Задание 7. Найдите рациональные корни многочлена f( x).
Вариант 2.
Решение.
Если рациональное число 
, где p и q – взаимно простые целые числа, является корнем многочлена 
, то:
· q является делителем старшего коэффициента 12, то есть одним из чисел множества 
.
· p является делителем его свободного члена 6, то есть одним из чисел множества 
Следовательно, если – рациональный корень многочлена , то он из множества 
.
Вычислим
Значит, 
не являются корнями.
Если целое число p является корнем , то 
является делителем 
а 
является делителем 
. Значит, 
не являются корнями. Числа 
проверяем по схеме Горнера:
| 12 | 4 | 9 | -69 | -27 | 17 | 6 | |
| 2 | 12 | 28 | 65 | 61 | 95 | 207 | 420 |
| -2 | 12 | -20 | 49 | -167 | 307 | -597 | 1200 |
| 3 | 12 | 40 | 129 | 318 | 927 | 2798 | 8400 |
| -3 | 12 | -32 | 105 | -384 | 1125 | -3358 | 10080 |
Видим, что ни одно из них корнем не является, значит, у данного уравнения нет целых корней.
Теперь рассмотрим дроби со знаменателем q = 2. Числа 
не являются корнями, поскольку разность или сумма их числителя и знаменателя равна 5 и не является делителем 
или соответствено. Проверим числа 
по схеме Горнера:
| 12 | 4 | 9 | -69 | -27 | 17 | 6 | |
| 0,5 | 12 | 10 | 14 | -62 | -58 | -12 | 0 |
| -0,5 | 12 | -2 | 10 | -74 | 10 | 12 | 0 |
Таким образом, оба числа являются корнями. Для дальнейшего поиска разделим исходный многочлен на произведение соответствующих линейных множителей 
|
|
|
Все оставшиеся корни являются корнями многочлена 
.
Если – рациональный корень многочлена 
, то q - делитель 3, p - делитель 6, так что он из множества 
. Про целые числа 
уже было выяснено, что они не корни 
а значит и не корни . Числа 
не являются корнями 
, поскольку разность или сумма их числителя и знаменателя равна 5 и не является делителем или соответствено. Итак, осталось проверить числа 
, что сделаем по схеме Горнера:
| 12 | 4 | 9 | -69 | -27 | 17 | 6 | |
| 1/3 | 12 | 8 | 11,6 | -65,1 | -48,7 | 0,7 | 6,3 |
| -1/3 | 12 | 0 | 9 | -72 | -3 | 18 | 0 |
Таким образом, найден еще один корень 
.
Проведен исчерпывающий поиск, поэтому других рациональных корней, кроме найденных 
у исходного многочлена нет.
Ответ: 
Задание 8. С помощью теоремы Штурма отделите действительные корни многочлена f( x).
Вариант 2.
Решение.
Определим вначале границы действительных корней многочлена.
Степень многочлена равна 4, старший коэффициент положителен, первый из отрицательных коэффициентов – при 
, наибольшая из абсолютных величин отрицательных коэффициентов равна 6. Поэтому верхняя граница положительных корней по оценке Маклорена равна
|
|
|
Для определения нижней границы отрицательных корней составим
Для 
верхняя граница положительных корней по оценке Маклорена также равна
Итак, действительные корни многочлена лежат в интервале 
Составим систему Штурма для данного многочлена . Найдем производную:
Имеем 
Делим на 
и остаток от деления, взятый с противоположным знаком, принимаем за 
:
То есть 
Делим на 
и остаток от деления, взятый с противоположным знаком, принимаем за 
:
То есть 
Делим 
на 
и остаток от деления, взятый с противоположным знаком, принимаем за 
:
То есть 
Отсюда следует, что исходный многочлен не имеет кратных корней.
Таким образом, мы построили систему Штурма:
Таблица распределения знаков многочленов системы Штурма для 
| 
| 
| 
| 
| W | |
| + | - | + | - | + | 4 |
| 0 | + | - | - | + | + | 2 |
| + | + | + | + | + | 0 |
Из таблицы видно, что многочлен имеет 4 различных действительных корня, причем 2 отрицательных и 2 положительных.
|
|
|
Для более точного определения положения этих корней составим таблицу распределения знаков многочленов системы Штурма, учитывая ранее найденные границы действительных корней:
|
|
|
|
|
| W | |
| -4 | + | - | + | - | + | 4 |
| -3 | + | - | + | - | + | 4 |
| -2 | + | - | + | - | + | 4 |
| -1 | + | + | - | + | + | 2 |
| 0 | + | - | - | + | + | 2 |
| 1 | - | - | + | + | + | 1 |
| 2 | - | + | + | + | + | 1 |
| 3 | + | + | + | + | + | 0 |
| 4 | + | + | + | + | + | 0 |
Из этой таблицы следует, что:
· 2 корня находится в интервале (-2; -1)
· 1 корень находится в интервале (0; 1)
· 1 корень находится в интервале (2; 3)
Разделим интервал (-2; -1) пополам и заполним новую таблицу:
|
|
|
|
|
| W | |
| -2 | + | - | + | - | + | 4 |
| -3/2 | - | + | + | - | + | 3 |
| -1 | + | + | - | + | + | 2 |
Отсюда имеем, что в интервалах (-2; -3/2) и (-3/2; -1) находится по одному действительному корню.
Ответ: имеет четыре действительных корня, по одному в каждом из интервалов:
· (-2; -3/2)
· (-3/2; -1)
· (0; 1)
· (2; 3)
Дата добавления: 2022-11-11; просмотров: 91; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!