Кинематика точки ( краткие сведения из теории)

Таблица С3

Сила
Номер условия	F₁ = 4 кH		F₂ = 6 кH		F₃ = 8 кH		F₄ = 10 кH
Номер условия	Точка прилож.	, град.	Точка прилож.	, град.	Точка прилож.	, град.	Точка прилож.	, град.
0	D	60	-	-	E	0	-	-
1	H	90	D	30	-	-	-	-
2	-	-	E	60	-	-	D	90
3	-	-	-	-	E	30	H	0
4	E	0	-	-	H	60	-	-
5	-	-	D	60	H	0	-	-
6	-	-	H	30	-	-	D	90
7	E	30	H	90	-	-	-	-
8	-	-	-	-	D	0	E	60
9	-	-	E	90	D	30	-	-

Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Произвольная пространственная система сил».

Вопросы, на которые следует обратить внимание и выучить:

1. Момент силы относительно оси, его вычисление. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю? Объясните каждый случай, опираясь на правило вычисления.

2. Какая система сил называется пространственной (произвольной пространственной)?

3. Сформулируйте и запишите уравнения: условия равновесия пространственной системы сил в векторной и алгебраической (координатной) формах.

Пример С3. Вертикальная прямоугольная плита весом Р (рис. C2) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим (подшипником) в точке В и невесомым стержнем DD', лежащим в плоскости, параллельной плоскости yz. На плиту действуют сила (в плоскости xz), сила , (параллельная оси у)и пара сил с моментом М (в плоскости плиты).

Дано: Р= 5 кН, М= 3 кН ×м, F₁= 6 кН, F₂ = 7,5 кН, а = 30°, AВ = 1 м, ВС= 2 м, СЕ = 0,5 АВ, ВК = 0,5 ВС. Определить : реакции опор А, В и стержня DD'.

Решение. Рассмотрим равновесие плиты. На нее действуют:

а) активные силы и пара сил, момент которой М;

б) реакции связей: реакцию сферического шарнира A разложим на три составляющие , цилиндрического шарнира (подшипника) B – на две составляющие (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника), реакцию стержня направим вдоль стержня, предполагая, что он растянут.

Силы, приложенные к плите, образуют пространственную систему сил. Составляем уравнения ее равновесия:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Для определения момента силы относительно оси y раскладываем на составляющие и , параллельные осям х и z ( ), и применяем теорему Вариньона (относительно оси). Аналогично можно поступить при определении моментов реакции .

Подставив в уравнения (1)-(6) числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, найдем величины реакций связей.

В своей задаче систему уравнений (1)-(6) следует решить полностью и с пояснениями. Сделайте проверку, например, составив уравнение моментов относительно оси x₁, проведенной параллельно оси x.

Ответ: Х_А = -5,2 кН, Y_A = 3,8 кН, Z_A = 28,4 кН, Y_B = -7,5 кН, Z_B = -12,4 кН, N = 14,5 кН, Знаки указывают, что силы , и направлены противоположно показанным на рис. C2.

Вопросы для самоконтроля по статике

1. Предмет статики. Основные понятия статики (абсолютно твердое тело, сила, эквивалентные и уравновешенные системы сил, равнодействующая, внешние и внутренние силы). Аксиомы статики. Теорема об уравновешивании двух сходящихся сил третьей силой.

2. Несвободное твердое тело. Связи и реакции связей, виды связей.

3. Проекция силы на ось и на плоскость.

4. Система сходящихся сил. Геометрический и аналитический (координатный) способы нахождения равнодействующей. Условия равновесия системы сходящихся сил в векторной, графической и аналитической формах.

5. Алгебраический момент силы относительно точки. Момент силы относительно центра как вектор.

6. Момент силы относительно оси; случаи равенства нулю этого момента.

7. Пара сил. Алгебраический момент пары сил. Момент пары сил как вектор.

8. Условие эквивалентности пар сил (без доказательства). Свойства пары сил.

9. Теорема о параллельном переносе силы.

10. Приведение произвольной системы сил к данному центру. Главный вектор и главный момент системы сил и их нахождение.

11. Частные случаи приведения системы сил к центру (равнодействующая, пара сил, динамический винт) (без доказательства).

12. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей силы относительно центра и оси (без доказательства).

13. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил в векторной и аналитической (координатной) формах.

14. Частные случаи уравнений равновесия (плоская система сил, система параллельных сил на плоскости и в пространстве).

КИНЕМАТИКА

В кинематике рассматривается движение точек, тел и механических систем без учета действующих сил (геометрия движения).

В отличие от статики, темы задач разные; поэтому краткие сведения из теории помещены в каждой задаче.

Задача К1

(тема : “Кинематика точки ”)

Под номером К1 помещены две задачи К1а и К1б.

Задача К1а . Точка В движется в плоскости ху (рис. К1.0-К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: х= f₁ (t), у = f₂ (t), где х и у выражены в сантиметрах, t – в секундах (координатный способ задания движения точки). Зависимость х=f₁ (t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость у = f₂ (t) дана в табл. К1.

