Интегралы от простейших рациональных дробей вида
(1) вычисляются следующим образом:
a) при ;
b) при .
(2) вычисляются следующим образом:
a) при
(так как )
, где .
Заметим, что и , т.к. трёхчлен имеет только комплексно сопряжённые корни.
b) при
(где , (используем рассуждения из пункта a))
.
Вычислим
(далее используем формулу интегрирования по частям)
Таким образом, мы получили рекуррентную формулу
, (3)
т.е. формулу, по которой каждый последующий интеграл вычисляется через предыдущий . Поэтому нам достаточно найти , чтобы мы могли вычислить любой следующий интеграл. - табличный интеграл: .
Возвращаясь к нашему случаю, получаем, что при
, где находится по рекуррентной формуле (3) с помощью .
Используя все вышеприведенные рассуждения, приходим к следующему выводу.
Теорема. Всякая рациональная дробь интегрируется в элементарных функциях.
(Другими словами: интеграл от любой рациональной функции выражается через логарифмическую функцию, арктангенс и рациональную функцию).
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 12; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!