Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов



Векторы. Геометрическое представление вектора. Линейные операции над векторами (сложение (правило треугольников, параллелограмма, многоугольников), вычитание и умножение на действительное число), их свойства.

Вектор − это направленный отрезок. Векторы обозначаются  или , где  − начало вектора,  − его конец. Длина вектора называется его модулеми обозначается  или .

Коллинеарные векторы − это векторы, направления которых совпадают или противоположны, что обозначают ׀׀ .

Компланарные векторы − это векторы, лежащие в параллельных плоскостях, в частности, в одной плоскости.

Два вектора  и  называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Обозначают .

Рассмотрим линейные операции над векторами.

Суммой векторов  и  называется вектор, идущий из начала вектора  в конец вектора  при условии, что начало вектора  совпадает с концом вектора .

Это правило называют правилом треугольника (рис. 2.1, а) или параллелограмма (рис. 2.1, б) сложения векторов.

 

  а)                          б)

Рис. 2.1 Сложение векторов

по правилу треугольника (а) и параллелограмма (б)

Понятие суммы векторов позволяют ввести:

1) операцию, обратную операции сложения, − разность векторов  и  как вектор  такой, который в сумме с вектором  дает вектор  (рис. 2.2, а),

2) сложение произвольного конечного числа векторов  (правило многоугольника) (рис. 2.2, б).

   а)                                      б)

Рис.2.2 Вычитание векторов (а) и

сложение векторов по правилу многоугольника (б)

 

Произведением вектора  на числоλ называется такой вектор , который удовлетворяет условиям:

а) ;

б) векторы  и  − сонаправленные, если число  λ > 0, и противоположно направленные, если λ < 0.

Таким образом, из определения операции умножения вектора на число следует, что векторы  и = λ  или сонаправленные или противоположно направленные, т.е. коллинеарные.


 

Линейная зависимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости двух и трех векторов.

Вектор  называется линейной комбинацией векторов , ,…, , если он получен из этих векторов проведением над ними линейных операций его можно представить в виде , где , ,…,  − некоторые числа. Это равенство называют также разложением вектора  по векторам , ,…, .

Векторы , ,…,  являются линейно зависимыми, если хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Например, . В противном случае (т.е. ни один из векторов , ,…,  не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных) векторы являются линейно независимыми.

Пара векторов на плоскости является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарные.

Тройка векторов в пространстве является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

 

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов

Для того что бы 2 не нулевых вектора были колинеларны необходимо и достаточно что бы они были линейно зависимы.

Необходимость:

Достаточность:

Необходимое и достаточное условие компланарности векторов:

Для того что бы 3 не нулевых вектора были компланарными необходимо и достаточно что бы они были линейно зависимы.

Необходимость: дано:

Очевидно если хотя бы пара из них колинеарны, следовательно они компланарны т.е. линейно зависимы

Достаточность:



Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 630; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