Определение скорости и ускорения точки вращающегося тела.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Скорость точки тела		Ускорение точки тела
	Модуль скорости точки тела: , где w - модуль угловой скорости тела, h – рас-стояние от точки до оси вращения тела. Вектор скорости точки перпендикулярен отрезку длины h и направлен в сторону поворота тела.		Полное ускорения имеет составляющие по осям: касательной ( ) и главной нормали ( ) в данной точке. Составляющие вычис-ляются исходя из того, что траектория точки – окруж-ность. Модуль касательного ускорения точки где e - модуль углового ускорения тела, h – рас-стояние от точки до оси
	Скорости точек прямо пропорциональны рас-стояниям от точек до оси Вращения тела: . .	вращения тела. Вектор cовпадает по направлению с вектором скорости точки, если вращение тела ускоренное ( , здесь и – алгебраические величины) и направлен в сторону, противоположную , если вращение тела замедленное ( ). Модуль нормального ускорения точки , где w - модуль угловой скорости тела. Вектор направлен от точки к оси вращения тела, перпендикулярно этой оси. Так как , то .

Скорости точек вращающегося тела в данный момент времени различны по величине и направлению; ускорения точек тела также различны по величине и направлению.

Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Простые движения твердых тел: поступательное движение тела, вращение тела вокруг неподвижной оси».

Вопросы, на которые следует обратить внимание и выучить:

1. Признак поступательного движения (определение): любая прямая, принадлежащая телу, остается параллельной своему первоначальному положению.

2. Основная теорема о траекториях, скоростях и ускорениях точек поступательно движущегося тела.

3. Задание поступательного движения тела.

4. Признак вращательного движения (определение).

5. Задание вращательного движения тела (уравнение движения).

6. Определение модуля и направления угловой скорости и углового ускорения тела; физический смысл этих векторов.

7. Определение характера вращения тела (ускоренное при >0 и замедленное при < 0; здесь , - алгебраические значения угловой скорости и углового ускорения тела);

8. Определение модуля и направления скорости и ускорения точки вращающегося тела.

Пример К2. Уравнение движения груза 1 (рис. К2): ; он приводит в движение звено 2; движение затем передается звеньям 3 и 4. Проскальзывание между телами отсутствует. Известно, что . Время t задано в секундах, длины – в метрах.

При t=1c определить угловые скорости и тел 2 и 3 соответственно; угловое ускорение тела 3, скорость движения рейки 4, скорость и ускорения и точки A. Векторы , , , построить на рисунке.

Рис . К2.

Решение. Поступательное движение груза 1 преобразуется во вращательное движение звена 2 (ось вращения перпендикулярна рисунку), затем во вращательное движение звена 3, которое преобразуется в поступательное движение рейки 4 (рис. К2). Отметим на рис. К2 точки контакта одного тела с другим: точка K (груз - трос), точка B (трос - звено 2), точка D (звено 2 - звено 3), точка M (звено 3 - звено 4).

Проскальзывание в точках контакта отсутствует, следовательно, скорости соприкасающихся точек равны. Это равенство скоростей является основным при решении данной и следующей задач.

Будем называть ведущим звеном то звено, движение которого задано. С рассмотрения ведущего звена начинаем решение задачи. В данной задаче это груз 1. Ведущим могло бы быть и любое другое звено – в кинематике это существенного значения не имеет.

По условию, уравнение движения груза 1

(1)

Из (1) находим скорость этого груза

. (2)

При t=1c = 1 м/c и вектор направлен по вертикали вниз.

Рассмотрим точку В .

Так как эта точка принадлежит вертикальной части троса BK, то

;

с другой стороны, точка B принадлежит вращающемуся телу 2; следовательно,

Для получено два соотношения

Сравнивая эти соотношения, находим

(3)

при t =1c ; для использована формула (2).

Укажем на рис. К2 вектор ; он направлен так же, как вектор ; в то же время вектор и направлен в сторону поворота тела 2. Тело 2, следовательно, вращается по ходу часовой стрелки.

