Розкладання числа на прості множники
Красноармійський навчально-виховний комплекс
Урок 1
на тему:
«Подільність чисел»
Учитель:
Пономаренко О.О.
2014
Тема: Подільність чисел
Мета: Формувати вміння і навички учнів застосовувати ознаки подільності до розв’язування вправ; розглянути поняття простого та складеного числа; повторити алгоритм знаходження НСК та НСД; розвивати увагу, логічне мислення, навички аналізувати умову, шукати шляхи розв’язування задачі; виховувати пізнавальний інтерес.
Під час роботи з задачами на подільність можна виділити такі основні поняття:дільник; кратне; парне число; непарне число; просте число; складене число; спільний дільник; спільне кратне; остача; ознаки подільності.
Повинні вміти:
ü використовувати ознаки подільності чисел на 2, 3, 5, 9, 10;
ü розкладати натуральне число на прості множники;
ü знаходити спільний дільник та спільне кратне двох - трьох чисел; найбільший спільний дільник (НСД) і найменше спільне кратне (НСК) двох—трьох чисел.
1. Поняття подільності
Натуральні числа можна ділити одне на інше. В результаті ділення отримаємо частку та остачу:a:b=m(ост.r). Ділене a, дільник b, частка m та остача r пов’язані між собою рівністю:
a = b · m + r, (1)
при цьому r < b.
Наприклад, при діленні числа 312 на 11 маємо частку 28 та остачу 4. Тому 312 = 11· 28 + 4.
Якщо при діленні a на b остача дорівнює нулю, то говорять, що a ділиться на b без остачі, або просто кажуть – a ділиться на b, і число b називають дільником числа a; число а називають кратним числу b.
|
|
|
Числа a та b у цьому випадку пов’язані рівністю:
a = b · m, (2)
де m – частка від ділення a на b.
Наприклад, число 63 ділиться на 7 без остачі: 63 = 7 · 9.
Властивість 1.Будь-яке натуральне число ділиться само на себе: 
, де 
.
Властивість 2. Якщо a ділиться на b, b ділиться на c, то а ділиться на с.
Якщо 
, 
, то 
.
Властивість 3. Якщо і 
, то 
.
Властивість 4.Якщо кожний із доданків ділиться на яке-небудь число, то і їх сума ділиться на те саме число. Якщо 
і , то 
.
Властивість 5.Якщо зменшуване і від’ємне діляться на яке-небудь число, то і їх різниця ділиться на це число. Якщо і , то 
.
Властивість 6.Якщо сума і всі доданки, крім одного, діляться на яке-небудь число, то й цей доданок ділиться на це число. Якщо 
, 
, 
, то 
.
Властивість 7.Якщо один із множників ділиться на яке-небудь число, то і їх добуток ділиться на це число. Якщо , то 
.
Властивість 8. Якщо один множник ділиться на п, а другий множник ділиться на число т, то добуток цих чисел ділиться на пт. Якщо 
і 
, то 
.
Властивість 9. Якщо два числа дають при діленні на третє число однакову остачу, то їх різниця кратна третьому числу.
|
|
|
Парні та непарні натуральні числа
0; 2; 4; 6; 8 – парні цифри;
1; 3; 5; 7; 9 – непарні цифри.
Натуральне число, яке закінчується парною цифрою, називається парним числом.
Наприклад: 1232; 724; 600; 131118; 4 і інші.
Натуральне число, яке закінчується непарною цифрою, називається непарним числом. Наприклад: 1137; 175; 35; 7 та інші.
Всі парні числа діляться на 2 і навпаки, кожне число, яке ділиться на 2, – парне.
Будь-яке парне натуральне число можна записати у вигляді 2m, де m – натуральне число.
Будь-яке непарне натуральне число можна записати у вигляді 2m+1, де m – натуральне число або 0.
Прості і складені числа
Кожне число має дільниками 1 та самого себе. Це – найпростіші дільники. Числа, які не мають інших дільників, крім найпростіших, називаються простими. Числа, які крім найпростіших, мають інші дільники, називаються складеними.
Число 1 є ні простим, ні складеним.
Усі прості числа, за винятком числа 2, непарні.
Простих чисел існує безліч. Найменше з них — 2, а найбільшого не існує. Досі не встановлена закономірність розташування простих чисел у натуральному ряді чисел.
