Построение эпюры внутренних усилий N

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Подобрать из условий прочности и жесткости размеры прямоугольного поперечного сечения стального стержня (см. рис. 1, а).

Дано: F=40кН;l=0,4м;[s _p]=350МПа;[s с]=800МПа;E=1,2×10⁵МПа;

[Dl]= h/b=2, (10)

где h-высота, b- ширина поперечного сечения.

Стержень разделен на 3 участка в зависимости от изменения внешней нагрузки и площади поперечного сечения. Применяя метод сечений, определяем продольную силу на каждом участке.

На участке 1: (11)

На участке 2: N2 =-F+ 3F= 2F= 80кН. (12)

На участке 3: N3 =-F+ 3F-2F=F=40кН (13).

Эпюра N приведена на рис. 1, б.

Построение эпюры нормальных напряжений

Найдем напряжения на участках стержня.

На участке 1: (14)

На участке 2: (15)

На участке 3: (16)

Эпюра σприведена на рис. 1, в.

Нахождение площади поперечного сечения из условия прочности

Наибольшие растягивающие напряжения возникают на участке 2, наибольшие сжимающие напряжения – на участке 1. Для вычисления площади поперечного сечения используем данные рис. 1, в.

Напряжения на участке 1 равны

(17)

Тогда

(18)

Следовательно, A³ = (19)

Напряжения на участке 2 равны

(20)

По условию прочности (21)

Отсюда:

м²Þ 2,28 см²(22)

Напряжения на участке 3 равны

(23)

Тогда (24)

Следовательно, *м²Þ 0,57 см² (25)

Необходимую площадь сечения следует принять из условия прочности при растяжении:

А ³ 2,28 ×10^-⁴ м²Þ 2,28 см². (26)

При заданном соотношении h/ b=2 площадь поперечного сечения можно записать как А =h×b= 2b^2.Размеры поперечного сечения будут равны:

b = (27)

h= 2b= 2,12 см. (28)

Нахождение площади поперечного сечения из условия жесткости

При расчете на жесткость следует учитывать, что перемещение в точке dбудет равно сумме деформаций всех участков стержня. Величину абсолютной деформации для каждого участка найдем по формуле (29).

∆ (29)

На участке 1:∆ (30)

На участке 2:∆ (31)

На участке 3:∆ (32)

Абсолютная деформация всего стержня:

∆l = . (33)

Из условия жесткости

Dl£[Dl], [∆l]= найдем

A ³ (34)

Размеры поперечного сечения будут равны:

b = (35)

h= 2b= 2 ×1,15 = 2,30 см. (36)

Сопоставляя результаты расчета на прочность и жесткость, принимаем большее значение площади поперечного сечения A= 2,65см².

Построение эпюры перемещений l

Для определения перемещения любого сечения стержня строят эпюру перемещений l. За начало отсчета принимаем сечение в заделке, так как перемещение этого сечения равно нулю. При построении эпюры последовательно определяем перемещения характерных сечений стержня, которые равны алгебраической сумме изменений длин всех участков от начала отсчета до рассматриваемого сечения.

Сечение а: l a=0 .

Сечение b: (37)

Сечение с: (38)

Сечение d: (39)

Эпюра перемещений l представлена на рис. 1,г.

Задания для расчетов приведены в ПРИЛОЖЕНИИ А

Рисунок 2

3.РАСЧЕТ БАЛОК НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ.

Дано: схема балки (рис. 2);

На изгиб работают балки, валы, оси и другие детали различных конструкций. В качестве примера можно привести межэтажные перекрытия зданий и сооружений, консольные балки балконов и козырьков, мостовые балки и т. п. В данной работе рассмотрен изгиб брусьев, имеющих хотя бы одну плоскость симметрии, а плоскость действия нагрузок совпадает с ней.

При поперечном изгибе в любом поперечном сечении возникают деформации растяжения и сжатия, сдвига. Основой расчета на прочность большинства балок является расчет по нормальным напряжениям. В отличие от деформаций при центральном растяжении и сжатии напряжения, возникающие при поперечном изгибе, неравномерно распределяются по площади поперечного сечения и зависят не только от его площади, но и от формы сечения. Поэтому для экономически обоснованного расчета необходимо выбрать рациональные размеры и форму сечения.

Стальная балка постоянного поперечного сечения нагружена двумя силами Р₁, Р₂и внешним изгибающим моментом М или силой Р₁ , моментом М и распределенной нагрузкой интенсивностью q(ПРИЛОЖЕНИЕ Б).

Требуется:

– определить реакции опор, выполнив проверку полученных значений;

– построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, записав их аналитическое выражение для каждого из участков;

– определить положение опасного сечения балки и внутренние силовые факторы, действующие в нем;

– из расчета на прочность по нормальным напряжениям при изгибе подобрать для каждой схемы нагружения размеры поперечного сечения для трех вариантов изготовления балки;

– сравнить массы полученных для каждой схемы балок и выбрать наиболее экономичное сечение.

Геометрические характеристики сечений приведены в ПРИЛОЖЕНИИ.Б

3.1. Определение реакций опор балки

Покажем внешние силы, приложенные к ферме: пары сил с моментами и ; силу Р; распределенную нагрузку интенсивностью q и реакции опор А и В (рис. 2).

Реакция в опоре А (шарнирно-неподвижная опора) раскладывается на две составляющие – Z _Аи Y _А; в точке В реакция направлена перпендикулярно поверхности установки катка – R_B.

Составим уравнения равновесия сил, приложенных к ферме:

(40)

Из этих уравнений Z _А= 0 кН;Y _А = 30 кН; R_B = 30 кН.

Для проверки правильности вычислений составим уравнение моментов сил относительно точки В:

(41)

то есть реакции опор найдены верно.

Расчетная схема балки приведена на рис. 3.

3.2 Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов .

Разбиваем балку на участки. За границы участков принимаются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, моменты и начинает или заканчивает действие распределенная нагрузка. Рассматриваемая балка делится на три участка.

Запишем уравнения для определения внутренних силовых факторов для каждого из участков.

Рисунок 2 Схема нагружения балки

Рисунок 3 Расчетная схема балки и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

I участок ( ):

Рисунок 4. Участок I

(42)

Отсюда

На границах участка:

при м

при

II участок ( ):

(43)

Рисунок 5. Участок II

Отсюда

(45)

На границах участка:

при

Так как поперечная сила Q₂ на участке меняет знак, то эпюра изгибающего момента в этом сечении имеет минимум или максимум. При Q₂= 0 координата м. Значение изгибающего момента в этом сечении: