Формулы синуса и косинуса двойных углов.
Легко запомнив формулы синуса и косинуса суммы, можно перейти к быстрому выводу формул двойных углов.
Поставляя в эти формулы α + β, получаем формулы синуса и косинуса двойных углов:
Синус двойного угла: sin2a = sin(a+a) = sinacosa+cosasina = 2sinacosa
Косинус двойного угла: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-sinasina = cos2a-sin2a
Вспоминая основное тригонометрическое тождество
sin2x + cos2x = 1,
легко выводим еще 2 формулы для косинуса двойного угла:
Связь тангенса и косинуса.
Основное тригонометрическое тождество позволяет установить связь тангенса и косинуса.
Возьмём основное тригонометрическое тождество: sin2a+cos2a = 1 и разделим его на cos2a. Получим:
8.1 Связь тангенса и косинуса:
8.2Аналогично получаем связь котангенса и синуса:
8.3 Формула тангенса суммы – ещё одна формула, которую сложно запомнить. Выведем эту формулу так:
Формула тангенса суммы:
.
Разделим числитель и знаменатель на произведение косинусов, получим:
8.4 Мгновенно выводится и формула тангенса двойного угла:
8.5 Из формулы косинуса двойного угла можно получить формулы синуса и косинуса половинного угла. Для этого к левой части формулы косинуса двойного угла: cos2a = cos2a-sin2a прибавляем единицу, а к правой – тригонометрическую единицу, т.е. сумму квадратов синуса и косинуса.
cos2a+1 = cos2a-sin2a+cos2a+sin2a
2cos2a = cos2a+1
Выражаем cosa через cos2a и выполняя замену переменных, получаем:
|
|
|
косинус половинного угла: 
Знак берётся в зависимости от квадранта.
Аналогично, отнимая от левой части равенства единицу, а от правой - сумму квадратов синуса и косинуса, получаем:
cos2a-1 = cos2a-sin2a-cos2a-sin2a
2sin2a = 1-cos2a
синус половинного угла: 
8.6 А. чтобы преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение, будем использовать следующий приём:
допустим, что нам нужно представить сумму синусов sina+sinb в виде произведения. Введём переменные x и y так, что a = x+y, b+x-y.
Тогда
sina+sinb = sin(x+y)+sin(x-y) = sinxcosy+cosxsiny+sinxcosy-cosxsiny = 2sinxcosy.
Выразим теперь x и y через a и b.
Поскольку a = x+y, b = x-y, то 
.
Представление суммы синусов в виде произведения: 
9. Формулы понижения степени.
1−cos2α = 2sin2α ,
1+ cos2α = 2cos2α
Важно понять структуру этих формул, в частности, такой момент –«степень понижается, а угол становится в два раза больше». Эти формулы очень похожи друг на друга, поэтому для лучшего их запоминания следует применять правило: «Единица минус – получаем синус, единица плюс – вот он - косину́с».
В заключении хочется сказать, что использование простого «нематематического» запоминания сложных математических формул (или их быстрое выведение с помощью уже известных) на уроках математики (на всех ступенях обучения) позволяет решить сразу несколько задач:
|
|
|
во-первых, математика перестает быть для обучающихся предметом абстрактным и непонятным;
во-вторых, повышается интерес к математике;
в – третьих, применение мнемотехники на уроках математики повышает качество знаний обучающихся.
Литература
1. Энциклопедия Википедия.
2. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 - 11 классов Изд. «Мнемозина», 2012 год
Грошева Н.В. – заместитель директора по УВР
МОБУ СОШ №13 г. Сочи,
учитель математики высшей категории
Дата добавления: 2023-02-21; просмотров: 22; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!