ТРАНСПОРТНА ЗАДАЧА. ПОСТАНОВКА, МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТА АНАЛІЗУ.
Економічна і математична постановка ТЗ. Умови існування розв ’ язку ТЗ.
Транспортна задача — це специфічна задача лінійного програмування, застосовувана для визначення найекономічнішого плану перевезення однорідної продукції від постачальників до споживачів.
Математична модель транспортної задачі має такий вигляд:
| (5.1) |
за обмежень
| (5.2) |
| (5.3) |
| (5.4) |
де 
— кількість продукції, що перевозиться від і-го постачальника до j-го споживача; 
— вартість перевезення одиниці продукції від i-го постачальника до j-го споживача; 
— запаси продукції i-го постачальника; 
— попит на продукцію j-го споживача.
Якщо в транспортній задачі загальна кількість продукції постачальників дорівнює загальному попиту всіх споживачів, тобто
| (5.5) |
то таку транспорту задачу називають збалансованою, або закритою. Якщо ж така умова не виконується, то транспортну задачу називають незбалансованою, або відкритою.
Планомтранспортної задачі називають будь-який невід'ємний розв'язок системи обмежень (5.2)—(5.4) транспортної задачі, який позначають матрицею 
.
Оптимальним планомтранспортної задачі називають матрицю 
, яка задовольняє умови задачі і для якої цільова функція (5.1) набуває найменшого значення.
! Теорема (умова існування розв'язку транспортної задачі). Необхідною і достатньою умовою існування розв'язку транспортної задачі є її збалансованість, тобто 
.
|
|
|
5.2. Методи побудови опорного плану. Впровадження. Двоїстість.
Транспортна задача є задачею лінійного програмування, яку можна розв'язати симплекс-методом. Але специфічна структура транспортної задачі дає змогу використовувати для її розв'язування ефективніший метод, який повторює, по суті, кроки симплекс-алгоритму. Таким є метод потенціалів.
Алгоритм методу потенціалів складається з таких етапів.
1. Визначення типу транспортної задачі (відкрита чи закрита).
2. Побудова першого опорного плану транспортної задачі.
3. Перевірка плану транспортної задачі на оптимальність.
4. Якщо умова оптимальності виконується, то маємо оптимальний розв'язок транспортної задачі. Якщо ж умова оптимальності не виконується, необхідно перейти до наступного опорного плану.
5. Новий план знову перевіряють на оптимальність, тобто повторюють дії п. 3, і т. д.
Розглянемо докладно кожний етап цього алгоритму.
1. Якщо під час перевірки збалансованості (5.5) виявилося, що транспортна задача є відкритою, то її необхідно звести до закритого типу. Це виконується введенням фіктивного умовного постачальника 
у разі перевищення загального попиту над запасами 
із запасом 
. Якщо ж загальні запаси постачальників перевищують попит споживачів 
до закритого типу задача зводиться введенням фіктивного умовного споживача 
з потребою 
.
|
|
|
Вартість перевезення одиниці продукції для фіктивного постачальника , або фіктивного споживача . вважається такою, що дорівнює нулю.
2. Для побудови початкового опорного плану транспортної задачі існує кілька методів: північно-західного кута; мінімальної вартості; подвійної переваги; апроксимації Фогеля. Побудову опорного плану зручно подавати у вигляді таблиці, в якій постачальники продукції є рядками, а споживачі — стовпчиками.
Побудову першого плану за методом північно-західного кута починають із заповнення лівої верхньої клітинки таблиці ( 
), в яку записують менше з двох чисел 
та 
. Далі переходять до наступної клітинки в рядку або у стовпчику і заповнюють її, і т. д. Закінчують заповнювати таблицю у правій нижній клітинці.
Ідея методу мінімальної вартості полягає в тому, що на кожному кроці заповнюють клітинку таблиці, яка має найменшу вартість перевезення одиниці продукції. Такі дії повторюють доти, доки не буде розподілено всю продукцію між постачальниками та споживачами.