Найти уравнение траектории точки, а для момента времени t₁ = 1с определить координаты, скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Выполнить чертеж, на котором построить траекторию точки, отметить положение точки при t₁ = 1с и в этом положении построить все найденные векторы.

Задача К1б . Точка движется по дуге окружности радиуса по закону , заданному в таблице К1 (s – в метрах, t – в секундах), где – расстояние точки от некоторого начала A, измеренное вдоль дуги окружности (естественный способ задания движения точки). Определить скорость, нормальное, касательное и полное ускорение точки в момент времени . Изобразить на рисунке векторы , , , , считая, что точка в этот момент находится в положении M, а положительное направление отсчета s – от A к M. Установить характер движения точки по траектории при (ускоренное или замедленное).

Таблица К1

Номер условия
Номер условия	Рис. 0-2	Рис. 3-6	Рис. 7-9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются скорость, касательное и нормальное ускорения точки при естественном способе задания ее движения.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁ = 1 с. В некоторых вариантах задачи К1а при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы: cos 2a= 1 – 2sin²a = 2 cos²a- 1; sin 2a = 2sin a×cos a.

В задаче К1а чертеж следует выполнить на клетчатой или миллиметровой бумаге, указав масштабы длины, скорости и ускорения.

Рис . К1 .0	Рис . К1 .1	Рис . К 1.2
Рис . К 1.3	Рис . К1 .4	Рис . К1 .5
Рис . К 1.6	Рис . К1 .7	Рис . К 1.8

Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Кинематика точки».

Вопросы, на которые следует обратить внимание и выучить:

1. Что означает задать движение точки?

2. Три основных способа задания движения точки (векторный, координатный, естественный).

3. Объясните, как в каждом из способов задать движение точки (уравнения движения);

4. Как определяются траектория точки, ее скорость и ускорение (величина и направление) в каждом способе?

5. Поясните, как строятся естественные оси (в какой точке находится начало координат, каково направление каждой оси);

6. Каков физический смысл векторов ;

7. Поясните, как определить характер движения точки по траектории (ускоренное или замедленное).

Кинематика точки ( краткие сведения из теории)

Задать движение точки - это значит указать способ, позволяющий определить положение точки в любой момент времени относительно выбранной системы отсчета.

Три основных способа задания движения точки: векторный, координатный, естественный.

Способ задания движения точки.	Задание движения. Уравнения движения точки.	Определение траектории точки.	Определение скорости точки ( ).	Определение ускорения точки ( ).
Векторный способ	- радиус-вектор, проведенный из не- подвижного центра O в точку M, которая движется. - уравнение движения точки в векторной форме.	Траектория точки - геометрическое место концов радиуса-вектора , следящего за движе-нием точки (линия, которую движу-щаяся точка описы-вает в простран-стве).	; направлен вектор по касатель- ной к траектории в данной точке в сто- рону движения точки. характеризует быстроту изменения по величине и направлению.	Вектор характеризует быстроту изменения по величине и направ-лению. ; Вектор направлен в сторону вогнутости траектории, расположен в соприкасающейся плоскости. Если точка при движении остается в плоскости, то вектор лежит в этой плоскости.

Координат- ный способ

уравнения

движения

точки M в координат- ной форме.

Траектория точки - это линия, которую описывает точка при движении. Уравнение линии получим, исключив параметр t из урав-нений движения; или строим линию по точкам, подстав-ляя значения t в уравнения движе-ния.

Уравнения движения позволяют определить проекции

на оси, затем величину и на-правление.

;

; модуль:

;

Проекции

на координатные оси:

;

; модуль:

;

Естествен- ный способ

Траектория известна заранее и считается криволинейной осью s. На траекто-рии указано начало отсчета коорди- наты s (ноль 0), на- правление отсчета s (+, -);

- уравнение (закон) движения точки по траектории.

Траектория известна.

; если

, то точка движется в сторону положитель-ных значений s ; если

, - точка движет-ся в сторону отрица-тельных значений s; вектор

направлен по касательной к траектории в данной точке.

Естественные оси: начало осей в том месте, где находится движу-щаяся точка М. Ось

направлена по касательной к траектории. Ось n - главная нормаль -

к оси

, расположена в соприкасающейся плоскости; направлена в сторону вогнутости траектории. Ось b - би- нормаль -

к плоскости

Проекции

на естественные оси:

;

; при

вектор

направлен в сторону положительных значений s;

- радиус кривизны траектории в точке М. Если знаки

и V совпадают, то движение точки ускоренное, в противном случае - замедленное.

;

Пример К1 a . Уравнения движения точки в плоскости заданы координатным способом и имеют вид:

, (1)

, (2)

где время t задано в секундах, координаты x, y – в метрах.

