Формула логарифмического дифференцирования
Раздел 4.
Производная функции и ее приложения к исследованию функций.
Глава 1. Определение производной. Правила дифференцирования.
Пусть задана некоторая функция y = f (x). Выберем в области определения функции два произвольных значения аргумента х их1. Вычислим значения функции f(x) и f(x1). Обозначим за Dх разность между двумя значениями аргумента Dх = х1 – х, (т.е х1 = х +Dх).
Замечание. Dхможет быть как больше нуля, если х1 > х, так и меньше нуля, если х1 < х.
Приращением функции Df (x) называется разность между двумя соответствующими значениями функции Df(x) = f(x1) - f(x) или Df(x) = f(х + Dx) – f(x).
Если при Dх® 0 существует конечный предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке х, а значение предела называется производной от функции f(x) в точке х и обозначается
(1.1)
Производная - это функция от того же аргумента, что и f(x). Операцию вычисления производной называется дифференцированием функции.
Геометрический смысл производной. Если изобразить на рисунке график функции f(x), отметить точки х и х1 = х + Dх , то МС = Dх, NC = Df(x). Величина отношения
(1.2)
равна тангенсу угла наклона секущей MN к оси абсцисс (см. рис.1.1).
|
|
|
|
Если Dх ® 0, то точка N стремится по графику функции к точке M, секущая MN стремится занять положение касательной МК к графику функции f(x) в точке M, угол наклона секущей α стремится к углу наклона касательной φ. Сравнивая формулы (1.1) и (1.2) мы можем сказать, что значение производной f ¢(x) в точке х равно тангенсу угла наклона касательной к графику y = f(x) в точке М с координатами (х, f(x)).
Уравнение касательной в точке М
,
уравнение нормали
,
В механике производная от пути по времени есть скорость
Правила дифференцирования.
Производная постоянной С равна нулю
( C )` = 0 (1.3)
Производная линейной комбинации функций f1 (x) и f2(x)
у(х) = с1f1(x)+c2f2(x), (1.4)
где с1 и c2 произвольные постоянные,
равна линейной комбинации производных
у ¢(x) = (с1f1(x)+c2f2(x))¢ = с1f1 ¢ (x)+c2f2 ¢ (x). (1.5)
Действительно, вычислим приращение функции Dу(x).
|
|
|
Для этого выберем в области определения функции два произвольных значения аргумента х их1. Вычислим соответствующие значения функции у (x1) и у (x) и найдем ее приращение.
Dу(x) = у(x1) - у(x) = (с1 f1(x1) + с2 f2(x1)) - (с1 f1(x) + с2 f2(x))
Сгруппируем отдельно слагаемые содержащие f1 (x) и f2(x) и вынесем за скобки константы с1 и с2. Выделим приращения функций f1 (x) и f2(x)
Dу(x) = (с1 f1(x1) - с1 f1(x) ) + (с2 f2(x1) - с2 f2(x)) =
(1.5)
= с1( f1(x1) - f1(x) ) + с2 (f2(x1) - f2(x)) = с1 D f1(x) + с2D f2(x1) .
Подставим приращение функции Dу(x) (1.5) в формулу (1.1) и учтем правила вычисления пределов:
предел суммы равен сумме пределов,
постоянный множитель можно вынести за знак предела.
Тогда
Производная произведения функций у (x) =f(x) 
g(x) вычисляется по правилу: произведение производной от первой функции на неизменную вторую плюс произведение производной от второй функции на неизменную первую
у (x)’ = (f(x)g(x))¢ = f ¢(x) ּg(x) + f(x) ּg ¢(x). (1.6)
Правило можно обобщить на случай производной произведения n функций
|
|
|
(f1(x) f2(x) .. …. … fn(x))¢ =
= f1(x)¢ f2(x) …. fn(x)+ f1(x) f2(x)¢ …. fn(x)+….+ f1(x) f2(x) ….. fn(x)¢
Производная частного двух функций у (x) = f(x)/g(x) вычисляется по правилу
(1.7)
Таблица производных основных элементарных функций
| Функция f(x) | Производная f’(x) | Функция f (x) | Производная f’(x) |
| c (const) | 0 | ln x | 
|
| xa (а-любое число) | a x a-1 | logax | 
|
| 
| ax | ax ln a |
|
| 
| ex | ex |
| cos x | -sin x | arctg x | 
|
| sin x | cos x | arcsin x | 
|
| tg x | 
| ctg x | 
|
Пример: (6 sin x - 2 ln x)¢ = (6 sin x)¢ - (2 ln x)¢ = 6 (sin x)¢ - 2 (ln x)¢ = 6 cos x - 
(lnxּcosx)' = ּcosx - lnxּsinx.
Дифференцирование сложной функции. Пусть дифференцируемая функция g(x) является аргументами другой функции f(x). В этом случае говорят о сложной функции у(x) = f(g(x)) или суперпозиции функций f и g.
Вычислим производную сложной функции. Найдем приращение функции Dу(x).
Для этого выберем в области определения функции два произвольных значения аргумента х их1 = x + Dx. Вычислим соответствующие значения функции g (x + Dx) и g (x)
|
|
|
И найдем ее приращение
D g (x) = g (x + Dx) - g (x) 
g (x + Dx) = g (x) + Dg (x).
Аналогично найдем значения функции f (g (x + Dx)) и f (g (x)). Тогда
Df = f (g(x+Dx)) – f (g(x)) = f (g (x) + Dg (x)) – f (g(x)). (1.8)
Подставим выражение (1.8) в (1.1). Умножим и разделим на D g (x) и сгруппируем сомножители. Тогда производная сложной функции
(1.9)
В компактной форме производную от сложной функции можно записать так
(1.10)
Формула (1.10), называемая правилом цепочки и обобщается на случай большего числа аргументов.
[f(g(h(...(v(x)...)))]¢= f 'g g ¢h ... v ¢x (1.11)
Например у = ln (sin(x2)). Эта сложная функция состоит из следующих отдельных функций: f = ln g, g = sin h, h = x2. При этом
Тогда
Формула логарифмического дифференцирования
Пример 1. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:
Решение.
1. 
2. 
есть сложная функция 
, где 
.
Производная сложной функции имеет вид
или 
.
Следовательно,
.
- сложная функция 
, где 
, а 
,
.
4. 
.Применяя логарифмическое дифференцирование, находим
f(x) = cos (x), f ’(x) = - sin(x). g(x) = sin(2x), g’(x) = cos(2x) 2.
Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке, где 
.
Решение. Уравнение касательной к кривой в точке 
,
, 
.
Для определения углового коэффициента касательной 
находим производную
,
.
Подставляя значения 
в уравнение, получим
или
.
Уравнение нормали
,
или 
.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 20; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!