Метод подвійної переваги. Перед початком заповнення таблиці необхідно позначити клітинки, які мають найменшу вартість у рядках і стовпчиках. Таблицю починають заповнювати з клітинок, позначених двічі (як мінімальні і в рядку, і в стовпчику). Далі заповнюють клітинки, позначені один раз (як мінімальні або в рядку, або в стовпчику), а вже потім — за методом мінімальної вартості.
|
|
|
Метод апроксимації Фогеля. За цим методом на кожному кроці визначають різницю між двома найменшими вартостями в кожному рядку і стовпчику транспортної таблиці. Ці різниці записують у спеціально відведених місцях таблиці. Серед усіх різниць вибирають найбільшу і у відповідному рядку чи стовпчику заповнюють клітинку з найменшою вартістю. Якщо ж однакових найбільших різниць кілька, то вибирають будь-який відповідний рядок або стовпчик. Коли залишається незаповненим лише один рядок або стовпчик, то обчислення різниць припиняють, а таблицю продовжують заповнювати за методом мінімальної вартості.
Після побудови першого опорного плану одним із розгляну тих методів у таблиці має бути заповнено (т + п - 1) клітинок, де т — кількість постачальників; п — кількість споживачів у задачі, утому числі фіктивних. Такий план називають не виродженим. Якщо кількість заповнених клітинок перевищує (m + n - 1), то початковий план побудовано неправильно і він є неопорним. Ознакою опорності плану транспортної задачі є його ациклічність, тобто неможливість побудови циклу. Циклому транспортній задачі називають замкнену ламану лінію, вершини якої розміщуються в заповнених клітинках таблиці, а сторони проходять уздовж рядків і стовпчиків таблиці.
|
|
|
Якщо заповнених клітинок у таблиці менш як (т + п - 1), то опорний план називають виродженим. У такому разі необхідно заповнити відповідну кількість порожніх клітинок, записуючи в них «нульове перевезення», але так, щоб при цьому не порушилася ациклічність плану.
3. Опорний план перевіряють на оптимальність за допомогою потенціалів ui та vj відповідно постачальників та споживачів.
! Теорема (умова оптимальності опорного плану транспортної задачі). Якщо для деякого опорного плану 
існують числа 
та 
, для яких виконується умова 
для всіх 
, та 
, то він є оптимальним планом транспортної задачі.
Потенціали опорного плану визначаються із системи рівнянь 
, які записують для всіх заповнених клітинок транспортної таблиці.
4. За допомогою розрахованих потенціалів перевіряють умову оптимальності для порожніх клітинок таблиці. Якщо хоча б для однієї клітинки ця умова нєвиконується, тобто 
, поточний план є неоптимальним і від нього необхідно перейти до нового опорного плану.
Перехід від одного опорного плану до іншого виконують заповненням клітинки, для якої порушено умову оптимальності. Якщо таких клітинок кілька, то для заповнення вибирають таку, що має найбільше порушення, тобто 
. Для вибраної порожньої клітинки будують цикл перерахування та виконують перерозподіл продукції в межах цього циклу за такими правилами:
1) кожній вершині циклу приписують певний знак, причому вільній клітинці — знак «+», а всім іншим по черзі — знаки «-» та «+»;
2) у порожню клітинку переносять менше з чисел х ij , що стоять у клітинках зі знаком «-». Одночасно це число додають до відповідних чисел, які розміщуються в клітинках зі знаком «+».
Отже, клітинка, що була вільною, стає заповненою, а відповідна клітинка з мінімальним числом вважається порожньою. У результаті такого перерозподілу продукції дістанемо новий опорний план транспортної задачі.
5. Новий опорний план перевіряють на оптимальність згідно з п. 3 розглянутого алгоритму.
Розглянемо застосування методу потенціалів для розв'язування транспортних задач, наведених далі.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 21; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!