Роль уравнений в начальном курсе математики
СОДЕРЖАНИЕ
| Введение | 3 | |
| Глава I | Теоретические основы обучения младших школьников решению уравнений | 4 |
| §1.1. Понятие «уравнение». Виды уравнений. Способы решения уравнений | 9 | |
| §1.2. Роль уравнений в начальном курсе математики Выводы по первой главе | 10 | |
| Глава II | Формирование умения у школьников решать уравнения в начальных классах | 13 |
| §2.1. Анализ содержания учебников математики для начальных классов по разделу «Решение уравнений» | 13 | |
| § 2.2. Методика обучения младших школьников решению уравнений | 22 | |
| Заключение 32 | ||
Введение
На современном этапе развития начального образования многие методисты и учителя начальной школы часто говорят об усилении роли алгебраического материала курса начальной математики. Необходимо систематически и целенаправленно обучать младших школьников решению уравнений и обязательно показывать их практическую направленность. Практическая направленность тесно связана с решением текстовых задач.
Изучению вопросов алгебраизации начального школьного образования в целом и вопросов обучения младших школьников решению уравнений в частности посвящали свои труды многие педагоги начальной школы, например, Н.Б. Истомина, М.И. Моро, А.К. Артемов и др.
|
|
|
Решение уравнений младшими школьниками активизирует их мыслительную деятельность, закладывает основы математического мышления школьников, а также способствует развитию алгоритмического мышления. В результате решения уравнений обогащаются и закрепляются теоретические знания ребёнка, совершенствуются его вычислительные навыки.
Отметим, что вопросам формирования и развития умений школьников решать уравнения больше уделено внимание в курсе обучения математике и алгебры в среднем звене (Саранцев Г.И. , Гусев В.А. и др.), а для младшей школы значительно меньше.
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ.
Понятие «уравнение». Виды уравнений. Способы решения уравнений
Изначально введению понятия уравнения в начальном курсе математики предшествует знакомство школьников с такими важнейшими математическими понятиями, подводящими к понятию уравнения, как: выражение, равенство, неравенство. Дадим определения данным понятиям. Последовательность букв и чисел, соединенных знаками действий,
называют математическим выражением .
Следует отличать математическое выражение от равенства и неравенства.
Например:
|
|
|
7 - 5; 3 + 2 - математическое выражение.
64:8 + 2; 64:(16- 8) - математические выражения. а+ 6; 5х - математические выражения.
3апись вида 3 +4 = 7 не является математическим выражением, это числовое равенство.
3апись вида а>7, 3 <5 – это неравенства.
Среди математических выражений выделяют числовые и буквенные выражения.
Математическое выражение, содержащее только числа и знаки арифметических действий, называют числовым выражением. Выполнив все указанные арифметические действия, получаем значение числового выражения.
Буквенное выражение наряду с числами содержит переменные, обозначенные буквами. Для вычисления значений буквенных выражений заданные значения переменных поочередно подставляются в выражения и производят вычисления.
Два математических выражения, соединенные знаком < (меньше), > (больше) называют неравенство. Они также бывают числовыми и буквенными.
Два математических выражения, соединенные знаком = (равно), называют равенством. Соответственно выделяют числовые и буквенные равенства. Среди буквенных равенств выделяют тождества и уравнения.
Тождество – это равенство верное на любом наборе входящих в него переменных. Как правило, в школьном курсе формулами являются основные законы арифметических действий (переместительный, сочетательный, распределительный законы и др.), правила вычислений (например, вычитание суммы из числа, числа из суммы и др.), а также формулами в НКМ выражаются зависимости между некоторыми величинами ( t=s/v).
|
|
|
С одной стороны, равенство, содержащее переменную, называют
уравнением с одной неизвестной.
С другой стороны, уравнение с одной переменной рассматривают как предикат вида f(x)=g(x), где f(x) и g(x)- выражения с переменной.
Решить уравнение - значит найти такое значение переменной, при котором равенство будет верным. Это число называют корнем уравнения. Например, х+7=15 является уравнением.
В НКМ решение уравнения можно находить разными способами:
· способом подбора,
· с опорой на графическую схему (целое и части),
· с использованием взаимосвязи компонентов арифметических действий,
· основываясь на свойствах числовых равенств.
Раскроем более подробно выделенные способы решения уравнений.
1) Способ подбора.
Этот способ используется нередко на пропедевтическом этапе обучения решению уравнений, а также при решении простейших уравнений. Он основан на осознанном подборе корня уравнения. Ученик ориентируется на числа и выполняемую операцию и осуществляет интуитивно подбор наиболее подходящего числа. При этом он знает, что подобранное им число он должен проверить, т.е. подставить его и выяснить, верное или неверное числовое равенство при этом получится.
|
|
|
Например, решая уравнение x+3=6, ученик пробует подставить вместо x число 1, потом 2 и, наконец, 3. Даже если ученик смог сразу дать правильный ответ, он должен еще “доказать” его правильность, подставив найденное число в уравнение вместо х.
2) Решение уравнений на основе соотношения между частью и целым (графическая схема).
Уравнения на сложение и вычитание с фигурами, отрезками, графическая модель уравнения рассматриваются в программе
Л. Г. Петерсон и в системе развивающего обучения Эльконина-Давыдова.
Например, уравнение x+3=6 в этом случае может быть представлено в виде схемы.
