Теорема 1. Если события А и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, т.е.
Лекция 4. Основные теоремы теории вероятностей
| 1. | Операции над событиями |
| 2. | Теоремы сложения вероятностей |
| 3. | Теоремы умножения вероятностей 3.1. Зависимые и независимые события 3.2. Теоремы умножения. Условная вероятность |
| 4. | Формула полной вероятности |
| 5. | Теорема гипотез (формула Бейеса) |
| 1. | Операции над событиями |
Во многих областях точных наук применяются символические операции над различными объектами, которые получают свои названия по аналогии с арифметическими действиями.
Примерами таких операций являются:
а) сложение и умножение векторов в механике;
б) сложение и умножение матриц в алгебре.
Эти операции, подчиненные определенным правилам, позволяют упростить как форму записей, так и построение научных выводов. В теории вероятностей подобными операциями являются сложение и умножение событий.
Определение
Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении или события А, или события В, или обоих вместе.
Обозначение: С = А + В
Примеры
1) Опыт: двукратное бросание игрального кубика
Событие С – сумма выпавших очков равна 3
С =A + B,
где А – при первом броске выпало 1 очко, при втором – 2
В – при первом броске выпало 2 очка, при втором – 1
2) Опыт: двукратное бросание мяча в корзину
Событие С – ровно один промах
С =A + B,
где А – промах при первом броске и попадание при втором
|
|
|
В – попадание при первом броске, промах при втором
3) Опыт: два выстрела по цели
Событие С – попадание в цель либо при первом выстреле, либо при втором, либо при обоих выстрелах
С =A + B,
где А – попадание в цель при первом выстреле
В – попадание в цель при втором выстреле
4) Опыт: контроль двух изделий
Событие К – хотя бы одно изделие браковано (или первое с браком, или второе, или оба)
К = М + Т, где М – первое изделие браковано
Т – второе изделие браковано
Определение
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.
Пример
Опыт: пять выстрелов по мишени
А0 – промах при всех выстрелах
А1 – одно попадание из пяти
А2 – два попадания из пяти
А3 – три попадания из пяти
…
А5 – пять попаданий из пяти
Событие В – не более двух попадание при пяти выстрелах
В = А0 + А1 + А2
С – не менее четырех попаданий при пяти выстрелах
С = А4 + А5
Еще один способ образования нового события из двух событий А и В связан с использованием союза «и».
|
|
|
Определение
Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном наступлении и события А, и события В.
Обозначение: С = АВ
Примеры
1) Опыт: работа электросети, составленной из двух элементов, соединенных параллельно
С – цепь не работает
С = АВ, где А – первый элемент не работает
В – второй элемент не работает
2) Опыт: извлечение карты из колоды
А – вынутая карта червонной масти
В – вынутая карта – «картинка»
С – вынутая карта – дама черной масти
АВ – вынута «картинка» червонной масти
ВС – вынута пиковая или крестовая дама
АС = 
- невозможной событие
Определение
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.
С помощью операций сложения, умножения и отрицания можно образовывать новые события.
Пример
Опыт: стрелок производит два выстрела по мишени
А1 – попадание в цель при первом выстреле
А2 – попадание в цель при втором выстреле
А1 + А2 – хотя бы одно попадание при двух выстрелах
А1 
– попадание при первом выстреле, промах при втором
А1 
– одно попадание при двух выстрелах
|
|
|
+ – хотя бы один промах = не более одного попадания
| 2 | Теоремы сложения вероятностей |
Теорема 1. Если события А и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, т.е.
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) (1)
Замечание
Формулу (1) можно распространить на любое конечное число событийА1, А2, …, Ап приусловии, что они попарно несовместны:
Р(А1+ А2+ … +Ап) =Р(А1) + Р(А2) +…+Р(Ап) (2)
Пример 1
Дата добавления: 2022-07-02; просмотров: 60; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!