Индексы переменного и постоянного (фиксированного) состава

Сравнение средних значений показателя за отчётный и базисный период производится по формуле индекса средней величины – индекса переменного состава.

Индекс переменного состава получил своё название оттого, что числитель формулы (средняя в отчётном периоде) и знаменатель формулы (средняя в базисном периоде) определяются при разных составах, разных структурах совокупности.

I переменного состава отражает изменение не только индексируемой величины, но и структуры совокупности

I постоянного состава – это индекс, исчисленный с весами, зафиксированными на уровне одного какого-либо периода, и показывающий изменение только индексируемой величины. Он является аналогом агрегатного индекса.

I структуры совокупности характеризует влияние изменения структуры изучаемого явления на динамику среднего уровня этого явления

Расчёты индексов проведём по данным табл. 17.

                                                                        Таблица 17

Вид продукции	Базисный период		Отчётный период
	Объём выпуска продукции, тыс. ед.	Цена, руб.	Объем выпуска продукции, тыс. ед.	Цена, Руб.
A	62	35	70	52
B	89	27	63	48

 

Индивидуальный выпуск физического объема продукции:

или 112,9. Прирост составил 12,9%.

или 70,8%. Объём выпуска продукции снизился на 29,2%.

Индивидуальный индекс цены:

или 148,6%. Увеличение цены составило 48,6%.

или 177,8%. Увеличение цены составило 77,8%.

Агрегатный индекс физического объёма продукции:

или 88,9%.

Агрегатный индекс цены ПААШЕ:

или 177,9%.

 

Индекс цены Ласпейреса:

или 163,9%.

 

Индекс переменного состава:

или 90,3%.

 

или 88,9%.

 

или 101,6

 

 

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СВЯЗИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

 

Парная регрессия и корреляция.

Регрессия – линия или вид зависимости одной случайной величины или нескольких величин.

Регрессионный анализ - определение аналитической формы связи, в которой изменение результативного признака обусловлено влиянием одного или нескольких факторных признаков.

Задачи регрессионного анализа – оценка функциональной зависимости (прямая, обратная) и расчет параметров математической зависимости.

Корреляция – статистическая зависимость между случайными величинами, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.

Корреляция – соответствие, взаимосвязь.

Корреляция бывает:

• Парная (связь между двумя признаками: результативным и факторным или двумя факторными)

• Частная (зависимость между результативным и одним факторным признаком или двумя факторными признаками при фиксированном значении других факторных признаков)

• Множественная (зависимость между результативным признаком и двумя и более факторными, включенными в исследование)

Корреляционный анализ- позволяет определить количественную зависимость результативного признака от изучаемых факторов.

Задачи корреляционного анализа – оценить тесноту связи и достоверность (значимость) полученной модели и возможность её использования для всей генеральной совокупности (не только, что рассчитывали, но и для других предприятий). Позволяет определить количественную зависимость результативного признака от изучаемых факторов.

Задача корреляционно-регрессионного анализа – определить общий вид математической модели в виде уравнения регрессии, рассчитать статистические оценки неизвестных параметров, входящих в это уравнение, и проверить статистические гипотезы о зависимости функции от её аргументов.

Пример.

Необходимо определить вид корреляционно-регрессивной зависимости и её достоверность по следующим данным.

По 10 однотипным предприятиям имеются следующие данные по выпуску продукции в тыс. единиц и о расходе топлива в тоннах.

 

 

Фактор или аргумент – выпуск (х).

Функция (результат)– расход топлива (у).

	х	у	х2	ху
	1	2	3	4	5	6
1	5	4	25	20	56,25	16
2	6	4	36	24	42,25	16
3	8	6	64	48	20,25	4
4	8	5	64	40	20,25	9
5	10	7	100	70	6,25	1
6	10	8	100	80	6,25	0
7	14	8	196	112	2,25	0
8	20	10	400	200	56,25	4
9	20	12	400	240	56,25	16
10	24	16	576	384	132,25	64
å	125	80	1961	1218	398,5	130

 

1 этап – определение формы связи между х и у и выбор математической модели

 

Для этого строится поле корреляции в виде графика. Область, ограничивающая точки – корреляционное облако. Чем плотнее точки, тем теснее связь.

Требования к построению уравнения регрессии:

• Совокупность исходных данных должна быть однородной и математически описываться непрерывными функциями

• Наличие достаточно большого объема исследуемой выборочной совокупности (25 и больше)

• Причинно-следственные связи между явлениями и процессами, по возможности, следует описывать линейной (или приводимой к линейной) формой зависимости

• Количественное выражение факторных признаков

• Постоянство территориальной и временной структуры изучаемой совокупности

Форма связи может быть выражена как линейной функцией (уравнение прямой) так и нелинейными функциями (полиномы разных порядков, гипербола, степенная функция и др.)

Подбор функции для выражения формы связи между признаками проходит несколько этапов: графический, логический, экономический, математический и т.д.

Вначале рассматривается линейная форма связи, так как такая форма связи часто встречается на практике и для неё разработан хороший математический аппарат.

Полученный график показывает, есть ли какая то зависимость: у нас близко к линейной зависимости, которую можно выразить уравнением прямой (парная регрессия: характеризует связь между двумя признаками)

а₀-свободный коэффициент, не имеет экономического смысла и показывает значение результативного признака у, если факторный признак х=0

а₁- коэффициент регрессии показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак у, если переменную х увеличить на единицу измерения.

