Функция распределения вероятностей

Случайной величины

Функция распределения вероятностей используется как способ задания случайной величины и как средство описания случайной величины.

Определение. Функция распределения вероятностей случайной величины X – функция , определяющая вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше, чем x, т.е.

называется также интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины X.

Эта формула выражает связь между двумя разделами математики: математическим анализом и теорией вероятностей, между функциями действительных переменных и случайными величинами, она дает возможность для вычисления вероятности появления случайной величины (вероятности появления события) применять аппарат математического анализа.

Геометрическая иллюстрация.

Изобразим Х точкой на числовой оси, лежащей левее некоторой точки x. Очевидно, вероятность того, что некоторая точка будет находиться левее x, зависит от расположения точки x, т.е. является функцией аргумента x.

Замечание: Для дискретной случайной величины, которая может принимать значение , ,…, , функция распределения имеет вид

(эта запись означает, что суммируются вероятности всех тех значений , величина которых меньше x).

Задача.2. Дискретная случайная величина задана рядом распределения

	-2
	0,1	0,2	0,4	0,3

Записать функцию распределения случайной величины X, построить ее график.

Решение.

При ,

На основании полученных результатов построим график функции

Рис. 10.

Из рис. 10 видно, что

– разрывная, имеет четыре скачка

по числу принимаемых случайной величиной X значений. Если увеличивать число значений случайной величины с одновременным уменьшением интервалов между ними, то дискретная случайная величина будет приближаться к непрерывной, а ее функция распределения – к непрерывной функции (рис. 11).

Рис.11.

Свойства функции F(x).

1. .

2. F(x) – неубывающая функция, т.е., если , то

Из свойства 2 следует:

1) вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее полуинтервалу равна разности значений функции распределения на концах этого полуинтервала . Причем, если F(x) – непрерывная функция, то (т.е. вероятность того, что НСВ X примет значение, принадлежащее полуинтервалу, интервалу, отрезку с одними и теми же концами, одинакова;