6
 |
3 х
Составляя подобные схемы, учащиеся на основе практических предметных действий выводят и усваивают правила:
· целое равно сумме частей
· чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть Взаимосвязь между частью и целым является затем для учащихся тем
удобным и надежным инструментом, который позволяет им легко решать уравнения с неизвестным слагаемым, уменьшаемым, вычитаемым.
3)Решение уравнений на основе зависимости между компонентами действий.
Данный способ наиболее распространен в практике начальной школы. Решение уравнения основывается на знаниях определенных правил нахождения того или иного компонента арифметического действия.
Например, в решении того же уравнения x+3=6 младший школьник руководствуется взаимосвязями между компонентами операции сложения чисел: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Таким образом, он находит решение х=6-3, х=3.
4) Способ решения уравнений, основанный на знании свойств числовых равенств, реализован в учебниках математики И.И. Аргинской (система РО Л.В. Занкова).
Данный способ чаще всего используется в учебнике при решении сложных уравнений, в том числе с неизвестными в обеих частях уравнения. При решении уравнения x+3=6 ученик будет руководствоваться свойством числовых равенств «если к обеим частям прибавить или вычесть
одно и тоже число, то равенство остается верным» х+3-3=6-3,
х=3.
В курсе алгебры выделяют различные виды уравнений:
1. Линейные уравнения,
2. Квадратные уравнения,
3. Уравнения высших степеней,
4. Иррациональные уравнения,
5. Дробно-рациональные уравнения,
6. Тригонометрические уравнения,
7. Показательные уравнения
8. Логарифмические уравнения
9. Дифференциальные уравнения и т.д.
В начальном курсе математике из всего этого списка дети знакомятся с линейными уравнениями, при этом данный термин «линейные уравнения» не вводится.
В НКМ выделяют простейшие и составные уравнения. Простейшие уравнения – это уравнения, в которых только одно арифметическое действие. Составные уравнения содержат два и более арифметических действия. Например, уравнения вида х+5=7, х-5=7, х:5=7, х×5=15 являются простыми. Примерами составных уравнений являются х+5=7+5, 2×(х-5)=12, 3х-5=16 и т.д.
На начальном этапе происходит знакомство учащихся с простейшими уравнениями на сложение и вычитание, затем с простейшими уравнениями на умножение и деление, только после этого учащиеся учатся решать составные уравнения.
В заключении отметим, что усвоение младшими школьниками основных понятий темы «Уравнения» и овладение детьми способами их решения в начальном курсе математики должно создать прочную основу для дальнейшего обучения решению уравнений в среднем звене.
Роль уравнений в начальном курсе математики
Одной из особенностей модернизации содержания начального математического образования в настоящее время является его алгебраизация, то есть включение в учебный курс математики начальных классов вопросов, касающихся таких понятий, как числовые и буквенные выражения, числовые и буквенные равенства и неравенства, уравнения и др. Многие методисты отмечают, что раннее знакомство с языком алгебры позволяет не только обобщить знания младших школьников в целом о понятии числа и действий над числами, но и способствует формированию и развитию основных приемов логического мышления (в частности, обобщения и абстрагирования), а также позволяет заложить прочную теоретическую базу для успешного усвоения учащимися алгебраического материала в систематическом курсе алгебры средней школы. Другими словами, на начальном этапе обучения математике происходит пропедевтика основных понятий алгебраической содержательной линии школьного курса математики, в частности, такого
понятия как уравнение.
Ввиду важности вопросов, связанных с понятием уравнения и формированием умения решать уравнения, изучение этого материала в современной методике математики организовано в отдельную содержательно - методическую линию - линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, их видов, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики. При этом выделяют три основных направления в изучении линии уравнений, которые отражают роль и значение данной темы в школьном курсе математики.
1) Прикладная направленность линии уравнений заключается в использовании уравнений при решении текстовых задач, то есть при изучении так называемого алгебраического метода решения текстовых
задач. Этот метод широко применяется в школьной математике и тесно связан с таким понятием как математическое моделирование. В данном случае уравнение трактуется как математическая модель практической ситуации, представленной в задаче. А составление уравнения при решении задач алгебраическим способом рассматривается как перевод задачи с обыденного языка на язык «математический».
2) Теоретико-математическая направленность линии уравнений раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных видов уравнений и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов их решения. Отметим, что в начальном курсе математики изучаются только линейные уравнения, а основными методами их решения являются перебор, оперирование понятиями целое и его части, а также использование взаимосвязей между компонентами арифметических действий над числами.
3) Для линии уравнений характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий, - это идея последовательного расширения числовой системы. Реализуется это в курсе математики 5-6 классов при знакомстве с отрицательными числами, а также в курсе алгебры средней школы, где расширение понятия числа происходит в связи с решением каких-либо уравнений и их систем.
Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей - приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т. д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем.
Таким образом, роль элементов алгебры в курсе математики начальных классов многогранна. С одной стороны, она состоит в том, чтобы способствовать формированию обобщенных представлений школьников о понятии «число», «количество» и смысле арифметических действий, а с другой стороны направлена на пропедевтику основных алгебраических понятий систематического курса алгебры средней школы, а также на установление взаимосвязей с числовой, функциональной линией курса математики, а также с алгебраическим методом решения текстовых задач.
Дата добавления: 2022-11-11; просмотров: 84; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!