Приклади розв’язання задач на подільність
№1.Знайти дільники числа 
.
Розв’язання.Множники 2, 3, 5, 7 є дільниками числа n. Цей добуток можна записати іншими способами: 
, 
, 
і т.д. Множники 6, 10, 14 також є дільниками числа n. Це означає, що всі добутки, які можна утворити з простих множників 2, 3, 5, 7, також являються дільниками числа n. Отже, дільники числа n – 2; 3; 5; 7; 2 · 3 = 6;
2 · 5 = 10; 2 · 7 = 14; 3 · 5 = 15; 3 · 7 = 21; 5 · 7 = 35;
2 · 3 · 5 = 30; 2 · 3 · 7 = 42; 2 · 5 · 7 = 70; 3 · 5 · 7 = 105; 2·3·5·7 = 210.
№2.Не перемножуючи, встановіть чи ділиться добуток 148·75 на 2, на5, на 10.
Розв’язання.
Оскільки 148 ділиться на 2, то добуток ділиться на 2. Оскільки 75 ділиться на 5, то добуток ділиться на 5. Оскільки 148 ділиться на 2, а 75 ділиться на 5, то 148·75 ділиться на 2·5 = 10.
№3.Доведіть, що натуральні числа записані трьома однаковими цифрами, діляться на 37.
Розв’язання.
Всі трицифрові числа з однаковими цифрами можна подати у виді 111·п. Оскільки 111 ділиться на 37, то й 111·п ділиться на 37.
№4.Скількома нулями закінчується число, яке дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до 32.
Розв’язання.
Якщо розкласти всі множники цього добутку на прості числа, то в утвореному добутку буде 7 п’ятірок, а двійок більше. Кожен добуток п’ятірки і двійки дає нуль в кінці добутку, отже число закінчується сімома нулями.
№5.До числа 55 зліва і справа приписати по одній цифрі, щоб одержане число ділилося на 18. Знайти ці числа.
Розв’язання.
|
|
|
18 ділиться на 2 і на 9, тому й шукане число ділиться на 9 і на 2. Справа можна дописати парні цифри 0, 2, 4, 6 або 8; тоді зліва можна дописати відповідно 18 – (5 + 5 + 0) = 8, 18 – (5 + 5 + 2) = 6, 18 – (5 + 5 + 4) = 4, 18 – (5 + 5 + + 6) = 2 або 18 – (5 + 5 + 8) = 0. Останній випадок не задовольняє умову задачі, оскільки тоді число стає трицифровим. Отже, 8550, 6552, 4554, 2556 – шукані числа.
№6. Скільки є п’ятицифрових чисел, які діляться на 90, а дві перші цифри в них дорівнюють 57?
Розв’язання.
Оскільки числа діляться на 90, то вони діляться на 10 і на 9. Це означає, що остання цифра дорівнює 0, а сума цифр ділиться на 9. Так як 18 – (5+7) = 6 і 27 – (5+7) = 15, то сума третьої й четвертої цифр дорівнюють 6 або 15. Можливі такі варіанти: 0 і 6, 1 і 5 і т. д. до 6 і 0 або 6 і 9, 7 і 8, 8 і 7, 9 і 6 – всього 7 + 4 = 11 випадків. Відповідь: 11 чисел.
№7. Зустрілися дві жінки. Одна похвалилася, що в неї є три сини.
– Скільки їм років? – спитала друга жінка.
– Якщо перемножити їх вік, то вийде 36, а якщо додати – то вийде номер твоєї квартири, – відповіла перша.
Подумавши, друга жінка сказала, що їй не вистачає інформації. Тоді перша сказала:
– У мого старшенького руде волосся.
– Тепер я знаю вік твоїх синів, – вигукнула друга жінка.
Визначте і ви вік кожного хлопчика.
|
|
|
Розв’язання.
Вік кожного хлопчика є дільником числа 36. Це числа 36, 18, 12, 9, 6, 4, 3, 2, 1. Розглянемо можливі розклади числа 36 на три множники: 36·1·1 = 18·2·1 = 12·3·1 = 9·4·1 = 9·2·2 = 6·6·1 = 6·3·2 = 4·3·3. Суми цих множників відповідно дорівнюють 36+1+1 = 38, 18+2+1 = 21, 12+3+1 = 16, 9+4+1 = 14, 9+2+2 = 13, 6+6+1 = 13, 6+3+2 = 11, 4+3+3 = 10. Якби номер квартири другої жінки був 38, 21, 16, 14, 11, чи 10, то вона визначила б вік хлопців без додаткової інформації. Оскільки їй спочатку не вистачило інформації, то номер її квартири 13 і вона має два випадки – 9, 2, 2 або 6, 6, 1. Фраза «У старшенького руде волосся» означає, що два старші сини мають різний вік. Цим самим виключається випадок 6, 6, і 1 рік. Отже, старшому було 9 років, двом іншим по 2 роки. До речі, в ході розв’язання ми змогли, навіть, визначити номер квартири другої жінки.
№8. Знайти найменше натуральне число, яке при діленні на 2, 3, 4, 5 і 6 дає в остачі числа 1, 2, 3, 4 і 5 відповідно.
Розв’язання.
Якщо це число збільшити на одиницю, то воно буде ділитися на числа 2, 3, 4, 5 і 6 без остачі. Це число є найменшим спільним кратним чисел 2, 3, 4, 5 і 6. НСК(2, 3, 4, 5, 6) = 60. Отже, шукане число дорівнює 60 – 1 = 59.
№9. Довести, що з будь-яких чотирьох натуральних чисел знайдуться два, різниця яких являється кратним числу 3.
|
|
|
Розв’язання.
При діленні натуральних чисел на 3 в остачі може бути 0, 1 або 2. Всі натуральні числа розподілимо в три групи за остачею при діленні на 3. Серед чотирьох довільних натуральних чисел принаймні два потраплять в одну групу – значить вони дають однакову остачу.
№10. Довести, що добуток двох послідовних парних чисел ділиться на 8.
Розв’язання.
З двох послідовних парних чисел одне ділиться на 4, а інше на 2, тому їх добуток ділиться на 8.
№ 11. Скільки мається чотиризначних чисел, які діляться на 55 , а дві середні цифри у них 3 і 2 ?
Розв’язання.Шукане число ділиться на 5 і на 11 . Запишемо число у вигляді abed. Так як число ділиться на 5 , то d = 0 або d = 5 . Так як число ділиться на 11 , то (а+с) - (b+d) кратно 11 . Розглянемо всі випадки :
1 ) d = 0 , b = 3 , с = 2 . Тоді а - 1 кратно 11 . Якщо а - 1 = 0 , а = 1 . Якщо а - 1 = 11 , а = 12 ( не підходить ) . Отже , шукане число 1320 .
2 ) d = 0 , b = 2 , с = 3 . Тоді а + 1 кратно 11 . Якщо а + 1 = 0 , а = -1 (не підходить) . Якщо а + 1 = 11 , а = 10 ( не підходить ) .
3 ) d = 5 , b = 3 , с = 2 . Тоді а - 6 кратно 11 . Якщо а - 6 = 0 , а = 6 . Якщо а - 6 = 11 , а = 17 ( не підходить ) . Отже , шукане число 6325 .
4 ) d = 5 , b = 2 , с = 3 . Тоді а - 4 кратно 11 . Якщо а - 4 = 0 , а = 4 . Якщо а - 4 = 11 , а = 15 ( не підходить ) . Отже , шукане число 4235 .
Відповідь : три числа: 1320 . 6325 . 4235 .
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 2379; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!