Интегралы от простейших рациональных дробей вида

a) при

(так как )

, где .

Заметим, что и , т.к. трёхчлен имеет только комплексно сопряжённые корни.

b) при

(где , (используем рассуждения из пункта a))

.

Вычислим

(далее используем формулу интегрирования по частям)

Таким образом, мы получили рекуррентную формулу

, (3)

т.е. формулу, по которой каждый последующий интеграл вычисляется через предыдущий . Поэтому нам достаточно найти , чтобы мы могли вычислить любой следующий интеграл. - табличный интеграл: .

Возвращаясь к нашему случаю, получаем, что при

, где находится по рекуррентной формуле (3) с помощью .

Используя все вышеприведенные рассуждения, приходим к следующему выводу.

Теорема. Всякая рациональная дробь интегрируется в элементарных функциях.

(Другими словами: интеграл от любой рациональной функции выражается через логарифмическую функцию, арктангенс и рациональную функцию).