Центральная симметрия. Поворот

Аналогично определяют преобразование поворота фигуры по часовой стрелке на угол (рис. 19.14).

Заметим, что центральная симметрия является поворотом вокруг центра симметрии на угол

Теорема 19.2 (свойство поворота). Поворот является движением.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Следствие. Если фигура — образ фигуры при повороте, то

Пример №8

Даны прямая и точка вне ее. Постройте образ прямой при повороте вокруг точки против часовой стрелки на угол

Решение:

Поскольку поворот — это движение, то образом прямой будет прямая. Для построения прямой достаточно найти две любые ее точки. Выберем на прямой произвольные точки (рис. 19.15). Построим точки — их образы при повороте вокруг точки против часовой стрелки на угол Тогда прямая — образ прямой

Пример №9

Точка принадлежит углу но не принадлежит его сторонам. Постройте равносторонний треугольник, одна вершина которого является точкой а две другие принадлежат сторонам

Решение:

Пусть прямая — образ прямой при повороте вокруг центра против часовой стрелки на угол (рис. 19.16). Обозначим буквой точку пересечения прямых и

Пусть точка — прообраз точки при рассматриваемом повороте. Точка принадлежит стороне угла

Эти соображения подсказывают, как построить искомый треугольник.

Строим прямую как образ прямой при повороте вокруг центра против часовой стрелки на угол Пусть — точка пересечения прямых

Строим угол равный Пусть прямые пересекаются в точке Эта точка и является прообразом точки

Имеем: Следовательно, треугольник равносторонний.

Подобие фигур

На рисунке 20.1 изображены точки такие, что Говорят, что точка — это образ точки при гомотетии с центром и коэффициентом 2.

На рисунке 20.2 изображены точки такие, что Говорят, что точка — это образ точки при гомотетии с центром и коэффициентом

Вообще, если точки таковы, что то говорят, что точка — это образ точки при гомотетии с центром и коэффициентом

Точку называют центром гомотетии, число — коэффициентом гомотетии,

Рассмотрим фигуру и точку Каждой точке фигуры поставим в соответствие точку являющуюся образом точки при гомотетии с центром и коэффициентом (если точка принадлежит фигуре то ей сопоставляется она сама). В результате такого преобразования фигуры получим фигуру (рис. 20.3). Такое преобразование фигуры называют гомотетией с центром и коэффициентом Также говорят, что фигура гомотетична фигуре с центром и коэффициентом

Например, на рисунке 20.4 треугольник гомотетичен треугольнику с центром и коэффициентом, равным -3.

можно сказать, что треугольник гомотетичен треугольнику с тем же центром, но коэффициентом гомотетии, равным

Отметим, что при гомотетия с центром является центральной симметрией с центром (рис. 20.5). Если то гомотетия является тождественным преобразованием.

Очевидно, что при гомотетия не является движением.

Теорема 20.1. При гомотетии фигуры с коэффициентом все расстояния между ее точками изменяются в раз, то есть если — произвольные точки фигуры а точки и — их соответствующие образы при гомотетии с коэффициентом то

Доказательство: Пусть точка — центр гомотетии. Тогда Имеем:

Следствие. Если треугольник гомотетичен треугольнику с коэффициентом гомотетии

Для доказательства этого утверждения достаточно воспользоваться теоремой 20.1 и третьим признаком подобия треугольников.

Гомотетия обладает целым рядом других свойств.

При гомотетии:

• образом прямой является прямая;
• образом отрезка является отрезок;
• образом угла является угол, равный данному;
• образом треугольника является треугольник, подобный данному;
• образом окружности является окружность;
• площадь многоугольника изменяется в раз, где — коэффициент гомотетии.

Эти свойства вы можете доказать на занятиях математического кружка.

Перечисленные свойства гомотетии указывают на то, что это преобразование может изменить размеры фигуры, но не меняет ее форму, то есть при гомотетии образ и прообраз являются подобными фигурами. Заметим, что в курсе геометрии 8 класса, говоря о подобии фигур, мы давали определение только подобных треугольников. Сейчас определим понятие подобия для произвольных фигур.

На рисунке 20.6 фигура гомотетична фигуре а фигура симметрична фигуре относительно прямой

Говорят, что фигура получена из фигуры в результате композиции двух преобразований: гомотетии и осевой симметрии.

Поскольку то фигуры имеют одинаковые формы, но разные размеры, то есть они подобны. Говорят, что фигура получена из фигуры в результате преобразования подобия.

На рисунке 20.7 фигура гомотетична фигуре а фигура — образ фигуры при некотором движении. Здесь также можно утверждать, что фигуры подобны.

Из сказанного следует, что целесообразно принять такое определение.

Мы поможем в написании ваших работ!