Економічна сутність і постановка ДЛП.
Розв'язуючи економічні задачі, часто за критерій оптимальності беруть показники рентабельності, продуктивності праці тощо, які математично подаються дробово-лінійними функціями. Загальну економіко-математичну модель у цьому разі записують так:
за умов
Припускають, що знаменник цільової функції в області допустимих розв'язків системи обмежень не дорівнює нулю.
Алгоритм розв'язування задачі дробово-лінійного програмування передбачає зведення її до задачі лінійного програмування. Щоб виконати таке зведення, позначимо
зробимо заміну змінних
і запишемо економіко-математичну модель:
за умов
Дістали задачу лінійного програмування, яку можна розв'язати симплексним методом. Нехай оптимальний план
7.2. Основні методи розвязування здач ДЛП і аналіз оптимальних планів
Задача 1.. Сільськогосподарське акціонерне товариство з обмеженою відповідальністю, яке розміщене в Лісостепу України, має намір оптимізувати структуру виробництва. За критерій оптимальності взято максимізацію рентабельності як відношення прибутку до собівартості. Дані про види діяльності, що їх здійснюватиме товариство, наведено в таблиці:
Показник | Діяльність з вирощуванням | Ресурс | ||||||
озимої | цукрових буряків, га | корів продуктивністю, кг | кормових культур, га | |||||
5000 | 4500 | 4000 | 3500 | |||||
Урожайність, т/га | 4 | 35 | - | - | - | - | 6 | - |
Собівартість, грн./т | 600 | 250 | 600 | 700 | 800 | 9000 | 200 | - |
Ціна, грн./т | 800 | 300 | 1000 | 1000 | 1000 | 1000 | - | - |
Вихід кормів, тон кормових одиниць/га | 0,8 | 2,0 | - | - | - | - | 6 | - |
Витрати живої праці, людино-днів/га | 4 | 25 | 6 | 6 | 6 | 6 | 3 | 26 000 |
Витрати механізованої праці, людино-днів/га | 2 | 8 | 3 | 3 | 3 | 3 | 2 | 11 000 |
Частка корів у стаді | - | - | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | - | |
Потреба в кормах, т/гол | - | - | 5 | 4,7 | 4,4 | 4,1 | - | - |
|
|
Акціонерне товариство має 2500 га ріллі. Записати економіко-математичну модель і знайти оптимальну структуру виробництва.
Розв'язання. Введемо позначення:
— площа посіву озимої пшениці, га;
— площа посіву цукрового буряка, га;
— площа посіву кормових культур, га;
— кількість корів продуктивністю 5000 кг;
— кількість корів продуктивністю 4500 кг;
— кількість корів продуктивністю 4000 кг;
— кількість корів продуктивністю 3500 кг.
Запишемо критерій оптимальності:
за розглянутих далі умов.
1. Обмеження за ресурсами.
1)Ріллі:
2) Живої праці:
3) Механізованої праці:
2. Обмеження сівозміни.
1) Посівна площа кормових має бути більша або дорівнювати площі під озимою пшеницею:
2) Посівна площа озимої пшениці має бути більша або дорівнювати площі під цукровими буряками:
|
|
3. Структура корів за продуктивністю.
1) Балансове рівняння щодо корів:
де — загальна кількість корів.
2) Частка корів продуктивністю 5000 кг:
3) Частка корів продуктивністю 4500 кг:
4) Частка корів продуктивністю 4000 кг:
5) Частка корів продуктивністю 3500 кг:
4. Забезпеченість корів кормами:
Невід'ємність змінних:
Щоб знайти розв'язок за цією моделлю, зробимо відповідну заміну й скористаємося симплексним методом:
Отже, маємо таку лінійну економіко-математичну модель:
за розглянутих далі умов.
1.
2.
3.
4.
5.
Задача 2 . Розв'язати графічно задачу дробово-лінійного програмування:
за умов
Розв'язання. Побудуємо на площині область допустимих розв'язків задачі — трикутник АВС.
Цільова функція задачі являє собою пряму, яка обертатиметься навколо початку системи координат залежно від змінюваних параметрів , так, що точки А і С будуть точками максимуму і мінімуму функції. Виразимо із цільової функції:
Кутовий коефіцієнт цільової функції
Розглянемо похідну
|
|
Оскільки при будь-якому значенні Z вона від'ємна, то функція є спадною (зі зростанням Z кутовий коефіцієнт зменшується), а графік цільової функції обертатиметься навколо початку координат за годинниковою стрілкою. Отже, точка С є точкою максимуму, а точка А — мінімуму досліджуваної задачі.
Знайдемо координати цих точок.
Точка А:
Звідси
Точка А має координати (6/7; 24/7).
Точка С:
Звідси
Точка С має координати (9/2; 1).
Знайдемо значення цільової функції в цих точках:
Результати підтверджують, що оптимуми знайдено правильно: максимум досягається в точці С, а мінімум — у точці А.
Задача 3 . Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування симплексним методом:
за умов
Розв'язування. Зведемо початкову задачу до задачі лінійного програмування згідно з розглянутими раніше правилами.
Позначимо
Введемо нові змінні:
Дістанемо задачу лінійного програмування:
за умов
Розв'яжемо задачу симплексним методом. У перше та останнє обмеження введемо штучні змінні , та .
Маємо оптимальний розв'язок перетвореної задачі:
Знайдемо оптимальний розв'язок початкової задачі, враховуючи, що :
Отже,
ТЕМА 8.
|
|
ЗАДАЧІ НЕЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ. ОСНОВНІ МЕТОДИ ЇХ
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТА АНАЛІЗУ.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 24; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!