Глава 3. Теоремы о дифференцируемых функциях.

Для дифференцируемых функций выполняется ряд важных для приложений теорем. Перечислим основные теоремы.

Теорема Вейерштрасса.

Если функция непрерывна на замкнутом промежутке [a, b], то она достигает на этом промежутке наибольшего M и наименьшего m значений.

При этом могут возникать три случая.

1. Наименьшее и наибольшее значения достигаются внутра промежутка [a, b] (рис.3.1а).

а б в

Рис. 3.1. Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале.

2. На границе достигается либо только наибольшее, либо только наименьшее значение (рис. 3.1б).

3. На границе достигается и наибольшее и наименьшее значение (рис. 3.1в).

Теорема Роля

Пусть функция у = f(x):

1. непрерывна на отрезке [a, b],

2. дифференцируема во всех внутренних точках отрезка, т. е. в интервале (a,b),

3. f(а) = f(b).

Тогда внутри отрезка (a, b) существует по крайней мере одна точка с a < c < b в которой производная обращается в ноль f `(c) = 0.

Замечание. Точка с является корнем производной. Если f(а) = f( b) =0, то теорема формулируется так: между корнями функции лежит корень производной.

Доказательство. Функция у = f(x) непрерывна на промежутке [a,b], то, по теореме Вейерштрасса, она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Но так как значения функции на концах промежутка совпадают, то исключен третий случай теоремы Вейерштрасса, т.е. одно из значений – наибольшее или наименьшее – достигаются внутри промежутка. Предположим, что внутри в точке с a < c < b достигается наибольшее значение М = f(с) , остальные случаи доказываются аналогично. Докажем, что в точке с производная обращается в ноль.

Возьмем два значения аргумента х₁> c, х₂ < c (рис. 3.2).

Для х₁

D x = х₁– с, D x > 0,

D f(x) = f(х₁) - f(с) = f(х₁) - М < 0.

Следовательно

Для х₂

D x = х₂– с, D x < 0,

D f(x) = f(х₂) - f(с) = f(х₂) - М < 0.

Следовательно

Тем самым, в точке с f `(c) = 0.

Рис. 3.2. Теорема Ролля.

Замечание. В точке с касательная идет горизонтально параллельно оси ОХ.

Формула Лагранжа (формула конечных приращений). Пусть функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках отрезка, т. е. в интервале (a,b), то внутри отрезка существует по крайней мере одна точка с a < c < b в которой справедливо равенство: полное приращение функции равно производной, вычислленной в точке с, умноженной на длину промежутка

f(b) - f(а) = f `(c)(b - а). (3.1)

В точке с касательная параллельна секущей MN (см. рис. 3.3).

Теорема Коши. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b], причем g(x) ≠ 0, дифференцируемы во всех внутренних точках отрезка, т. е. в интервале (a,b), то внутри отрезка существует точка с a < c < b в которой справедливо равенство

(3.2)

Правило Лопиталя. Пусть функции f(x) и g(x) на отрезке [a,b] удовлетворяют условию теоремы Коши и f(с) = g (с) = 0 (a < c < b), то если существует предел отношения производных при х →с, то существует и придел отношения функций в этой точке, причем

(3.3)

Замечание. Правило Лопиталя можно применять и для раскрытия неопределенностей типа .

Рис. 3.4. Геометрический смысл формулы конечных приращений.

Пример. Вычислить предел .

Решение. Так как е^-х = 1/е^х , то предел можно преобразовать к виду

Формула Тейлора. Пусть функция у = f(x) в интервале (a,b) имеет производные до (n+1)-го порядка включительно. Приближающий полином n-ой степени, значение которого и его производных до порядка n включительно совпадают со значением функции и ее производных в точке x₀ имеет вид

(3.4)

В окрестности точки х₀замена функции полиномом (3.4) дает некоторую ошибку. Формула Тейлораобеспечивает возможность точной замены данной функции полиномом

(3.5)

где a < x < b, a < x₀< b, x₀< c <x.

Выражение

(3.6)

называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа. Величина R_n(x).определяет погрешность, возникающую при замене функции полиномом степени n из (3.4). Форма Лагранжа позволяет при вычислениях найти оценку сверху для ½R_n(x)½.

Если учесть, что

Δх = х – х_0,

Δf(x) = f(x) - f(x₀),

dⁿf(x)= fⁿ(x)Δх,

то получим дифференциальную форму формулы Тейлора

(3.7)