Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Лекция
Задание: изучить материал лекции и ответить письменно на контрольные вопросы.
Тема: Исследование функции с помощью производной.
План:
1) Возрастание и убывание функции на промежутке.
2) Точки экстремума функции. Необходимые и достаточные условия точек экстремума.
3) Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
4) Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
5) Асимптоты функции.
6) Общая схема исследования и построения графика функции.
Возрастание и убывание функции на промежутке.
Определение 1. Функция f называется строго возрастающей на множестве M , если для любых x1, x2 Î M , если x1<x2,,то f(x1)< f(x2), т.е. большему значению
Определение 2. Функция f называется строго убывающей на множестве M , если для любых x1, x2 Î M , если x1<x2,,то f(x1)> f(x2), т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Функция y = f(x), график которой изображен на рисунке 1, возрастает на отрезках (-¥, x1], [x2, x4] промежутка и убывает на промежутках [x1, x2], [x4, ¥).
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие возрастания или убывания функции на интервале). Пусть функция f дифференцируема на интервале (a , b). Тогда справедливы утверждения:
1) Функция f строго возрастает на (a , b) тогда и только тогда, когда для любого x Î(a , b) f ' ( x ) ³ 0, и нет подинтервалов из (a , b), на которых производная f ' (x) тождественно равна нулю;
2) Функция f строго убывает на (a , b) тогда и только тогда, когда для любого x Î(a , b) f ' ( x ) £ 0, и нет подинтервалов из (a , b), на которых производная f ' (x) тождественно равна нулю.
|
|
|
Замечание 1. Утверждение теоремы справедливо также для любого промежутка, если концы промежутка принадлежат ему, то дополнительно нужно требовать непрерывность функции f в таких точках.
Определение 3. Точка x0 , в которой функция f определена, а производная равна нулю или не существует называется критической точкой функции f.
Алгоритм исследования функцию f на монотонность:
1) найти область определения функции f;
2) вычислить производную функции f;
3) найти все критические точки функции f;
4) найти знаки производной во каждом из промежутках области определения, где нет критических точек.
Тогда по теореме 1 на тех промежутках, где производная больше нуля функция f будет строго возрастать, где производная меньше нуля функция f будет убывать.
Точки экстремума функции. Необходимые и достаточные условия точек экстремума.
Определение 1. Точка x0 называется точкой локального максимума функция f , если в некоторой выколотой e -окрестности точки x0, выполняется неравенство f(x)< f(x0).
Определение 2. Точка x0 называется точкой локального минимума функция f , если в некоторой выколотой e -окрестности точки x0, выполняется неравенство f(x)> f(x0).
|
|
|
Определение 3. Точка x0 называется точкой локального экстремума функция f , если она имеет в этой точке локальный максимум или минимум.
На рис.1 функция f возрастает в точке x3, убывает в точке x5. Точки x1 , x4 являются точками локального максимума, точка x2 - точкой локального минимума функции.
Теорема 1 (теорем Ферма - необходимое условие экстремума функции). Пусть функция f определена и непрерывна на отрезке [a , b], x0 - внутренняя точка отрезка [a , b]. Если точка x0 является точкой экстремума функции f и функция f в точке x0 имеет производную, то f ' (x0) = 0.
Замечания 1. Геометрически равенство f ' (x0) = 0 обозначает, что в точке экстремума x = x0 дифференцируемой функции f касательная параллельна оси Ox.
2. Условие f ' (x0) = 0 не является достаточным, для того, чтобы точка x = x0 являлась точкой экстремума функции f . Например, для функции y = x 3 в точке x = 0 производная y ' = 3x 2 обращается в ноль, а точка x = 0 не является точкой экстремума этой функции.
3. Существуют функции, например, 
, для которых в точке экстремума производная не существует.
Следствие. Непрерывная функция может иметь экстремумы только в критических точках.
|
|
|
Теорема 2 (первое достаточное условие экстремума функции). Пусть функция f непрерывна в некоторой окрестности критической точки x0 и дифференцируема в выколотой окрестности точки x0. Тогда:
1. если f ' ( x ) > 0 слева от точки x 0 и f ' ( x ) < 0 справа от точки x 0 , то точка x 0 - точка строгого локального максимума функции f ;
2. если f ' ( x ) < 0 слева от точки x 0 и f ' ( x ) > 0 справа от точки x 0 , то точка x 0 - точка строгого локального минимума функции f ;
3. если f ' ( x ) слева и справа от точки x 0 , имеем один и тот же знак, то точка x 0 не является точкой экстремума не в широком ни в узком смысле.
Замечания 1. Данную теорему можно сформулировать следующим образом: если при переходе через критическую точку x0 производная функции f меняет свой знак с - на + , то точка x0 - точка локального максимума функции f; если меняет свой знак с + на -, то точка x0 - точка локального минимума функции f; если сохраняет знак, то локального экстремума в точке x0 нет.
Теорема 3 (второе достаточное условие экстремума функции). Пусть функция f дважды дифференцируема в точке x0. и x0 - стационарная точка функции f , т.е. f ' (x0) = 0 . Тогда:
1) если f '' ( x 0 ) < 0 , то точка x 0 - точка строгого локального максимума функции f ;
|
|
|
2) если f '' ( x 0 ) > 0 , то точка x 0 - точка строгого локального минимума функции f .
Теорема 4 (третье достаточное условие экстремума функции). Пусть функция f 2k раз дифференцируема в x0. и
. (2)
Тогда:
1) если 
, то точка x 0 - точка локального максимума функции f ;
2) если 
, то точка x 0 - точка локального минимума функции f .
Алгоритм нахождения локальных экстремумов функции f ;
1) найти область определения функции f;
2) вычислить производную функции f;
3) найти все критические точки функции f;
4) найти знаки производной во каждом из промежутках области определения, где нет критических точек.
Далее можно воспользоваться теоремой 2; если при переходе через критическую точку x0 производная функции f меняет свой знак с - на + , то точка x0 - точка локального максимума функции f; если меняет свой знак с + на -, то точка x0 - точка локального минимума функции f; если сохраняет знак, то локального экстремума в точке x0 нет.
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
По свойству непрерывных функций, если функция f непрерывна на отрезке [a , b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения. При этом это значение будут достигаться либо в концевых точках отрезка [a , b] либо во внутренних точках отрезка [a , b]. Если наибольшее или наименьшее значение функции f достигается во внутренней точке отрезка [a , b], то такая точка по определению будет являться экстремальной точкой функции f. Следовательно, по теореме 1 является критической точкой функции f. Таким образом наибольшее и наименьшее значение функция f принимает либо в концевых точках отрезка [a , b] либо в критических точках функции f, принадлежащих интервалу (a , b).
Отсюда вытекает алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f на отрезке [ a , b ], непрерывной на нем;
1) вычислить производную функции f;
2) найти все критические точки x1, x2,…, xm функции f; принадлежащие интервалу (a , b);
3) найти значения функции f на концах отрезка [a , b] и в найденных выше критических точках.
Тогда 
.
Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 15; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!