Задание для самостоятельной работы. Задача 8. Определить тип рациональной дроби и найти интеграл:

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Задача 8. Определить тип рациональной дроби и найти интеграл:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Задача 9. Найти интегралы:

1) ;

2) ;

3) .

Занятие №6. Интегрирование рациональных дробей (продолжение)

Цель занятий: усвоить новые учебные элементы на уровне знаний и умений применять их к решению типовых задач.

Учебные вопросы

1. Метод неопределенных коэффициентов.

Ход занятия

Краткая информация о новых учебных элементах

Определение 1. Дробь называется рациональной, если её числитель и знаменатель – многочлены (предполагаем, что коэффициенты многочленов действительные числа).

Определение 2. Дробь называется правильной, если степень многочлена , находящегося в числителе, меньше чем степень многочлена , находящегося в знаменателе.

Определение 3. Если степень числителя дроби равна степени знаменателя или больше ее, то рациональная дробь называется неправильной.

Всякая неправильная дробь может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной дроби. Поэтому интегрирование рациональной дроби всегда может быть приведено к интегрированию многочлена и правильной дроби.

Алгоритм нахождения интеграла методом неопределенных коэффициентов

1) Проверить, правильная ли дробь. Если дробь неправильная, то необходимо представить её в виде суммы многочлена и правильной дроби. Это достигается делением числителя на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен.

2) Знаменатель правильной дроби разложим на простейшие множители вида и .

3) Правильную рациональную дробь разложим на простейшие дроби:

, (1)

где неопределенные коэффициенты, которые нужно вычислить.

4) Для вычисления неопределенных коэффициентов приводим равенство (1) к общему знаменателю, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества, и решаем систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Тем самым интегрирование рациональной дроби сводим к интегрированию суммы простейших рациональных дробей.

Задача 1. Определить, правильная ли дробь:

Задача 2. Представить в виде суммы многочлена и правильной дроби неправильную дробь:

Решение. Дробь неправильная, т.к. степень числителя больше степени знаменателя.

Разделим числитель на знаменатель по правилу деления многочленов.

Таким образом:

Задача 3. Найти интеграл: .

Решение. 1. Дробь правильная, т.к. степень числителя меньше степени знаменателя.

2. Разложим знаменатель на простейшие множители:

;

два действительных корня.

3. Представим подынтегральную функцию в виде суммы двух простейших дробей:

4. Найдем коэффициенты А и В. Для этого приведем дроби к общему знаменателю и воспользуемся правилом равенства дробей:

;

Приравниваем коэффициенты при х и свободные члены. Составим систему уравнений и найдем А и В:

Решив систему, получили . Таким образом:

Тогда:

Задача 4. Найти интеграл: .

Решение. 1. Дробь правильная. Знаменатель разложен на множители.

2. Правильную рациональную дробь разложим на простейшие дроби по формуле (1):

3. Найдем коэффициенты А, В, С. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:

По правилу равенства дробей:

Приведем подобные члены в правой части тождества:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х и свободные члены в левой и правой части. Так как в левой части нет , то его коэффициент равен 0 .