Найти: уравнение траектории точки; положение точки на траектории при (начальное положение) и при c; скорость точки; ускорение точки; касательное , нормальное ускорения точки и радиус кривизны траектории при c. В каждом пункте выполнить соответствующие построения на рисунке.

Решение. 1. Найдем уравнение траектории, исключив из (1) и (2) параметр t – время. Способ исключения t зависит от вида функций в правых частях (1), (2). В данном случае найдем из (1), (2) соответственно

Возводя полученные соотношения в квадрат, после этого складывая их и учитывая, что , найдем:

Из этого уравнения следует, что траекторией точки является эллипс, полуоси которого равны 4 м и 6 м, а центр имеет координаты (0, 0).

Выберем масштаб координат и выполним рисунок. Следует заметить, что приведенный рисунок (Рис. К1а) имеет вид, соответствующий уже окончанию решения; свой рисунок рекомендуется делать по мере продвижения решения. Это позволяет контролировать получаемые результаты и делает их более наглядными.

2. Находим положение точки при , подставляя это значение t в (1) и (2):

3. Находим положение точки при , подставляя это значение t в (1) и (2):

Указываем на рисунке точки и , учитывая масштаб координат.

4. Найдем скорость точки. Из теории следует, что при координатном способе задания движения определяются сначала проекции скорости на оси координат. Используя (1) и (2) – уравнения движения точки – находим

, (3)

. (4)

Модуль скорости . Подставляя сюда (3), (4), получим

. (5)

При с : , ,

. (6)

Выберем масштаб для скоростей (рис. К1а), проведем в точке M₁ линии параллельные осям x и y, и на этих линиях в масштабе скоростей отложим отрезки: 5,44 по оси x и - 4,71 по оси y, что соответствует величинам и знакам найденных проекций вектора скорости. На этих составляющих строим параллелограмм (прямоугольник), диагональ которого по величине и направлению соответствует вектору . Проверьте следующее: длина построенного вектора должна получиться равной найденному значению (с учетом масштаба скоростей). Вектор направлен по касательной к траектории в точке и показывает направление движения точки по траектории.

Масштаб длины: _____ =1м, скорости ___ =1м/с, ускорения: __ =1м/с² Рис . К 1а.

В точке

именно сейчас построим естественные оси: касательную

и главную нормаль

(эти оси потребуются позже). Каса-тельную

проводим вдоль

; главную нормаль

проводим перпендикулярно

в плоскости рисунка и направляем к центру кривизны траектории в точке

(в сторону вогнутости траектории).

5. Находим ускорение точки, используя (3), (4):

, (7)

. (8)

Модуль ускорения . Из (7), (8) получим

. (9)

Подставляя в (7) - (9) , найдем

, ,

. (10)

В точке строим в масштабе проекции ускорений , учитывая их величины и знаки, а затем строим вектор ускорения . Построив , следует проверить, получилось ли на рисунке (c учетом масштаба ускорений), и направлен ли вектор в сторону вогнутости траектории (вектор проходит через центр эллипса, но это есть особенность данной задачи, связанная с конкретным видом функций (1) и (2)).

6. Находим касательное ускорение , характеризующее изменение модуля .

Учитывая (5), получим .

При

. (11)

Касательное ускорение можно также найти, дифференцируя по времени равенство Получим

, откуда следует

Нормальную составляющую ускорения, характеризующую изменение направления , можно найти по формуле

, (12)

если - радиус кривизны траектории заранее известен, или (учитывая, что, и, следовательно, ) по формуле

. (13)

Так как в данной задаче радиус заранее неизвестен, то используем (13). Подставляя (10), (11) в (13), получим

. (14)

Вернемся к рис. К1а. Ранее на этом рисунке вектор был построен по составляющим , . С другой стороны, этот вектор можно разложить на составляющие по естественным осям и (пользуясь правилом параллелограмма). Выполним это разложение и построим на рисунке векторы и . Далее следует провести проверку: с учетом масштаба ускорений определить по рисунку величины , и убедиться, что они совпадают с (11), (14).

Заметим, что движение точки ускоренное, т.к. направления векторов и совпадают (рис. К1а).

Найдем радиус кривизны , используя (12), откуда следует, что . Подставляя в последнее соотношение и из (6) и (14), получим радиус кривизны траектории в точке : . Отложим на рисунке от точки по оси отрезок длины (в масштабе длин); полученная точка есть центр кривизны траектории в точке .

Объединяя полученные результаты, запишем

Ответ :

1. траектория точки - эллипс, имеющий уравнение ;

4. ;

5. ;

6. ; ;

Обсудим некоторые особенности и частные случаи, которые могут встретиться в задачах.

Если траектория точки – прямая линия, то и, следовательно, . Найденное по величине и направлению ускорение равно ускорению .

Если траектория точки – окружность, то , где R – радиус окружности (определяется из уравнения траектории). Если скорость V точки найдена, то . Вектор направлен к центру окружности. Касательное ускорение , полное ускорение .