Вычисление теоретических частот.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5Следующая ⇒

Критерий Пирсона основан на сравнении эмпирических (опытных) частот с теоретическими. Эмпирические частоты n_I определяются по фактическим результатам наблюдений. Теоретические частоты, обозначаемые далее , находятся с помощью равенства

= n × p_i ,

где n – количество испытаний, а p_i º R (z_i_–1 < x < z_i) - теоретическая вероятность попадания значений случайной величины в i-й промежуток (1 £ i £ 1).Теоретические вероятности вычисляются в условиях выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины.

Процедура отыскания теоретических вероятностей и частот показана в расчетной таблице: _

n = 1 8 0; а=x = 12,11 ; σ = s=3,5

i	Концы промежутков		Аргументы фунцкции Ф₀		Значения функции Ф₀		P_i= Ф₀(u _i )- Ф₀(u _i-1 )	ν ₁ ^’ =np_i
i	z_{i -1}	z_i	U _i- ₁ = (z _i-1 -x)/s	U _i = (z _i -x)/s	Ф₀(u _i-1 )	Ф₀(u _i )	P_i= Ф₀(u _i )- Ф₀(u _i-1 )	ν ₁ ^’ =np_i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	-∞ 3,2 5,2 7,2 9,2 11,2 13,2 15,2 17,2 19,2 21,2	3,2 5,2 7,2 9,2 11,2 13,2 15,2 17,2 19,2 21,2 +∞	-∞ -2,55 -1,97 -1,40 -0,83 -0,26 0,31 0,88 1,45 2,03 2,60	-2,55 -1,97 -1,40 -0,83 -0,26 0,31 0,88 1,45 2,03 2,60 +∞	-0,5 -0,4946 -0,4756 -0,4192 -0,2967 -0,1026 0,1217 0,3106 0,4265 0,4788 0,4953	-0,4946 -0,4756 -0,4192 -0,2967 -0,1026 0,1217 0,3106 0,4265 0,4788 0,4953 0,5	0,0054 0,019 0,0564 0,1225 0,1941 0,2243 0,1889 0,1159 0,0523 0,0165 0,0047	0,972 3,42 10,152 22,05 34,938 40,374 34,002 20,862 9,414 2,97 0,846

å: 1,0000 180 ,00

Статистика c² и вычисление ее значения по опытным данным.

Для того чтобы принять или отвергнуть гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины, в каждом из критериев согласия рассматривается некоторая (специальным образом подбираемая) величина, характеризующая степень расхождения теоретического (предполагаемого) и статистического распределения.

В критерии Пирсона в качестве такой меры расхождения используется величина

называемая статистикой «хи - квадрат» или статистикой Пирсона (вообще, статистикой называют любую функцию от результатов наблюдений). Ясно, что всегда c²³0, причем c² = 0, тогда и только тогда, когда при каждом i , т.е. когда все соответствующие эмпирические и теоретические частоты совпадают. Во всех остальных случаях c² ¹ 0; при этом значение c² тем больше, чем больше различаются эмпирические и теоретические частоты.

Прежде чем рассказать о применении статистики c² к проверке гипотезы о закон е распределения , вычислим ее значение для данного варианта; это значение, найденное по данным наблюдений и в рамках выдвинутой гипотезы, будем обозначать через c²_набл..

i	n _i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	5 9 16 23 25 30 22 20 16 8 6	0,972 3,42 10,152 22,05 34,938 40,374 34,002 20,862 9,414 2,97 0,846	16,69 9,10 3,37 0,04 2,83 2,67 4,24 0,04 4,61 8,52 31,40

: 180 180 83,50

c ² _набл. = 83,50

5.4. Распределение статистики c².

Случайная величина имеет c² – распределение с r степенями свободы (r = 1; 2; 3; …), если ее плотность имеет вид

где c_r – которая положительная постоянная ( c_r определяется из равенства ). Случайная величина, имеющая распределение c² с r степенями свободы, будет обозначаться .

Для дальнейшего изложения важно лишь отметить, что, во – первых, распределение определяется одним параметром – числом r степеней свободы и, во – вторых, существуют таблицы, позволяющие произвольно найти вероятность попадания значений случайной величины в любой промежуток.

Вернемся теперь к статистике . Отметим, что она является случайной величиной, поскольку зависит от результатов наблюдений и, следовательно, в различных сериях опытов принимает различные, заранее не известные значения. Понятно, кроме того, закон распределения статистики зависит: 1) от действительного (но неизвестного нам) закона распределения случайной величины, измерения которой осуществляются (им определяются эмпирические частоты ) ; 2) от количества произведенных наблюдений (от числа n) и от способа разбиения числовой оси на промежутки (в частности, от числа i ); 3) от теоретического (выдвинутого в качестве гипотезы) закона распределения изучаемой случайной величины (им определяются теоретические вероятности p_i и теоретические частоты = n × p_i )

Если выдвинутая гипотеза верна, то очевидно, закон распределения статистики зависти только от закона распределения изучаемой случайной величины, от числа n и от выбора промежутков разбиения. Но на самом же деле, в этом случае (благодаря мастерски подобранному Пирсоном выражению для ) справедливо куда более серьезное утверждение. А именно, при достаточно больших n закон распределения статистики практически не зависит от закона распределения изучаемой случайной величины и ни от количества n произведенных опытов: при распределение статистики стремится к - распределению с r степенями свободы. Эта теорема объясняет, почему статистика Пирсона обозначается через .

Если в качестве предполагаемого выбрано одно их трех основных непрерывных распределений (нормальное, показательное или равномерное), то r = i – 3, где i – количество промежутков, на которые разбита числовая ось (количество групп опытных данных). В общем случае

где - количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками.

Т.е. в данном варианте после группировки исходных данных получаем количество промежутков разбиения i = 10, = 2, т.к. количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками, = 2 – это а и s для нормального распределения.

Следовательно

R=i-N_пар-1=11-2-1=8

Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 119; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!