Из истории квадратных уравнений
МОУ «СОШ им. Г.И. Марчука р. П. Духовницкое»
Исследовательская работа по математике
«Способы решения квадратных уравнений»
Авторы:
Балдина Анна Александровна, ученица 10 класса
Фадеева Дарья Александровна, ученица 10 класса
Научный руководитель:
Кузьмичева Татьяна Владимировна, учитель математики
р. п. Духовницкое
2020
Содержание
Введение……………………………………………………………….стр. 3-4
1. Опрос учащихся 8-9 классов и его результаты...............................стр. 5-6
2. Из истории квадратных уравнений………………………………..стр. 7-9
2.1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне……………………стр. 7-8
2.2 . Квадратные уравнения в Индии....................................................стр. 8
2.3. Квадратные уравнения в Европе XII-XVII в……………………стр. 9
3. Способы решения квадратных уравнений………………………...стр. 9-13
3.1. Стандартные………………………………………………………стр. 9-10
3.2. Нестандартные…………………………………………………….стр. 10-13
4. Заключение………………………………………………………….стр. 13-14
5. Список интернет-ресурсов…………………………………………стр. 14
6. Приложение…………………………………………………………стр. 15
Пояснительная записка
Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Так же для формирования умения решать уравнения большое значение имеет самостоятельная работа учащегося при обучении решения уравнений. При изучении любой темы уравнения могут быть использованы как эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, для развития творческой математической деятельности учащихся.
|
|
|
В современном мире уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач. Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений. К изучению темы «Квадратные трехчлены» учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. В значительной мере именно на материале данной темы необходимо осуществлять синтез материала, относящегося к уравнениям, реализовывать принципы историзма, доступности.
|
|
|
Проблемный вопрос:
- Существуют ли кроме общепринятых приемов решения квадратных уравнений другие, которые позволяют быстро и рационально решать квадратные уравнения?
Гипотеза:
Используя устные приёмы некоторые виды уравнений можно решать легко и просто.
Цель:
- Изучить стандартные и нестандартные способы решения квадратных уравнений.
Задачи:
- Изучить историю развития теории и практики решения квадратных уравнений;
- Научиться применять данные способы при решении уравнений с большими коэффициентами;
- Изучить стандартные и нестандартные способы решения квадратных уравнений;
- Подобрать тренировочные упражнения для отработки изученных приёмов.
Объект исследования:
- Квадратные уравнения
Предмет исследования:
- Стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений
1. Опрос
Проводя опрос, учащимся разных классов (8-10) был предложен ряд вопросов (с вариантами ответов):
|
|
|
1) Умеете ли вы решать квадратные уравнения? Да или Нет
2) Какими способами решения квадратных уравнений вы владеете?
А. По теореме Виета
Б. по формуле через D
В. по формуле через D1 Г. другие...
3) Какие сложности вы испытываете при решении квадратных уравнений?
А. не знаю формул
Б. сложно вычислять
В. путают коэффициенты Г. допускают вычислительные ошибки Д. не испытываю затруднений
4) Знакомы ли вам какие-либо другие пути решения квадратных уравнений? Да или Нет
Результаты опроса:
1) Умеете ли вы решать квадратные уравнения?
Вывод: абсолютно всеучащиеся умеют решать квадратные уравнения.
|
|
|
2) Какими способами решения квадратных уравнений вы владеете?
Вывод: наиболее используемым методом оказалось решение через D.
3) Какие сложности вы испытываете при решении квадратных уравнений?
Вывод: большее количество всех опрашиваемых не испытывают затруднений в решении квадратных уравнений.
4) Знакомы ли вам какие-либо другие пути решения квадратных уравнений?
Вывод: большинство учащихся не знают другие способы решения квадратных уравнений.
Общие выводы:
· Все школьники умеют решать квадратные уравнения.
· Некоторые знают иные пути решения, но в основном они пользуются обычными школьным приёмом нахождения корней через D.
· Способ решения квадратных уравнений через D подходит для всех квадратных уравнений, но, как выяснилось в ходе опроса, при решении уравнений с большими коэффициентами возникают затруднения, связанные с вычислением: сложно вычислять и велика вероятность допустить вычислительные ошибки.
· В некоторых случаях этих трудностей можно избежать.
Из истории квадратных уравнений
2.1.Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его задач.
Задача 1. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х. Другое же меньше, т. е. 10 - х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение:
(10+x)(10—x) =96,
или же
100 — 
= 96.
- 4 = 0
Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = - 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.
2.2. Квадратные уравнения в Индии
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
(1)
В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения..
2.3. Квадратные уравнения в Европе XII-XVII в.
Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.
Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду 
при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Вие́та, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид. На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики
Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 42; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!