Случайные величины.

Дискретная случайная величина (ДСВ):

X принимает изолированные числовые значения x 1, x 2,....;

- ряд распределения ДСВ – это таблица вида:

xi	x 1	x 2	....
Pi	P 1	P 2	...

при этом

- многоугольник распределения – это ломаная, соединяющая точки ();

- интегральная функция F (x) = P (X < x) = F (a) + P (a ≤ X < x) представляет собой ступенчатую кривую;

- математическое ожидание ДСВ определяется формулой ;

- свойства: M (С) = C, M (hX + C) = h ∙ M (X) + C;

- дисперсия D (X) = M (X − M (X))² = M (X ²) − M ²(X);

- расчетные формулы: D (X) ;

- свойства: D (X) ≥ 0, D (0) = 0, D (h ∙ X + c) = h ² ∙ D (X);

- среднее квадратическое отклонение ;
Основные виды распределений ДСВ.

1. Геометрическое: X = k = 1, 2, 3...

2. Распределение Бернулли (биноминальное): X = k = 0, 1, 2,....., n

M (X) = n ∙ p, D (X) = n ∙ p ∙ q, ;

3. Распределение Пуассона: X = k = 0, 1, 2,..., n

M (X) = a, D (X) = a,

Непрерывная случайная величина (НСВ):

X принимает числовые значения ;

- плотность (дифференциальная функция) распределения вероятностей:

- интегральная функция распределения:

F (x) = P (X < x) = , при этом ;

- вероятность попадания НСВ в интервал

P (α < X < β) = F (β) – F (α) =

- математическое ожидание M (X) =

- дисперсия D (X)

- среднее квадратическое отклонение .

Основные виды распределений НСВ:

1. Равномерное распределение в интервале (a, b)

при

при a x b,

при ,

M (X) = D (X) = , ;

1. Показательное распределение

при

M (X) = , D (X) = ,

2. Нормальное распределение

F (x) = 0.5 + Ф(), где Ф(z) = – функция Лапласа (ее значения имеются в приложениях учебников по теории вероятностей);

M (X) = a, D (X) = , ,

P (α < X < β) = Ф – Ф .

Примеры.

1. Из разрезной азбуки сложено слово МАМА, затем рассыпано и сложено случайным образом. Найти вероятность того, что снова получится слово МАМА.

P = , n = P 4= 4! = 24, m = 2! ∙ 2! = 4 => P = = = 0.17.

2. Четыре человека, среди которых двое знакомых, случайным образом рассаживаются в ряд, состоящий из шести стульев. Какова вероятность того, что знакомые окажутся рядом сидящими?

n = , m = (4∙2 + 2) ∙ = P = = . 3. Из группы, состоящей из 4 студенток и 7 студентов, случайным образом отбираются 5 человек. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется ровно 2 студентки?

, .

4. Из урны, в которой находятся 5 красных, 2 синих и 4 желтых шара наудачу без возвращения в урну извлекаются:

1. 7 шаров. Найти вероятность того, что среди этих шаров окажется ровно 3 красных;

2. 2 шара. Найти вероятность того, что:

а) это будут желтые шары;

б) эти шары будут одного цвета;

в) эти шары будут разного цвета;

г) среди этих шаров будут хотя бы один красный;

3. 3 шара. Найти вероятность того, что:

а) эти шары будут одного цвета;

б) эти шары будут разных цветов;

в) взятый из них наудачу один шар окажется желтым;

4. 2 шара и они оказались одного цвета. Найти вероятность того, что это красные шары.

Решение.

1. В урне 5 красных и 6 некрасных шаров

2. a) P (ж и ж) = = 0.11.

б) P (к и к или с и с или ж и ж) =

в) Для двух шаров событие «шары разного цвета» противоположно

событию «шары одного цвета» => P (в) = 1 − P (б) = 1 – 0.31 = 0.69.

г) Считаем, что в урне 5 красных и 6 некрасных шаров и найдем

P (A) = 1 – P () = 1 – P (н и н) = .

3. а) Р (к и к и к или с и с и с или ж и ж и ж) = = 0.085.