Таблиця ознак подільності
|
|
|
| Діль-ник | Умова подільності | Приклад | ||
| 2 | Остання цифра є парною (0, 2, 4, 6, або 8). | 294: 4 є парне. | ||
| 3 | Сума цифр повинна ділитися на 3. | 405: 4 + 0 + 5 = 9, 9 ділиться на 3. | ||
| 4 | Якщо число, утворене двома останніми цифрами ділиться на 4. | 2092: 92 ділиться на 4. | ||
| 5 | Остання цифра або 5 або 0. | 490: остання цифра 0. | ||
| 6 | Якщо число ділиться і на 2, і на 3. | 24: число ділиться на 2 і на 3. | ||
| 7 | Число розбивається на блоки по три цифри, починаючи з кінця. Число ділиться на 7, якщо різниця суми блоків, що стоять на парних місцях, і суми блоків, що стоять на непарних місцях, ділиться на 7. | 2 911 272: 911 – (2 + 272) = 637. 637 ділиться на 7. | ||
| Якщо сума подвоєного числа без останніх двох цифр і останніх двох цифр ділиться на 7. | 364: (3·2) + 64 = 70. 70 ділиться на 7. | |||
| Якщо сума числа без останньої цифри і останньої цифри, помноженої на 5, ділиться на 7. | 364: 36 + (5·4) = 56. 56 ділиться на 7. | |||
| Різниця між числом без останньої цифри і подвоєної останньої цифри повинна ділитись на 7. | 364: 36 − (2·4) = 28. 28 ділиться на 7. | |||
| 8 | Якщо число, утворене останніми трьома цифрами, ділиться на 8. | 5128: 128 ділиться на 8. | ||
| Якщо число сотень є парне, то число, утворене двома останніми цифрами повинне ділитись на 8. | 624: 6 – парне, 24 ділиться на 8. | |||
| Якщо число сотень є непарним, то до числа, утвореного двома останніми цифрами, потрібно додати 4. Таке число повинне ділитись на 8. | 352: 3 – непарне, 52+4 = 56. 56 ділиться на 8. | |||
| 9 | Сума всіх цифр повинна ділитись на 9. | 2880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18. 18 ділиться на 9. | ||
| 10 | Остання цифра 0. | 130: остання цифра 0. | ||
| 11
| Число розбивається на блоки по дві цифри, починаючи з кінця. Сума блоків повинна ділитись на 11. | 627: 6 + 27 = 33. 33 ділиться на 11. | ||
| Якщо різниця між числом без останньої цифри і останньою цифрою ділиться на 11. | 627: 62 – 7 = 55. 55 ділиться на 11. | |||
| Якщо сума цифр, що стоять на парних місцях відрізняється від суми цифр, що стоять на непарних місцях, починаючи з кінця, на число, що кратне 11. | 182919: (9 + 9 + 8) – (1 + 2 + 1) = 22. 22 ділиться на 11. | |||
| 12 | Якщо число ділиться на 3 і на 4. | 324: ділиться і на 3, і на 4. | ||
| Число без останньої цифри множать на два і віднімають останню цифру. Таке число повинне ділитись на 12. | 324: (32·2) − 4 = 60. 60 ділиться на 12. | |||
| 13 | Число ділиться на блоки по три цифри, починаючи з кінця. Сумуються блоки, що стоять на парних і непарних місцях. Різниця цих сум повинна ділитись на 13. | 2911272: 911 – (2 + 272) = 637. 637 ділиться на 13. | ||
| До числа без останньої цифри додають останню цифру, помножену на 4. Утворене число повинне ділитись на 13. | 338: 33 + (8·4) = 65. 65 ділиться на 13. | |||
| Від числа без останньої цифри віднімають останню цифру, помножену на 9. Утворене число повинне ділитись на 13. | 637: 63 − (7·9) = 0. 0 ділиться на 13. |
Розкладання числа на прості множники
Розкласти число на прості множники означає записати його у вигляді добутку простих чисел.
Кожне складене число можна розкласти на прості множники єдиним способом (якщо не враховувати порядок множників). Розкладання зручно робити за такою схемою. Наприклад, візьмемо число 2100. Запишемо число 2100 і праворуч проведемо вертикальну риску. Найменше просте число 2.
Користуючись ознакою подільності на 2, встановлюємо, що 2100:2. Пишемо праворуч 2, а під числом 2100 – частку від ділення його на 2, тобто 1050.
2100 2
1050
Знову перевіряємо, чи кратне 1050 числу 2. Отримуємо тим же чином праворуч від риски ще одну «2», а ліворуч — число 525.
2100 2
1050 2
525
Число 525 не є кратним 2. Беремо наступне просте число — 3 (можна користуватися таблицею простих чисел).
2100 2
1050 2
525 3
175
Продовжуючи роботу за наданою схемою, отримуємо:
2100 2
1050 2
525 3
175 5
35 5
7 7
1
Таким чином, 2100 = 2∙2∙3∙5∙5∙7 або 2100 = 22·3·52·7.
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 2803; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!