Л и н е й н ы е у р а в н е н и я.
Линейные и квадратные уравнения. Решение систем линейных и квадратных уравнений.
Урок 1. Линейные и квадратные уравнения.
Определение. Уравнение (с одной переменной) - это некоторое равенство двух выражений, содержащее неизвестную (переменную). f(x)=g(x) (1)
Пусть для определенности все дальнейшие уравнения содержат переменную, обозначенную буквой x.
Замечание: заметим, что x — это просто некоторое число, значение которого неизвестно.
Определение. Областью определения (или областью допустимых значений, сокращенно ОДЗ) любого уравнения вида (1) будем называть множество значений переменной x, при которых определены (то есть не теряют смысла) функции f(x) и g(x).
Пример. Уравнение 
определено при всех значениях переменной x, кроме x=1, потому что в этом случае знаменатель дроби в левой части равенства обращается в ноль. Значит, ОДЗ уравнения x∈(−∞;1)∪(1;+∞).
Определение. Корнем уравнения называется то числовое значение x, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Иногда корни уравнения называют решением этого уравнения. Например, корнем уравнения из предыдущего примера является число x=3, потому как тогда уравнение принимает вид 
или, что то же самое, 5=5, что является верным равенством.
Замечание.
1) Заметим, что уравнение может как иметь корни, так и не иметь корней. Например, уравнение 
= 0 ни при каких значениях x не может быть верным, потому что дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла. У нашей дроби числитель 1≠0.
|
|
|
2) Фраза “решить уравнение” означает найти все корни данного уравнения или доказать, что корней нет.
Определение. Два уравнения равносильны (или эквивалентны), если они имеют одинаковые решения.
Например, уравнения x=3 и 3x=6+x эквивалентны, т.к. оба имеют единственное решение x=3. Эквивалентность уравнений обозначается так: x=3⇔3x=6+x.
Свойства уравнений.
1. В любом уравнении можно переносить слагаемые из одной части равенства в другую, при этом меняя их знак на противоположный. При этом полученное уравнение равносильно исходному. Например, уравнение x+4=2x2 можно переписать в виде x+4−2x2=0.
2. В любом уравнении можно правую и левую части умножать или делить на одно и то же число, не равное нулю. При этом полученное уравнение равносильно исходному.
Например, уравнение 0,5x=−2 равносильно уравнению x=−4, которое получено из исходного путем умножения обеих частей на 2.
3. В любом уравнении можно к правой и левой частям прибавлять одно и то же число. При этом полученное уравнение равносильно исходному.
Например, уравнение x+2=5x2 после прибавления к обеим частям −2 примет вид x=5x2−2.
|
|
|
Л и н е й н ы е у р а в н е н и я.
Линейные уравнения. Линейное уравнение – это уравнение вида ax+b=0 (2), где a≠0,b – числа, или уравнение, к нему сводящееся. ОДЗ линейного уравнения (2) — все x∈R. Линейное уравнение ax+b=0 преобразуется в ax=−b и всегда имеет единственное решение x=−ba. Например, 2x−4=0 имеет корень x=2.
Замечание: при переносе слагаемых из одной части равенства в другую знак слагаемого меняется на противоположный. Например, выражение x−5=8 преобразуется в выражение x=8+5. Знак, стоящий перед слагаемым – это и есть его знак, то есть в выражении x−5 два слагаемых: x и −5. Если перед слагаемым не стоит никакого знака, то подразумевается, что перед ним стоит знак “+”.
Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 122; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!