Знак показывает направление связи: > 0-связь прямая; при < 0 – связь обратная

2 этап.

Расчет параметров уравнения регрессии с помощью метода наименьших квадратов (квадрат отклонений от прямой линии).

Для нахождения параметров а₀ и а₁ необходимо решить следующую систему нормальных уравнений

n a₀ + a₁Sx = Sy

a₀Sx + a₁Sx² = Sxy

n – количество наблюдений

10 a₀ + a₁125 = 80

a₀125 + a₁1961 = 1218

А. Метод определителей

                                                                  10    125  = 10*1961-125²=3985

125 1961

а₀= =4630 а₀=4630/3985=1,16

а₁=10*1218-125*80=2180  а₁=2180/3985=0,547

Б. Формулы.

    

а₁=121.8-12,5*8/196,1-12,5²=0,547

а = 8-0,547*12,5=1,16

 

В. Метод подставки.

а₀= (80- 125 а₁)/10=8-12.5a₁

(8- 12.5 а₁)*125+1961a₁=1218

a₁=1218-8*125/1961-125*12.5=0.547

а₀= 8-12.5*0,547=0,1625

 

Подставляем вычисленные коэффициенты в уравнение линейной регрессии

 = 1,16 + 0,547х

если (-), то связь обратная.

Нужно построить на поле корреляции прямую (например, х=0 и х=10) и посмотреть, на сколько линия вписывается в поле корреляции: если близко, то правильно рассчитали (может получиться так, что применение регрессионного анализа вообще проблематично).

Нашли зависимость, но нам важно знать, можно ли распространить её на другие предприятия.

3 этап.

Оценим тесноту связи (близость исследуемой формы связи к линейной) с помощью коэффициента парной корреляции.

КПК характеризует тесноту и вид зависимости между х и у и обозначается r_xy или r.

 -1 £ r £ 1

Положительное значение коэффициента свидетельствует о наличии прямой связи, отрицательное – обратной.

Чем ближе значение r по абсолютному значению к 1, тем теснее связь между х и у. Принято, что при «от ±0,7 до ±1,0» связь сильная, «от ±0,5 до ±0,7» - умеренная, «от ±0,3 до ± 0,5» - слабая, «от 0 до ± 0,3» - практически отсутствует.

Если = 1, то пропорционально жесткая связь (линейная, функциональная), но в реальной жизни очень редко (например путь и время из дома на работу: разное, хотя путь один).

Если близко к 0, то связь очень слабая или отсутствует.

s - средне-квадратичное отклонение случайных величин.

6,31     3,6

r_xy = 0,547*6.31/3.6=0.96

По значению коэффициента видно, что связь тесная, прямая, модель неплохая.

Можно также рассчитать по формуле.

4 этап.

Вычисляем «коэффициент эластичности» - «Э», который показывает, на сколько процентов изменится результативный признак «у» при изменении факторного признака «х» на 1%.

Э = а₁       

Э = 0,547*12,5/8=0,85

Полученное значение говорит о том, что если х изменится на 1%, то у изменится на 0,85%.

5 этап

Часто на практике для оценки тесноты линейной связи между исследуемыми величинами, т.е. меры адекватности регрессионной модели статистическим данным, используют коэффициент детерминации. Показывает, какая доля вариации переменной у учтена в модели и обусловлена влиянием на нее переменной х.

Чем больше это значение, тем выше степень адекватности уравнения регрессии полученное опытным путем.

R²= r² *100%

R²= 0,96² *100% = 92.16%

Полученное значение показывает, что расход топлива на 92% зависит от объема производства. Не учтено 8%, т.е. есть другие факторы, которые влияют на результат.

6 этап

Для оценки значимости коэффициента корреляции используют t-критерий Стьюдента, который показывает:

• на сколько значима полученная по данной выборке модель (действительно ли между факторами имеется корреляционная связь или отличие КК от нуля связано со случайной ошибкой эксперимента)

• какой процент отклонений возможен при её использовании для всей генеральной совокупности (других объектов).

Расчетные значения можно определить по формуле:

k – число факторных признаков, включенных в модель (у нас -1)

 

Полученное уравнение считается достаточно значимым, если t_p ³ t_Т , принятому при определенном уровне значимости.Табличное значение берется из специальной таблицы «Критические значения t-критерия Стьюдента на уровне значимости 0,1; 0,05;0,01». Столбец 0,1 говорит о том, вероятность значимости равна 90%, т.е. 10% ошибка. Чаще всего сравнивают с a=0,05 и «число средней свободы» = n-2.

В нашем случае t_Т=2,31, т.е. t_p ³ t_Т и это говорит о том, что модель хорошая.

7 этап

Для проверки значимости уравнения регрессии в целом используют F-критерий Фишера.

F_расч= (0,96²/1- 0,96²) * (10-1-1)=92

Табличное значение при числе степеней свободы 1 и 8 и уровне значимости 0,05 равно 5,32, т.е. фактическое значение превышает табличное, можно сделать вывод, что уравнение статически значимо.

 

 

 

 

---

Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 62; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!