Теоремы умножения. Условная вероятность
Теорема 3. Если события А и В независимые, то вероятность их произведения вычисляется по формуле:
Р(АВ) = Р(А) · Р(В) (7)
Пример 5
Игральный кубик подбрасывают дважды. Найти вероятность того, что в 1й раз выпало 6 очков, а 2й – четное число очков.
Решение.
Опыт: двукратное подбрасывание игрального кубика
А – выпадение шести очков при 1м бросании
В – выпадение четного числа очков при 2м бросании
А и В независимые
Р(А)=1/6, Р(В)=3/6=1/2 → Р(АВ) = Р(А) · Р(В) =1/6·1/2=1/12
Ответ: 1/12
Замечание . Теорема 3 может быть обобщена на случай произвольного конечного числа независимых событий:
Р(А1 А2 … Ап) =Р(А1) · Р(А2) ·… · Р(Ап) (8)
Рассмотрим события А и В, из которых событие В зависит от события А. Для характеристики такой зависимости вводится условная вероятность.
Определение
Вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А наступило, называют условной вероятностью и обозначают PА(В) или P(В/А).
Теорема 4. Если события А и В зависимые, то вероятность их произведения равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие наступило:
|
|
|
Р(АВ) = Р(А) · Р(В/А) (9)
Пример 6
В коробке 9 одинаковых батареек, три из которых были в употреблении. В течение рабочего дня мастеру необходимо было взять две батарейки. Найти вероятность того, что батарейки:
А) К – оказались не новыми;
Б) М – оказались новыми;
В) С – одна батарейка оказалась новой, а вторая – нет.
Решение.
А) А – 1я батарейка оказалось б/у
В – 2я батарейка оказалось б/у
К = АВ, где В зависит от А → по Т4: Р(К)=Р(АВ)=Р(А)·Р(В/А) = 1/12
Р(А) = 3/9=1/3, Р(В/А) = 2/8=1/4
Б) 
– 1я батарейка оказалось новой
– 2я батарейка оказалось новой
М = 
, где зависит от → по Т4: Р(М)=Р( 
)= Р( ) ·Р( / ) = 5/12
Р( ) = 6/9=2/3, Р( / ) = 5/8
В) С=А 
В
В данном случае необходимо дополнительно применить теорему сложения для несовместных событий.
Р(С)= Р(А В)= Р(А 
В) = Р(А)Р( /А)+Р( )Р(В/ ) = 3/9 
6/8+6/9·3/8=1/2
Теорема 4 может быть обобщена на случай произвольного конечного числа зависимых событий.
Следствие
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, при условии, что все предыдущие события наступили.
|
|
|
Р(А1 А2 … Ап) =Р(А1) · Р(А2/ А1) ·Р(А3/ А1А2)… · Р(Ап/ А1А2…Ап-1) (10)
Пример 7
В гараж поступили 24 новые шины, предназначенные для определенной марки автомобиля. 10 из них изготовлены на заводе А, остальные – на заводе В. Четырем водителям необходимо было заменить по одной шине. Найти вероятность того, что:
А) К – первые три водителя воспользуются шинами завода В, а четвертый – шинами завода А;
Б) М – все водители воспользуются шинами завода А.
Решение.
А) A – первый водитель приобрел шину завода B;
B – второй водитель приобрел шину завода B;
C – третий водитель приобрел шину завода B;
D – четвертый водитель приобрел шину завода А;
В зависит от А, С зависит от А и В, D – от А, В и С
К=АВСD
Р(К)=Р(АВСD)=Р(А)·Р(В/А) ·Р(С/АВ)·Р(D/АВС), где
Р(А)=14/24, Р(В/А)=13/23, Р(С/АВ)=12/22, Р(D/АВС)= 10/21
Тогда Р(К)=Р(АВСD)=Р(А)·Р(В/А) ·Р(С/АВ)·Р(D/АВС)= …= 65/759
Б) Е – первый водитель приобрел шину завода А
Т – второй водитель приобрел шину завода А;
H – третий водитель приобрел шину завода А;
F – четвертый водитель приобрел шину завода А;
T зависит от E, H зависит от E и T, F – от E, T и H
M=ETHF
|
|
|
Р(M)=Р(ETHF)=Р(E)·Р(T/E) ·Р(H/ET)·Р(F/ETH), где
Р(E)=10/24, Р(T/E)=9/23, Р(H/ET)=8/22, Р(F/ETH)= 7/21
Тогда Р(M)=Р(ETHF)= …= 5/253
Ответ: А) 65/759; Б) 5/253
На практике редко встречаются задачи, в которых применяются только теоремы сложения или только теоремы умножения. Обычно эти теоремы применяют совместно.
Пример 8
Вероятность попадания в цель из первого орудия равна 0,9, из второго – 0,8, из третьего – 0,7. Найти вероятность того, что при одновременном залпе из трех орудий, будет иметь место событие:
1) В – одно поражение цели;
Дата добавления: 2022-07-02; просмотров: 139; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!