Рассмотрим точку D.

Сравнив эти соотношения, найдем

Подставляя в последнее выражение данные задачи и используя (3), получим

(4)

Установим направление поворота тела 3. Скорость точки D перпендикулярна DO₂ и направлена в сторону поворота тела 2. Этот вектор и покажет направление поворота тела 3 – против хода часовой стрелки. Изобразим вектор на рис. К2 и заметим, что согласно теории .

Рассмотрим точку M.

Сравнив эти соотношения, найдем

Подставляя в последнее уравнение данные из (4), получим

; (5)

при t =1с м/с.

Вектор направлен перпендикулярно MO₃ в сторону поворота тела 3, следовательно, вектор направлен вниз.

Рассмотрим точку A.

Точка A принадлежит звену 3, которое вращается вокруг оси O₃, следовательно, для нахождения и надо определить угловую скорость тела и угловое ускорение тела. Зависимость угловой скорости от времени найдена выше (4). Определяем угловое ускорение:

В момент времени t=1c Знаки и разные, следовательно, вращение тела 3 замедленное.

Определим расстояние от точки до оси :

м ;

после чего находим:

м/с; вектор и направлен в сторону поворота тела 3 ;

м/с²; вектор направлен вдоль АО₃ к центру O₃;

м/с²; вектор и направлен в сторону, противоположную повороту тела 3 (замедленное вращение тела).

Векторы , , строим на рис. К2 в точке A. Можно вычислить и построить на рис. К2 вектор . Это рекомендуется сделать самостоятельно. Так как , то

Ответ: при t=1c

,- вращение по ходу часовой стрелки;

,- замедленное вращение против хода часовой стрелки;

м/с - движение по вертикали вниз;

м/с, вектор и направлен в сторону поворота тела 3;

м/с², вектор направлен по АО₃ к центру ;

м/с², вектор и направлен в сторону, противоположную вектору , так как вращение тела замедленное.

Рассмотрим теперь ременную передачу движения. Методика решения задачи при этом не меняется, но необходимо отразить дополнительным кинематическим уравнением тот факт, что в передаче движения от тела 1 к телу 2 участвует ремень.

Пример К2 ¢ . Колесо 1 вращается вокруг неподвижной оси O₁ с угловой скоростью

с^-1, (6)

направление поворота указано на рис. К2¢.

Рис . К2 ¢ .

Определить угловую скорость колеса 2 и скорость груза 3 в произвольный момент времени t. Радиусы колес , , известны. Проскальзывание ремня отсутствует.

Решение. Вращательное движение ведущего звена 1 преобразуется во вращательное движение звена 2, а затем в поступательное движение груза 3. Точки контакта (рис. К2¢): A (звено 1 - ремень), B (ремень - звено 2), D (звено 2 - трос DK), K (трос - звено 3).

Рассмотрим точки A и B.

Сравнив эти соотношения, найдем:

(7)

Направление поворота тела 2 покажет вектор , который совпадает с вектором . Тело 2 вращается против хода часовой стрелки.

Рассмотрим точки D и K.

Сравнив эти соотношения, найдем

Подставляя в последнее выражение значение (формула (7)), получим

Вектор совпадает по направлению с вектором . Последний перпендикулярен DO₂ и направлен в сторону поворота тела 2. Следовательно, груз 3 поднимается.

Ответ :

Задача решена в общем виде, но даже в этом случае при построении векторов на рисунке следует соблюдать соотношения "больше-меньше-равно". Например, на рис. К2¢ .

Число вопросов в задаче может быть больше, но если освоена методика решения, то это не вызовет затруднений. Найдите самостоятельно, например, , .

Примечание: теория вращательного движения твердого тела будет применена также в задачах К3 и К4 (cм. ниже).

Дата добавления: 2022-12-03; просмотров: 34; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 23

Мы поможем в написании ваших работ!