви можно записать в виде отношения двух полиномов от 
, не имеющих общих корней
(15)
причем степень полинома 
выше, чем степень полинома 
, а уравнение 
не имеет кратных корней, то для перехода от изображения к оригиналу можно воспользоваться теоремой разложения:
, (16)
где 
- корни уравнения .
Поскольку знаменатель уравнения (14) имеет один корень равный нулю, т.е. 
, то для нахождения оригинала тока воспользуемся другой формулой теоремы разложения:
(17)
Подставим численные значения в уравнение (14).
Запишем
и значения функций и 
при 
Найдем корни уравнения
.
Вычислим производную и ее значения при 
и 
Определим 
при и :
Подставим полученные значения в формулу
Сумма, соответствующая последним двум слагаемым, равна удвоенному значению действительной части, найденной для одного из корней .
2.2.2. Анализ переходного процесса в разветвленной цепи с двумя энергоемкими элементами (рис. 17) операторным и классическим методами показал, что переходный процесс в ней носит колебательный характер. Полученные результаты не зависят от метода расчета, однако трудоемкость расчета различными методами не эквивалентна. В классическом методе нахождение постоянных интегрирования при высоком порядке сложности цепи затруднительно. В операторном методе при переходе от изображения искомой функции к ее оригиналу необходимо применять дополнительно теорему разложения, поскольку изображение функции имеет сложный вид, не имеющий табличных значений (см. прил. 1). Все же операторный метод проще и его эффективнее использовать при анализе цепей высокого порядка и сложном внешнем воздействии.
Ток второй ветви представляет собой сумму постоянной составляющей и затухающую гармоническую функцию (точнее, квазигармоническую функцию), амплитуда которой экспоненциально уменьшается во времени. Колебательный характер переходного процесса в цепи связан с периодическим обменом энергией между емкостью и индуктивностью, а затухание колебаний связано потерями энергии в сопротивлениях цепи. Характер переходного процесса определяется расположением корней характеристического уравнения 
и 
в плоскости комплексного переменного (рис. 38) корни характеристического уравнения 
расположены симметрично относительно действительной оси в левой полуплоскости на полуокружности с радиусом, численно равным резонансной частоте 
последовательного колебательного контура, образованного третьей ветвью.
Рис. 38
Поскольку коэффициент затухания 
, (корни характеристического уравнения близко расположены к мнимой оси и различие между 
и невелико), то колебания медленно затухают в цепи и ток стремится к постоянному значению равного 1А.
Основные положения данного раздела рассмотрены в литературе 
.
Дата добавления: 2015-12-21; просмотров: 17; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!