б) P (к, ж, с) = = 0.24

Примечание. Множитель 3! Соответствует числу перестановок 3-х элементов.

в) Решим задачу по формуле полной вероятности. В урне находятся 4 желтых и 7 нежелтых шаров. Событие А – желтый шар из 3-х.

Гипотезы: H 1– 3 желтых шара;

H 2 – 2 желтых и 1 нежелтый;

H 3 − 1 желтый и 2 нежелтых;

H 4 – 3 нежелтых.

Контроль

4. Считаем, что в урне 5 красных и 6 некрасных шаров. Событие А – шары одного цвета.

Гипотезы:

Н ₁ – 2 красных шара;

Н ₂ – 2 некрасных шара;

Н ₃ – 1 красный и 1 некрасный.

Надо найти . По формуле Байеса .

Контроль

5. В урне находятся 5 красных и 8 синих шаров. Шар извлекается и возвращается в урну 4 раза. Найти вероятность того, что красный шар появится:

а) ровно 3 раза; б) не менее 2-х раз.

Для решения задачи применяем формулу Бернулли ,

а)

б)

6. Из урны, содержащей 7 синих и 8 желтых шаров наудачу извлекаются 4 шара. Построить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины равной числу синих шаров среди извлеченных 4-х шаров.

Значение случайной величины

Найдем их вероятности:

Проверим свойство ряда: .

X_k
P_k

Итак, ряд распределения Х:

Математическое ожидание

7. Дискретная случайная величина Х с известным математическим ожиданием М (Х) = 3.7 задана рядом распределения:

X_i
P_i	0.1	р ₂	0.2	р ₄	0.2

Требуется:

а) найти p ₂ и p ₄;

б) построить многоугольник распределения;

в) построить интегральную функцию F (x) и ее график;

г) вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение:

а) найдем из условий и

Получим систему уравнений:

X_i	− 6	− 1
P_i	0.1	0.1	0.2	0.4	0.2

б) для ряда распределения:

строим многоугольник распределения:

в) интегральную функцию строим с помощью свойства :

при
при
при
при
при
при

г) дисперсия .

(по условию) и

среднее квадратическое отклонение .

8. Задана дифференциальная функция (плотность) распределения

Найти:

а) параметр ;

б) интегральную функцию ;

в) математическое ожидание и дисперсию ;

г) вероятность события .

Решение:

а) из условия

тогда

б)

При построении воспользуемся свойством

При
при
при	.

в) .

г) .

9. На запуск двигателя тратится в среднем 2.5 попытки. Считая, что вероятность запуска в каждой попытке одинакова, найти вероятность запуска двигателя не более, чем за 3 попытки.

Здесь имеет место геометрическое распределение случайной величины Х равной числу попыток до запуска двигателя, причем . Тогда из и .

10. Случайная величина Х имеет биномиальное распределение (распределение Бернулли) с математическим ожиданием и дисперсией . Найти вероятность события .

Для биномиального распределения ,

получим систему уравнений:

, тогда и .

Искомую вероятность находим с помощью формулы Бернулли.

11. Для случайной величины Х, имеющей распределение Пуассона вероятность события равна 0.4. Найти вероятность события .

Из формулы для ,

Тогда

12. Случайная величина Х имеет равномерное распределение в интервале , причем и . Найти вероятность события .

Для равномерного распределения , .

По условию

. Для и интегральная функция имеет вид:

13. Случайная величина Х имеет показательное распределение и при этом численно . Найти вероятность события .

Из формул , или .

Тогда и интегральная функция будет:

14. Методами математической статистики установлено, что для данного региона роста призывников в ряды вооруженных сил имеют нормальное распределение с параметрами . Найти ожидаемое число призывников 3-го роста из 1000 человек.

Отметим, что третий рост соответствует интервалу (167, 173).

По формуле получим

Тогда ожидаемое число призывников третьего роста

человек.

Примечание: значения и взяты из таблицы значений функции Лапласа .

Дата добавления: 2016-01-04; просмотров: 345; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!